Modul nad prstencem

Modul nad prstencem je jedním ze základních pojmů v obecné algebře , což je zobecnění dvou algebraických pojmů - vektorového prostoru (ve skutečnosti je vektorový prostor modul nad polem ) a abelovské grupy (což je modul přes kruh celých čísel ). $\mathbb {Z}$

Koncept modulu je jádrem komutativní algebry , která hraje důležitou roli v různých oblastech matematiky , např.

Motivace

Ve vektorovém prostoru tvoří soubor skalárů pole a násobení skalárem splňuje několik axiomů , jako je distributivita násobení. V modulu je pouze požadováno, aby skaláry tvořily prstenec (asociativní, s jednotou ), axiomy zůstávají stejné.

Hodně z teorie modulů sestává z pokusů zobecnit známé vlastnosti vektorových prostorů k nim, někdy pro toto jeden musí omezit sebe na moduly přes “dobře vychované” prsteny, takový jako hlavní ideální domény . Obecně jsou však moduly složitější než vektorové prostory. Například ne každý modul si může vybrat bázi a i ty, u kterých je to možné , mohou mít několik bází s různým počtem prvků (v případě nekomutativního kruhu).

Definice

Dovolit být prsten (obvykle považovaný za komutativní s prvkem identity ). A -modul je abelovská skupina s operací násobení prvky kruhu : $R\$ $1\v R$ $R$ $M\$ $R\$

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,

který splňuje následující podmínky:

jeden)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),

\forall m\in M\quad 1m=m.

\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},

čtyři)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.

Poznámka: V případě nekomutativního kruhu se takové moduly často nazývají levý . V tomto případě jsou pravé moduly ty objekty, ve kterých je podmínka 1) nahrazena následujícím:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

což je mnohem pohodlnější formulovat zápisem prstencového prvku napravo od prvku modulu : $m$

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ proto ta terminologie.

V případě komutativního kruhu jsou definice levého a pravého modulu stejné a nazývají se jednoduše moduly. $R\$

Jakýkoli prsten lze považovat za modul sám nad sebou (v nekomutativním případě je to také pravý modul nad sebou). $R\$

Související definice a vlastnosti

Podmodul modulu je podskupina skupiny , která je uzavřena pod násobením prvky z , to znamená, že: $PAN}\$ $B\$ $M\$ $R\$

\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B

Jestliže prsten je viděn jako levý modul přes sebe, pak jeho submoduly jsou levé ideály ; pokud je prsten považován za správný modul, pak podle správných ideálů. V komutativním případě se pojmy levý a pravý ideál shodují. $R$

Homomorfismus nebo -homomorfismus -modulů je skupinový homomorfismus , pro který je splněna další podmínka . Množina všech takových homomorfismů je označena . Na této množině lze zavést strukturu abelovské skupiny definováním 0 a následujících rovností: $R$ $,R$ $A$ $B$ $\phi :A\to B$ $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$ $Hom_{R}(A,\B)$ $-$ $+$

0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a

Pokud je submodul modulu , můžeme považovat modul kvocientu za množinu tříd ekvivalence prvků tím, že definujeme vztah ekvivalence mezi prvky: $N$ $M$ $M/N$ $M$

a\sim b

pokud a jen tehdy .

ba

N

Prvky faktorového modulu se obvykle označují jako . Operace sčítání a násobení jsou definovány vzorci . $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$ $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$

Příklady

Jakákoli abelovská skupina je modul nad kruhem celých čísel.
Jakákoli abelovská skupina s ohraničením (tj. abelovská skupina taková, že ) je modulem v kruhu tříd zbytků modulo . $n$ $A$ $nA=0$ $\mathbb {Z} _{n}$ $n$
Lineární prostor nad polem je modulo over . $F$ $F$
Lineární prostor je modul nad prstencem všech jeho lineárních transformací $PROTI$ $L(V)$
Formy diferenciálu na hladkém rozdělovači jsou vybaveny přirozenou modulovou strukturou nad prstencem všech hladkých funkcí na . $M$ $M$
Pokud je I levý ideál prstence R , pak to bude levý modul nad tímto prstencem. Podobně správné ideály budou správnými moduly.

Typy modulů

Finálně vygenerované moduly
Cyklické moduly : O modulu se říká, že je cyklický, pokud je generován jediným prvkem.
Volné moduly
Projektivní moduly
Injektivní moduly
Nerozložitelné moduly : O modulu se říká, že je nerozložitelný, pokud je nenulový a nelze jej rozložit na přímý součet dvou nenulových modulů.
Kompletně rozložitelné moduly : moduly, které lze rozložit na přímý součet nerozložitelných.
Jednoduché moduly
Polojednoduché moduly
moduly Artin
Noetheriánské moduly

Historie

Nejjednodušší příklady modulů (konečné abelovské grupy, tj. -moduly) se již v Gaussovi objevují jako třídní grupa binárních kvadratických forem. S obecným konceptem modulu se poprvé setkáváme v 60. a 80. letech 20. století. století v dílech Dedekinda a Kroneckera , věnované aritmetice polí algebraických čísel a algebraických funkcí. Studium konečně-dimenzionálních asociativních algeber, a zejména grupových algeber konečných grup (B. Pierce, F. Frobenius ), prováděné přibližně ve stejné době, vedlo ke studiu ideálů některých nekomutativních kruhů. Zpočátku se teorie modulů vyvíjela hlavně jako teorie ideálů nějakého prstenu. Teprve později, v pracích E. Noethera a W. Krulla, bylo zjištěno, že je pohodlnější formulovat a dokazovat mnoho výsledků z hlediska libovolných modulů, a nikoli pouze ideálů. $\mathbb {Z}$

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.