Eulerova identita (komplexní analýza)

Eulerova identita je speciální případ Eulerova vzorce pro , dobře známou identitu spojující pět základních matematických konstant : $x=\pi$

e^{i\pi }+1=0,

kde

E

- číslo e nebo základna přirozeného logaritmu ,

i

je pomyslná jednotka ,

\pi

- pi , poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru ,

jeden

— jednotka , neutrální prvek operací násobení ,

0

— nula , neutrální prvek operací sčítání .

Eulerova identita je pojmenována po švýcarském , německém a ruském matematikovi Leonhardu Eulerovi . Identita je považována za vzor matematické krásy , protože ukazuje hluboké spojení mezi nejzákladnějšími čísly v matematice.

Závěr

Eulerova identita je speciální případ Eulerova vzorce z komplexní analýzy :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

pro jakýkoli skutečný . (Všimněte si, že argumenty goniometrických funkcí a jsou brány v radiánech ). Zejména $X$ $\hřích$ $\cos$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

A z čeho

\cos \pi =-1

\sin \pi =0,

by měl

e^{i\pi }=-1

což dává identitu:

e^{i\pi }+1=0.

Zobecnění

Eulerova identita je také zvláštním případem obecnější identity: součet kořenů jednoty tého stupně at je roven : $n$ $n>1$ $0$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n))}=0.

Eulerova identita je případ, kdy . $n=2$

V jiné oblasti matematiky lze pomocí umocňování kvaternionů ukázat, že podobná identita platí také pro kvaterniony. Nechť { i , j , k } jsou základní prvky; pak

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

Obecně platí, že pokud reálné a 1 , a 2 a a 3 jsou dány tak, že a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , pak

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

Pro oktoniony s reálným a n takovým, že a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 a se základními prvky oktonionů { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\tečky +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Matematická krása

Eulerova identita, kombinující tři základní matematické operace ( sčítání , násobení a umocňování ) a pět základních matematických konstant patřících do čtyř klasických oblastí matematiky (čísla a patří do aritmetiky , imaginární jednotka do algebry , číslo do geometrie a číslo e - k matematické analýze [1] ), udělal hluboký dojem na vědecký svět, byl mysticky interpretován jako symbol jednoty matematiky a je často uváděn jako příklad hluboké matematické krásy . $0$ $jeden$ $i$ $\pi$

Eulerova identita vyvolala mnoho nadšených recenzí.

Carl Friedrich Gauss řekl, že pokud tento vzorec není studentovi okamžitě zřejmý, pak se nikdy nepromění v prvotřídního matematika [2] .
Profesor matematiky, přírodní filozofie a astronomie na Harvardské univerzitě Benjamin Pierce poté, co na přednášce prokázal Eulerovu identitu, řekl, že „to je pravděpodobně pravda, ale je to naprosto paradoxní; nemůžeme to pochopit a nevíme, co to znamená, ale dokázali jsme to, a proto víme, že to musí být pravda“ [3] .
Fyzik Richard Feynman nazval (1977) Eulerovu identitu „náš poklad“ a „nejpozoruhodnější vzorec v matematice“ [4] .
Profesor matematiky Stanfordské univerzity Keith Devlinve své eseji „Nejkrásnější rovnice“ (2002) řekl: „Jako Shakespearův sonet zachycuje samotnou podstatu lásky nebo obraz odhaluje krásu lidské podoby, mnohem hlouběji než jen kůže, Eulerova rovnice proniká do samotných hlubin existence“ [5] .
Emeritní profesor University of New Hampshire Paul Nahinve své knize o Eulerově vzorci a jeho aplikaci ve Fourierově analýze popisuje Eulerovu identitu jako „vytříbenou krásu“ [5] .
Podle popularizátora matematiky Constance Readové je tato identita „nejznámějším vzorcem v celé matematice“ [6] .

Čtenářský průzkum, který provedl The Mathematical Intelligencer v roce 1990, označil Eulerovu identitu za „nejkrásnější teorém v matematice“ [7] . V jiném čtenářském průzkumu provedeném fyzikálním časopisem PhysicsWorld v roce 2004 byla Eulerova identita (spolu s Maxwellovými rovnicemi ) nazvána „největší rovnicí v historii“ [8] .

Studie mozků šestnácti matematiků ukázala, že „emocionální mozek“ (zejména mediální orbitofrontální kůra , která reaguje na krásnou hudbu, poezii, obrazy atd.) byl aktivován důsledněji v případě Eulerovy identity než v vztah k jakémukoli jinému vzorci [9] .

Historie

Eulerův vzorec , z něhož bezprostředně vyplývá Eulerova identita , byl poprvé citován v článku anglického matematika Rogera Cotese ( Newtonův asistent) „Logometria“ ( lat. Logometria ), publikovaném ve Philosophical Transactions of the Royal Society v roce 1714 [10] ( když bylo Eulerovi 7 let) a přetištěno v knize „Harmony of Measures“ ( lat. Harmonia mensurarum ) v roce 1722 [11] .

Euler publikoval Eulerův vzorec v jeho obvyklé formě v článku z roku 1740 a v knize "Úvod do analýzy infinitesimál" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] .

V Eulerových dokumentech z let 1740 a 1748 se však Eulerova identita (ve své současné klasické podobě) neobjevuje, kde je možné, že ji nikdy neodvozoval. Existuje možnost, že Euler mohl získat informace o Eulerově formuli prostřednictvím svého švýcarského krajana Johanna Bernoulliho [13] .

Podle Robina Wilsona[14] :

Viděli jsme, jak to [Eulerovu identitu] lze snadno odvodit z výsledků Johanna Bernoulliho a Rogera Kotese, ale zdá se, že žádný z nich tak neučinil. Zdá se, že ani Euler to nenapsal explicitně – a samozřejmě se to neobjevuje v žádné z jeho publikací –, i když si nepochybně uvědomil, že to bezprostředně vyplývá z jeho identity [v tomto případě Eulerův vzorec ], e ix \u003d cos x + i hřích x . Navíc se zdá, že se neví, kdo jako první formuloval výsledek výslovně...

V kultuře

Film Takashiho Koizumiho " Profesorova oblíbená rovnice " je věnován Eulerově identitě .

Poznámky

↑ Danzig, Tobiáš. Čísla jsou jazykem vědy . - M .: Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Jednoduchá posedlost. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice. Astrel, 2010. 464 s. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. a Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: Příběh čísla, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. Feynmanovy přednášky o fyzice (v ruštině) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Eulerův báječný vzorec: Léčí mnoho matematických nemocí, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (různá vydání), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), „Jsou tyhle nejkrásnější?“, The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (10. května 2004), „Největší rovnice všech dob“, Svět fyziky
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), "Zkušenost matematické krásy a jejích nervových korelací", Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. - 1714-1716. — Sv. 29 . — S. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Archivováno z originálu 6. července 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Archivní kopie ze 7. června 2020 na Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Eulerovy největší hity. - Mathematical Association of America, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Eulerova průkopnická rovnice: Nejkrásnější věta v matematice (anglicky) . — Oxford University Press, 2018.