De Bruijn-Newmanova konstanta

De Bruijn-Newmanova konstanta je matematická konstanta označovaná Λ. Pojmenováno po Nicholasi Govert de Bruyne a Charles M. Newman.

Popis

Zvažte Riemannovu xi-funkci:

\Xi (iz)={\frac {1}{2}}\left(z^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\pi ^{-{\frac { z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}}\right)\zeta \ vlevo(z+{\frac {1}{2}}\vpravo)

Výraz může být reprezentován jako Fourierova transformace : ${\frac {\Xi (z/2)}{8}}$

\Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2 }e^{5t}\right)e^{-\pi n^{2}e^{4t}}

pro . Pak Fourierovu transformaci označíme jako : $t\in \mathbb {R} \geq 0$ $\Phi (t)e^{\lambda t^{2))$ $H(\lambda ,z)$

{\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda ,z)

Konstanta je definována pomocí nul funkce H(λ, z). Reálné nuly má právě tehdy, když λ ≥ Λ. Konstanta je blízko příbuzná Riemann hypotéze pozorovat nuly Riemann zeta funkce .

Význam

De Bruijn v roce 1950 ukázal [1] , že H má pouze reálné nuly pro λ > 1/2, a dále, že pokud má H pouze reálné nuly pro nějaké λ, pak H má také pouze reálné nuly pro větší hodnoty λ. De Bruijnova horní mez Λ ≤ 1/2 nebyla prokázána až do roku 2008, kdy Haseo Ki, Young-One Kim a Jungseob Lee dokázali [2] , že Λ < 1/2, čímž byl důkaz rigorózní [3] .

V prosinci 2018 projekt Polymath zlepšil horní hranici konstanty Λ na 0,22 [4] [5] .

Od dubna 2020 je nejlepší horní mez pro konstantu Λ ≤ 0,2 [6] .

Od roku 1988 se provádějí vážné výpočty k nalezení spodní hranice a stále probíhají (od roku 2018):

Rok	Dolní mez Λ
1988	−50
1991	−5
1990	-0,385
1994	−4,379×10 −6
1993	−5,895×10 −9 [7]
2000	−2,7×10 −9 [8]
2011	−1,1×10 −11 [9]
2018	≥ 0 [10] [11]

Protože je Fourierova transformace , pak H má Wiener-Hopfovu reprezentaci: $H(\lambda ,x)$ $F(e^{\lambda x}\Phi )$

\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{ \frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}H(\lambda ,x)dx

což platí pouze pro nezáporné hodnoty λ. V limitě λ má tendenci k 0, pak pokud je λ záporné, H je definováno takto: $H(0,x)=\xi (1/2+ix)$

H(\lambda ,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}\xi (1/2+ix)dx

Zde A a B jsou skutečné konstanty.

V lednu 2018 publikovali Brad Rogers a Terence Tao článek na arXiv.org , ve kterém tvrdí, že de Bruijn-Newmanova konstanta je nezáporná [10] [11] [5] .

Poznámky

↑ Nicolaas Govert de Bruijn. The Roots of Triginometric Integrals (anglicky) // Duke Math. J.. - 1950. - Sv. 17 , č. 3 . — S. 197–226 . Archivováno z originálu 10. září 2018.
↑ Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. O de Bruijn–Newmanově konstantě // Pokroky v matematice. - 2009. - Sv. 222 , č.p. 1 . - str. 281-306 . — ISSN 0001-8708 . Archivováno z originálu 9. srpna 2017.
↑ Oblasti bez nuly . Získáno 9. 8. 2018. Archivováno z originálu 12. 6. 2018. (neurčitý)
↑ Klesat pod Λ ≤ 0,22? . Získáno 9. 8. 2018. Archivováno z originálu 13. 8. 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 Charles M. Newman, Wei Wu. Konstanty de Bruijn-Newmanova typu v analytické teorii čísel a statistické fyzice . arXiv:1901.06596 [matematika-ph] (19. ledna 2019). Získáno 15. března 2019. Archivováno z originálu dne 22. ledna 2020. (neurčitý)
↑ Dave Platt, Tim Trudgian. Riemannova hypotéza platí až do 3⋅10^12 . arXiv:2004.09765 [math.NT] (21. dubna 2020). Získáno 2. května 2021. Archivováno z originálu dne 17. dubna 2021. (neurčitý)
↑ G. Csordas, A. M. Odlyzko, W. Smith, R. S. Varga. Nový Lehmerův pár nul a nová dolní mez pro De Bruijn–Newmanovu konstantu Lambda // Elektronické transakce při numerické analýze. - 1993. - Sv. 1 . — S. 104–111 . Archivováno z originálu 19. srpna 2021.
↑ Andrew Odlyzko. Vylepšená hranice pro de Bruijn–Newmanovu konstantu // Numerické algoritmy. - 2000. - Sv. 25 . - str. 293-303 .
↑ G. Csordas, A. M. Odlyzko, W. Smith, R. S. Varga. Vylepšená dolní mez pro de Bruijn–Newmanovu konstantu // Matematika výpočtu. - 2011. - Sv. 80 , č. 276 . — S. 2281–2287 .
↑ 1 2 Brad Rodgers, Terence Tao. De Bruijn–Newmanova konstanta není záporná. — 2018.
↑ 1 2 De Bruijn-Newmanova konstanta je nezáporná (19. ledna 2018). Získáno 9. 8. 2018. Archivováno z originálu 11. 7. 2018. (neurčitý)

Čísla s vlastními jmény

Matematické konstanty

Algebraický

Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální

Stupně tisíce

Stará ruská čísla

Další mocniny deseti

Mocniny dvanácti

Jiný celek

Jiná čísla

pomyslná jednotka