Maxwellův tenzor napětí

Maxwellův tenzor napětí (pojmenovaný po Jamesi Clerkovi Maxwellovi ) je symetrický tenzor druhého řádu používaný v klasickém elektromagnetismu k reprezentaci interakce mezi elektromagnetickými silami a mechanickou hybností . V jednoduchých případech, jako je bodový náboj volně se pohybující v rovnoměrném magnetickém poli, je snadné vypočítat síly působící na náboj z Lorentzovy síly . Ve složitějších případech se tento obvyklý postup může stát neprakticky složitým s rovnicemi zahrnujícími více řádků. Proto je vhodné shromáždit mnoho z těchto termínů v Maxwellově tenzoru napětí a použít aritmetiku tenzoru k nalezení odpovědi na daný problém.

V relativistické formulaci elektromagnetismu se Maxwellův tenzor objevuje jako součást tenzoru elektromagnetické energie-hybnosti , což je elektromagnetická složka celkového tenzoru energie-hybnosti . Ten popisuje hustotu a tok energie a hybnosti v časoprostoru .

Odůvodnění

Níže je ukázáno, že elektromagnetická síla je zapsána v podmínkách E a B. Pomocí vektorového počtu a Maxwellových rovnic se hledá symetrie ve výrazech obsahujících E a B a zavedení Maxwellova tenzoru napětí zjednoduší výsledek.

Maxwellovy rovnice v jednotkách SI ve vakuu (pro referenci)

název	Diferenciální forma
Gaussův zákon (ve vakuu)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))))$
Gaussův zákon pro magnetismus	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Maxwell-Faradayova rovnice (Faradayův indukční zákon)	$\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$
Ampérův kruhový zákon (ve vakuu) (s Maxwellovou korekcí)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{ \partial-t}}\$

Podle Lorentzovy síly
F = q ( E + proti × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )} $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$ F = ∫ ( E + proti × B ) p d τ {\displaystyle \mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau } $\mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau$ síla na jednotku objemu je
F = p E + J × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.} $\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.$
Dále lze ρ a J nahradit elektrickými a magnetickými poli E a B podle Gaussova zákona a Ampérovy věty o cirkulaci magnetického pole : F = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + jeden μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t E × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$
Časová derivace může být přepsána do něčeho, co lze interpretovat fyzikálně, konkrétně do Poyntingova vektoru . Použití pravidla součinu a Faradayova zákona elektromagnetické indukce dává: ∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ ∂ t E × B + E × ∂ ∂ t B = ∂ ∂ t E × B − E × ( ∇ × E ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E} \ krát \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\částečný }{\částečný t))\mathbf {B} ={\frac {\částečný }{\částečný t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),} ${\frac {\partial }{\partial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E} \ krát \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\částečný }{\částečný t))\mathbf {B} ={\frac {\částečný }{\částečný t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),$ a nyní můžeme přepsat parametr f jako F = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + jeden μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) − ε 0 E × ( ∇ × E ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \částečné t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E}).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \částečné t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E}).$ Potom spojením s E a B vznikne F = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + jeden μ 0 [ − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ tučný symbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \ mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ tučný symbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \ mathbf {B} \right).$
Zdá se, že výraz „chybí“ v symetrii v E a B , čehož lze dosáhnout vložením (∇ ⋅ B ) B , kvůli Gaussovu zákonu pro elektromagnetismus : F = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + jeden μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$ Eliminujte vichřice (které je poměrně těžké spočítat) pomocí identity vektorového počtu jeden 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A × ( ∇ × A ) + ( A ⋅ ∇ ) A , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,} ${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,$ vede k: F = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E ] + jeden μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − jeden 2 ∇ ( ε 0 E 2 + jeden μ 0 B 2 ) − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Tento výraz obsahuje všechny aspekty elektromagnetismu a hybnosti a lze jej poměrně snadno vypočítat. Lze jej napsat kompaktněji zavedením Maxwellova tenzoru napětí , σ i j ≡ ε 0 ( E i E j − jeden 2 5 i j E 2 ) + jeden μ 0 ( B i B j − jeden 2 5 i j B 2 ) . {\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\vpravo).} $\sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\vpravo).$ Vše kromě posledního členu f lze zapsat jako tenzorovou divergenci Maxwellova tenzoru napětí, což dává: ∇ ⋅ σ = F + ε 0 μ 0 ∂ ∂ t S . {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\mathbf { S}\,.} $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\mathbf { S}\,.$ Stejně jako v Poyntingově teorému lze druhý člen na pravé straně výše uvedené rovnice interpretovat jako časovou derivaci hustoty hybnosti elektromagnetického pole, zatímco první člen je časovou derivací hustoty hybnosti pro masivní částice. Výše uvedená rovnice tedy bude zákonem zachování hybnosti v klasické elektrodynamice, kde je zaveden Poyntingův vektor S = jeden μ 0 E × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

Ve vztahu zachování hybnosti výše je hustota toku hybnosti a hraje roli podobnou té v Poyntingově teorému . $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

Výše uvedené odvození předpokládá plnou znalost parametrů ρ a J (volné i omezené náboje a proudy). V případě nelineárních materiálů (např. magnetické železo s BH křivkou (křivka hustoty toku) je nutné použít nelineární Maxwellův tenzor napětí. [jeden]

Rovnice

Ve fyzice je Maxwellův tenzor napětí tenzor napětí elektromagnetického pole . Jak je uvedeno výše v jednotkách SI , je to definováno jako:

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0))}B_{i}B_{j}-{ \frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _ {ij},

kde ε 0 je elektrická konstanta , μ 0 je magnetická konstanta , E je elektrické pole , B je magnetické pole a δ ij je Kroneckerova delta . V gaussovských jednotkách CGS je to definováno jako:

\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{ 2}}\left(E^{2}+H^{2}\vpravo)\delta _{ij}\vpravo),

kde H je magnetizační pole .

Alternativní způsob, jak vyjádřit tento tenzor:

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right],

kde ⊗ je dyadický součin a poslední tenzor je jednotkový dyad: ${\mathbb {I}}$

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat { x)) +\mathbf {\hat {y)) \otimes \mathbf {\hat {y)) +\mathbf {\hat {z)) \otimes \mathbf {\hat {z)) \right)

Prvek ij Maxwellova tenzoru napětí má jednotky hybnosti na jednotku plochy za jednotku času a udává tok hybnosti rovnoběžný s i -tou osou procházející povrchem kolmým k j -té ose (v záporném směru) za jednotku času.

Tyto jednotky lze také považovat za jednotky síly na jednotku plochy (záporný tlak) a prvek ij tenzoru lze také interpretovat jako sílu rovnoběžnou s osou i , působící na plochu kolmou k ose j, za jednotka. plocha. Diagonální prvky skutečně nastavují napětí (tah, prodloužení) působící na plošný diferenciální prvek podél normály k odpovídající ose. Na rozdíl od sil způsobených tlakem ideálního plynu zažívá plošný prvek v elektromagnetickém poli také sílu, která nesměřuje podél normály k prvku. Tento posun je dán mimodiagonálními prvky tenzoru napětí.

Pouze magnetismus

Pokud je pole pouze magnetické (což do značné míry platí například pro motory), některé termíny odpadnou a rovnice v jednotkách SI bude:

\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{ij}\,.

Pro válcové předměty, jako je rotor motoru, tento výraz zjednodušuje:

\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{rt}\,.

kde r je posun v radiálním (mimo válec) směru, t je posun v tangenciálním (kolem válce) směru. Toto je tangenciální síla, která otáčí motor. Br je hustota toku v radiálním směru a Bt je hustota toku v tangenciálním směru .

V elektrostatice

V elektrostatice účinky magnetismu chybí. V tomto případě magnetické pole zmizí, a dostaneme Maxwellův tenzor elektrostatického napětí . Udává se ve formě komponentů $\mathbf {B} =\mathbf {0}$

\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ ij}

a to v symbolické podobě

{\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} ,

kde je vhodný tenzor identity (obvykle ). $\mathbf {I}$ $3\krát3$

Vlastní hodnota

Vlastní hodnoty Maxwellova tenzoru napětí jsou určeny výrazem:

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _ {0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1 }{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}.

Tyto vlastní hodnoty se získají iterativní aplikací maticového determinantu lemmatu v kombinaci se Sherman-Morrisonovým vzorcem.

Všimněte si, že matici charakteristických rovnic lze zapsat jako ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\ epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T))+{\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\textsf {T)),

kde

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2} \že jo),

nainstalujeme

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}.

Pokud jednou použijeme lemma determinantu matice, dostaneme:

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \že jo)}.

Opětovné použití dává

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}.

Z posledního násobiče na pravé straně výrazu je hned jasné, že jde o jedno z vlastních čísel. $\lambda =-V$

Abychom našli inverzní , použijeme Sherman-Morrisonův vzorec: $\mathbf {U}$

\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E } ^{\textsf {T))}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\ textsf {T}}\mathbf {E} }}.

Po faktorizaci determinantního členu nám zbývá najít nuly racionální funkce: $\left(-\lambda -V\right)$

\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2} }{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right) }}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right).

Jakmile se tedy rozhodneme

-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0,

dostaneme dvě další vlastní čísla.

Viz také

Ricciho kalkul
Hustota energie elektrických a magnetických polí
Ukazující vektor
Tenzor elektromagnetické energie-hybnosti
magnetický tlak
Magnetická tažná síla

Odkazy

↑ Brauer, John R. Magnetic Actuators and Sensors : [ eng. ] . — 2014-01-13. — ISBN 9781118754979 .

David J. Griffiths, "Úvod do elektrodynamiky", s. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964.