Indukční rozměr

Indukční dimenze je druh definice dimenze topologického prostoru , založený na pozorování, že koule v euklidovském prostoru mají o jednu dimenzi méně.

Existují dvě možnosti definování indukčního rozměru, tzv. velký a malý indukční rozměr; pro prostor se obvykle označují resp . Ve většině topologických prostorů, se kterými se setkáváme v aplikacích, jsou obě dimenze stejné a rovnají se také Lebesgueově dimenzi . $X$ $\mathrm {Ind} \,X$ $\mathrm {ind} \,X$

Definice

Podle definice je rozměr prázdné množiny považován za rovný ; to je $-jeden$

\mathrm {ind} \,\varnothing =\mathrm {Ind} \,\varnothing =-1

$\mathrm {ind} \,X$ — malý indukční rozměr topologického prostoru je definován jako nejmenší číslo takové, že pro jakýkoli bod a jakékoli jeho otevřené okolí existuje otevřená množina taková , že malý indukční rozměr hranice nepřesahuje a $X$ $n$ $x\in X$ $U$ $W$ $\mathrm {ind} \,\částečné W\leq n-1$ $W$ $n-1$

x\in W\subset {\bar {W}}\subset U,

kde označuje uzavření . ${\bar {W}}$ $W$

$\mathrm {Ind} \,X$ - velký indukční rozměr je definován podobným způsobem: jako nejmenší číslo takové, že pro každou uzavřenou množinu a jakékoli její otevřené okolí existuje otevřená množina , která a $n$ $K\podmnožina X$ $U$ $W$ $\mathrm {Ind} \,\částečné W\leq n-1$

K\subset W\subset {\bar {W}}\subset U.

Poznámky

Lebesgueova dimenze je další způsob, jak definovat dimenzi topologického prostoru; termín "topologická dimenze" se obvykle používá speciálně pro Lebesgueovu dimenzi, pro prostor se obvykle označuje . $X$ $\dim X$

Vlastnosti

$\dim X=0$ tehdy a jen tehdy $\operatorname {Ind} X=0.$
(Urysohnův teorém) pro normální prostor se spočetným základem , rovnost $X$ $\dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.$

Jinými slovy, pro oddělitelné a metrizovatelné prostory se obě indukční dimenze shodují s Lebesgueovou dimenzí .

Pro metrizovatelné prostory platí ( Miroslav Katetov ) $X$ $\dim X=\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X.$
Pokud je prostor kompaktní a Hausdorff pak ( P. S. Aleksandrov ) $X$ $\operatorname {Ind} X\geq \operatorname {ind} X\geq \dim X.$
- Obě tyto nerovnosti mohou být přísné (V. V. Filippov)

Oddělitelný metrický prostor splňuje nerovnost právě tehdy, když pro každý uzavřený podprostor prostoru každá spojitá mapa připouští spojité rozšíření . $X$ $\operatorname {Ind} X\leq n$ $A$ $X$ $f:A\to \mathbb {S} ^{n}$ $F:X\to \mathbb {S} ^{n}$

Literatura

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Úvod do teorie dimenze. Moskva: Nauka, 1973
Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn a Karl Menger: články o teorii dimenzí" v Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier : 844-55.
R. Engelking, Teorie dimenzí. Konečné a nekonečné , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 .

ISBNjeden3-88538-010-2

VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , vycházející v Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii and LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 .

ISBNjeden3-540-18178-4

VV Filippov, O indukčním rozměru produktu bicompacta , Sovět. Matematika. Dokl. 13 (1972), č. 1, 250-254.
A. R. Pears, Teorie dimenzí obecných prostorů , Cambridge University Press (1975).

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Cantorova sada dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečnorozměrný prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika