Konstanta Komornika-Loreti

V matematické teorii nestandardních polohových číselných soustav [ je Komornickova-Loretiho konstanta matematickou konstantou reprezentující nejmenší základ q, pro kterou má číslo 1 jedinečné zastoupení, nazývané jeho q-scan. Konstanta je pojmenována po Vilmosovi Komornikovi a Paole Loreti , kteří ji definovali v roce 1998. [jeden]

Definice

Pro skutečné číslo, řada $q>1$

{\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n))

se nazývá q-rozšíření nebo -rozšíření kladného reálného čísla x, jestliže pro všechna , , kde je celá funkce , a nemusí být celé číslo. Jakékoli reálné číslo , které má příponu, kterou lze nalézt pomocí chamtivého algoritmu . $\beta$ $n\geq 0$ $0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor$ $\lfloor q\rfloor$ $a_{n}$ $X$ $0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)$

Zvláštní případ: , a nebo se někdy nazývají q-vývoj. poskytuje pouze 2 skenování. Téměř pro všechny však existuje nekonečné množství různých q-vývojů. Ještě překvapivější je, že existují výjimečné, pro které existuje pouze jeden q-vývoj. Navíc existuje nejmenší číslo , známé jako Komornick-Loretiho konstanta, pro které existuje unikátní q-scan. [2] $x=1$ $a_{0}=0$ $a_{n}=0$ $jeden$ $a_{n}=1$ $1<q<2$ $q\in(1,2)$ $1<q<2$

Význam

Komornik-Loretiho konstanta je hodnota q taková, že

{\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k))))

kde je Morse-Thueova posloupnost , to jest sudost počtu jedniček v binární reprezentaci . Má přibližnou cenu ${\displaystyle t_{k))$ ${\displaystyle t_{k))$ $k$

q=1,787231650\ldots .\,

[3]

Konstanta je také jediným kladným skutečným kořenem $q$

\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k))))\right)=\left(1-{\ frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.

Tato konstanta je transcendentální. [čtyři]

Viz také

Poznámky

↑ Vilmos Komornik, Paola Loreti. Unikátní vývoj v neceločíselných základech // The American Mathematical Monthly. — 1998-08-XX. — Sv. 105 , iss. 7 . — S. 636–639 . — ISSN 1930-0972 0002-9890, 1930-0972 . - doi : 10.1080/00029890.1998.12004937 .
↑ Eric W. Weisstein. q - Rozšíření . mathworld.wolfram.com . Získáno 14. května 2021. Archivováno z originálu dne 14. května 2021.
↑ Eric W. Weisstein. Konstanta Komornik-Loreti . mathworld.wolfram.com . Získáno 14. května 2021. Archivováno z originálu dne 14. května 2021.
↑ Jean-Paul Allouche, Michel Cosnard. Konstanta Komornik-Loreti je transcendentální // Americký matematický měsíčník. — 2000-05. - T. 107 , č.p. 5 . - S. 448 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2695302 .

Čísla s vlastními jmény

Matematické konstanty

Algebraický

Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální

Stupně tisíce

Stará ruská čísla

Další mocniny deseti

Mocniny dvanácti

Jiný celek

Jiná čísla

pomyslná jednotka