Dotty číslo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. září 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Dottiho číslo je konstanta definovaná jako skutečné řešení rovnice

\cos x=x,

kde se argument měří v radiánech . V desítkovém zápisu je Dottieovo číslo přibližně rovno . [jeden] $\cos$ $0,739085133215...$

Z věty o střední hodnotě vyplývá, že naznačená rovnice musí mít alespoň jedno řešení. Derivace funkce je stejná a téměř všude kladná, což znamená, že samotná funkce je monotónně rostoucí a nemůže mít několik nul. Rovnice tedy jednoznačně určuje uvažovanou konstantu. $x-\cos(x)$ $\sin(x)+1$ $\cos x=x$

Hodnoty goniometrických funkcí

Nechť je číslo Dottie. Pak: $D$

\mathrm {sin} (D)\cca 0,673612029183

\mathrm {tg} (D)\cca 0,911413312094

Vlastnosti

Dottiho číslo je netriviální přitahující pevný bod funkce kosinus na libovolně velkém reálném (ale ne komplexním ) okolí sebe sama . Jinými slovy, pro jakékoli reálné číslo se rovná Dottiho konstantě. Rovnice pro komplexní má kromě toho nekonečný počet řešení, ale žádné z nich není přitahujícím se pevným bodem . $X$ $\lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\tečky ))} _{n})$ $\cos z=z$ $z$

Dottiho číslo je navíc transcendentální , což lze dokázat pomocí Lindemann-Weierstrassovy věty . [2]

Pomocí Lagrangeovy věty o inverzi řady bylo prokázáno, že Dottiho číslo lze reprezentovat jako řadu , kde pro každou lichou je racionální číslo definované takto: ${\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}$ $a_n$ $n$

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n))}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2} }}{\frac {\částečné ^{n-1}}{\částečné t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1 \right)^{-n}}\end{aligned}}

Prvních několik členů sekvence je [3] [4] [5] [nb 1] $(a_{n})$ $-{\frac {1}{4)),-{\frac {1}{768)),-{\frac {1}{61440)),-{\frac {43}{165150720)) ,\ldots$

Vzorec v Excelu

Vzorec pro Dottiho číslo v Excelu nebo LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Původ jména

Jméno této konstantě dal Samuel Kaplan na počest francouzské učitelky jménem Dottie, která ji objevila opakovaným mačkáním kosinusového tlačítka na kalkulačce a vyprávěla o ní svému manželovi, učiteli matematiky. [3]

Poznámky pod čarou

↑ Kaplan neuvádí explicitní výraz pro členy řady, ale okamžitě to vyplývá z Lagrangeovy věty o inverzi řad .

Poznámky

↑ OEIS A003957 . oeis.org . Datum přístupu: 26. května 2019. (neurčitý)
↑ Eric W. Weisstein. Dottie číslo . (neurčitý)
↑ 1 2 Kaplan, Samuel R. The Dottie Number // Mathematics Magazine : magazine . - 2007. - únor ( roč. 80 ). — S. 73 .
↑ OEIS A302977 Čitatele racionálního faktoru Kaplanovy řady pro Dottie číslo. . oeis.org . Datum přístupu: 26. května 2019. (neurčitý)
↑ A306254 - OEIS . oeis.org . Staženo: 22. července 2019. (neurčitý)

Odkazy

T. Miller (1890) O číselných hodnotách kořenů rovnice cosx = x
Valery Salov (2012) Nevyhnutelné dottie číslo. Iterály kosinu a sinu
Mohammad K. Azarian (2008) O pevných bodech funkce a pevných bodech jejích složených funkcí

Čísla s vlastními jmény

Matematické konstanty

Algebraický

Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální

Stupně tisíce

Stará ruská čísla

Další mocniny deseti

Mocniny dvanácti

Jiný celek

Jiná čísla

pomyslná jednotka