Konfigurace (geometrie)

V projektivní geometrii se rovinná konfigurace skládá z konečné množiny bodů a konečné konfigurace čar tak, že každý bod dopadá na stejný počet čar a každá přímka dopadá na stejný počet bodů [2] .

Ačkoli některé konkrétní konfigurace byly studovány již dříve (například Thomas Kirkman v roce 1849), formální studium konfigurací poprvé zahájil Theodor Reyet v roce 1876 ve druhém vydání své knihy Geometrie der Lage ( Geometrie pozice ), v kontextu diskuse o Desarguesově teorému . Ernst Steinitz napsal svou disertační práci na toto téma v roce 1894 a konfigurace byly semipolarizovány v roce 1932 Hilbertem a Cohn-Vossenem v Anschauliche Geometrie ( Vizuální geometrie ), který byl přeložen do angličtiny [3] a ruštiny.

Konfigurace lze studovat buď jako konkrétní soubory bodů a linií v konkrétní geometrii, například v euklidovské nebo projektivní rovině (v takovém případě se mluví o realizaci v této geometrii), nebo jako abstraktní incidenční geometrii . V druhém případě jsou konfigurace úzce spjaty s pravidelnými hypergrafy a biregulárními bipartitními grafy , ale s dalším omezením, že libovolné dva body incidenční struktury mohou být spojeny nejvýše s jednou čárou a jakékoli dvě čáry mohou být spojeny. s nejvýše jedním bodem. To znamená, že obvod odpovídajícího bipartitního grafu ( konfigurace Lévyho grafu ) musí být alespoň šest.

Notace

Rovinná konfigurace je označena jako ( p γ ℓ π ), kde p je počet bodů, ℓ je počet čar, γ je počet čar procházejících každým bodem a π je počet bodů na každé přímce. Tato čísla musí odpovídat vztahu

,

protože tento součin se rovná počtu incidentů v bodové linii ( příznaků ).

Konfigurace se stejným symbolem nemusí být izomorfní jako incidenční struktury . Například existují tři různé konfigurace (9 3  9 3 ) – konfigurace Pappus a dvě méně známé konfigurace.

V některých konfiguracích p = ℓ , a proto γ = π. Říká se jim symetrické nebo vyvážené [4] konfigurace a většinou se v zápisu vynechává opakování. Například (9 3  9 3 ) je redukováno na (9 3 ).

Příklady

Nejznámější jsou následující projektivní konfigurace:

Dualita konfigurací

Projektivně duální konfigurace pro ( p γ l π ) je konfigurace ( l π p γ ), ve které jsou role „bodů“ a „přímek“ obráceny. Proto konfigurace přicházejí v duálních párech, kromě případů, kdy je duální konfigurace izomorfní k původní. Tyto výjimky se nazývají samoduální konfigurace a v těchto případech p = l [6] .

Počet konfigurací ( n 3 )

Počet neizomorfních konfigurací typu ( n 3 ), počínaje n = 7, je prvkem posloupnosti

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... OEIS sekvence A001403

Tato čísla jsou počítána jako abstraktní incidenční struktury bez ohledu na možnost jejich implementace [7] . Jak píše Gropp [8] , devět z deseti konfigurací (10 3 ) a všechny konfigurace (11 3 ) a (12 3 ) lze realizovat v euklidovském prostoru, ale pro všechna n ≥ 16 existuje alespoň jedna nerealizovatelná konfigurace ( n 3 ). Gropp také upozorňuje na dlouhodobou chybu v této sekvenci – článek z roku 1895 se pokusil vypsat všechny konfigurace (12 3 ) a bylo jich nalezeno 228, ale 229. konfigurace byla objevena až v roce 1988.

Konstrukce symetrických konfigurací

Existuje několik metod pro sestavování konfigurací, obvykle počínaje již známými konfiguracemi. Některé z nejjednodušších těchto metod konstruují symetrické ( p γ ) konfigurace.

Jakákoli konečná projektivní rovina řádu n je konfigurací (( n 2 + n + 1) n + 1 ). Nechť Π je projektivní rovina řádu n . Odstraňte z Π bod P a všechny přímky Π procházející P (ale ne body ležící na těchto přímkách, kromě bodu P ) a odstraňte přímku l neprocházející P a všechny body ležící na této přímce. V důsledku toho získáme konfiguraci typu (( n 2 - 1) n ). Pokud při konstrukci zvolíme přímku l procházející P , získáme konfiguraci typu (( n 2 ) n ). Protože je známo, že projektivní roviny existují pro všechny řády n , které jsou mocninami prvočísel, poskytují tyto konstrukce nekonečnou rodinu symetrických konfigurací.

Ne všechny konfigurace jsou realizovatelné, například konfigurace (43 7 ) neexistuje [9] . Nicméně Grupp [10] navrhl konstrukci, která ukazuje, že pro k ≥ 3 existuje konfigurace ( p k ) pro všechna p ≥ 2 l k + 1, kde l k je délka optimálního Golombova pravítka řádu k .

Vysoké rozměry

Koncept konfigurace lze zobecnit na vyšší dimenze, jako jsou body a čáry nebo roviny v prostoru . V tomto případě lze zmírnit omezení, že žádné dva body nemohou ležet na více než jedné přímce, protože dva body mohou patřit do více než jedné roviny.

V trojrozměrném prostoru jsou zajímavé

Další zobecnění se získá v trojrozměrném prostoru uvažováním výskytu bodů, čar a rovin, to znamená j - prostorů pro 0 ≤ j < 3, kde každý j - prostor je incidentní s N jk k -prostory ( j ≠ k ). Označíme-li Njj počet j - prostorů, lze takovou konfiguraci znázornit jako matici :

Přístup lze zobecnit na další dimenze n , kde 0 ≤ j < n . Takové konfigurace jsou matematicky příbuzné pravidelným mnohostěnům [11] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 V angličtině - quadrangle a quadrilateral , což se do ruštiny v obou případech překládá jako čtyřúhelník . Zde však mluvíme o různých figurách.
  2. ↑ V literatuře se pro stejný koncept používají termíny projektivní konfigurace ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) a taktická konfigurace typu (1,1) ( Dembowski 1968 ).
  3. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , s. 94–170.
  4. ↑ Grünbaum, 2009 .
  5. ↑ Kelly, 1986 .
  6. ↑ Coxeter, 1999 , str. 106-149.
  7. ↑ Betten, Brinkmann, Pisanski, 2000 .
  8. ↑ Gropp, 1997 .
  9. ↑ Tato konfigurace by měla být projektivní rovina řádu 6, ale taková rovina podle Bruck-Reiserovy věty neexistuje.
  10. ↑ Gropp, 1990 .
  11. ↑ Coxeter, 1948 .

Literatura

Odkazy