Sharyginský trojúhelník

Sharyginův trojúhelník je trojúhelník , který není rovnoramenný , jehož základny os tvoří rovnoramenný trojúhelník [1] .

Poprvé se jím zabýval Igor Fedorovič Sharygin v roce 1982 v knize Problémy v geometrii. Planimetrie“ [2] [3] .

Sharyginovy trojúhelníky jsou zajímavé, protože existují, na rozdíl od podobných trojúhelníků, v jejichž definici se například místo osy používají mediány nebo výšky [4] .

Existence Sharyginových trojúhelníků

Pro jakýkoli úhel takový , že existuje, až do podobnosti , právě jeden Sharyginův trojúhelník s jedním z úhlů rovným , a pro jakýkoli Sharyginský trojúhelník kosinus jednoho z jeho úhlů leží v uvedeném intervalu . $\alpha$ $-{\frac {1}{4}}<\cos(\alpha )<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}$ $\alpha$

Samotný úhel ve stupních splňuje přibližnou dvojitou nerovnost [1] [3] . $\alpha$ $102{,}663^{\circ }\lesssim \alpha \lesssim 104{,}478^{\circ }$

Důkaz

Nechť je Sharyginův trojúhelník, , a jsou jeho strany (viz obrázek), , a jsou jeho osy a . $\vartriangle ABC$ $A$ $b$ $C$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Předpokládejme , že je kolmá osa k úsečce . Potom jsou úhly a stejné a úhly a jsou také stejné, protože přímka je sečna úhlu , takže podle věty o součtu úhlů trojúhelníku pro trojúhelníky jsou úhly a stejné, což znamená, že úhly a jsou také stejné , z čehož vyplývá, že trojúhelník je rovnoramenný, pak podle definice není Sharyginův trojúhelník. $AA_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $\angle AIB$ $\angle AIC$ $\angle IAC$ $\angle IAB$ $AI$ $\angle CAB$ $\vartriangle ACI$ $\vartriangle ABI$ $\angle ACI$ $\angle ABI$ $\angle ACB=2\angle ACI$ $\angle ABC=2\angle ABI$ $\vartriangle ABC$

Není tedy kolmice na úsečku . Potom je bod průsečíkem osy úhlu a odvěsny k úsečce , která leží na kružnici opsané trojúhelníku v důsledku věty o vepsaném úhlu . Pak je čtyřúhelník vepsán , Proto, , Což znamená, že součet úhlů a , Jako sousedící s úhly a , V tomto pořadí, je také roven . $AA_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $A_{1}$ $\angle B_{1}AC_{1}$ $B_{1}C_{1}$ $\vartriangle AB_{1}C_{1}$ ${\displaystyle AB_{1}A_{1}C_{1))$ $\angle AB_{1}A_{1}+\angle AC_{1}A_{1}=180^{\circ }$ ${\displaystyle \angle CB_{1}A_{1))$ ${\displaystyle \angle BC_{1}A_{1))$ ${\displaystyle \angle AB_{1}A_{1))$ ${\displaystyle \angle AC_{1}A_{1))$ $180^{\circ }$

Připevněme trojúhelníky k sobě a na stejné strany , resp. Dostaneme trojúhelník podobný trojúhelníku podle prvního znaménka podobnosti trojúhelníků . Je snadné vidět , že jeho strany budou stejné a . Z podobnosti pak dostaneme to, co lze do formuláře přepsat ${\displaystyle \vartriangle CA_{1}B_{1))$ $\vartriangle BA_{1}C_{1}$ $A_{1}B_{1}$ $A_{1}C_{1}$ $\vartriangle ABC$ ${\frac {ac}{b+c}}$ ${\frac {ab}{b+c}}$ ${\frac {ac}{a+b}}+{\frac {ab}{a+c}}$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {{\frac {ac}{a+b}}+{\frac { ab}{a+c}}}{a}}={\frac {CB_{1}+C_{1}B}{CB}}={\frac {CA_{1}+A_{1}B}{ CA+AB}}={\frac {a}{b+c}},$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0.$

Označte kosinus úhlu pomocí . Pak podle kosinové věty , a tedy, bude rovnost pravdivá , což při zohlednění trojúhelníkové nerovnosti dává omezení $\úhel BAC$ $X$ $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $bc(2x(a+b+c)+a)=2bcx(a+b+c)+abc=$ $(b^{2}+c^{2}-a^{2})(a+b+c)+abc=$ $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0,$ $2x(a+b+c)+a=0$ $0<a<b+c$ $-{\frac {1}{4}}<x<0.$

$2x(a+b+c)+a=0\Šipka doprava a=-{\frac {2x(b+c)}{2x+1)).$ Dosazením této hodnoty do rovnosti a jejím vydělením dostaneme kvadratickou rovnici pro první a třetí člen menší než nula, což znamená, že prostřední člen musí být větší než nula. , tedy . Výsledná rovnice má řešení právě tehdy, když se její diskriminant rovná alespoň nule a pouze jedno z těchto řešení bude kladné. Případ, kdy je diskriminant roven nule, nesplňuje podmínku , proto je vyžadována jeho striktní kladnost. $b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx$ $c^{2}$ ${\frac {b}{c}}:$
$(4x+1){\Big (}{\frac {b}{c}}{\Big )}^{2}-(8x^{3}+16x^{2}+2x){\ Velký (}{\frac {b}{c}}{\Big )}+(4x+1).$ ${\frac {b}{c}}>0$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0$ ${\frac {1}{4}}((8x^{3}+16x^{2}+2x)^{2}-(4x+1)^{2})=$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1),$ $b\neq c$

Sharyginův trojúhelník c tedy existuje právě tehdy, jsou-li splněny následující podmínky: navíc pro daný trojúhelník je vždy jedinečný. Tyto tři podmínky jsou ekvivalentní omezením $\cos(\angle BAC)=x$ $-{\frac {1}{4}}<x<0,$ $8x^{3}+16x^{2}+2x>0,$ ${\frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1)>0,$ $X$ $-{\frac {1}{4}}<x<{\frac {{\sqrt {17}}-5}{4}}.$

Sharyginova kostka

Sharyginova krychle se nazývá krychle získaná ve výše uvedeném důkazu (má jednodušší, ale nesplňující formální definici krychle, zápis: ), která stanoví nezbytnou a postačující podmínku pro trojúhelník se stranami, aby byl Sharyginův trojúhelník s rovné strany (viz obrázek). $b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}aa^{ 2}ba^{2}c+abc=0$ ${\frac {c}{a+b}}+{\frac {b}{a+c}}={\frac {a}{b+c}}$ $a,b,c$ ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1))$

Konkrétní příklady

V pravidelných mnohoúhelnících

V době roku 2017 je znám pouze jeden příklad trojúhelníku Sharygin, jehož vrcholy mohou být některé vrcholy pravidelného mnohoúhelníku [4] . V tomto příkladu jsou vrcholy trojúhelníku první, druhý a čtvrtý vrchol pravidelného sedmiúhelníku [1] .

Důkaz

Dovolit být vrcholy pravidelného -gon , a být náš trojúhelník, jehož vrcholy jsou také vrcholy pravidelného -gon . Označme vrcholy trojúhelníku tvořeného základnami os ( viz obrázek). Pojďme to dokázat . ${\displaystyle U_{0},U_{1},\tečky ,U_{13))$ $čtrnáct$ ${\displaystyle \vartriangle U_{0}U_{2}U_{6))$ $7$ ${\displaystyle U_{0},U_{2},\tečky ,U_{12))$ ${\displaystyle \vartriangle U_{0}U_{2}U_{6))$ $A, B, C$ $BC=BA$

Vlastností osy vepsaného úhlu procházejí osy body, resp . Bod leží na úhlopříčkách čtyřdesetúhelníku a , které jsou symetrické vzhledem k úhlopříčce , tedy bod také leží na diagonále . Označte průsečík úhlopříček a skrz . Bod je průsečík úhlopříček a , A úhlopříčky a jsou symetrické navzájem vzhledem k úhlopříčce , A úhlopříčka je symetrická sama k sobě vzhledem ke stejné úhlopříčce. Proto jsou body a vzájemně symetrické vzhledem k úhlopříčce . Jak již víme, bod leží na této diagonále, tedy úsečky a jsou vůči ní symetrické, to znamená, že jsou si rovny. $U_{0}A,\;U_{2}B,\;U_{6}C$ ${\displaystyle U_{4},U_{10},U_{1))$ $B$ $U_{0}U_{6}$ $U_{2}U_{10}$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $B$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{10}$ $C_{1}$ $C$ $U_{0}U_{2}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{6}$ $U_{1}U_{10}$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $U_{0}U_{2}$ $C$ $C_{1}$ ${\displaystyle U_{1}U_{8))$ $B$ $před naším letopočtem$ $BC_{1}$

Pojďme to nyní dokázat . Rovné a symetrické vzhledem k . Úhly a jsou založeny na stejných obloucích, což znamená, že jsou stejné v důsledku věty o vepsaném úhlu . Proto jsou čáry a také symetrické vzhledem k . Body a jsou tedy symetrické vzhledem k oběma průsečíkům čar c a c, v tomto pořadí. V tomto případě leží bod na segmentu . Proto jsou segmenty a symetrické vzhledem k , to znamená a jsou stejné. $BC_{1}=BA$ $U_{2}U_{6}$ ${\displaystyle U_{2}U_{0))$ $U_{2}U_{10}$ $\angle U_{10}U_{1}U_{2}$ $\angle U_{10}U_{3}U_{2}$ $U_{10}U_{1}$ ${\displaystyle U_{10}U_{3))$ $U_{2}U_{10}$ $A$ $C_{1}$ $U_{2}U_{10}$ $U_{2}U_{6}$ ${\displaystyle U_{10}U_{3))$ ${\displaystyle U_{2}U_{0))$ $U_{10}U_{1}$ $B$ $U_{2}U_{10}$ $BA$ $BC_{1}$ $U_{2}U_{10}$

Takže, a , což znamená, že je rovnoramenný trojúhelník. $BC=BC_{1}$ $BC_{1}=BA$ $BC=BA$ $ABC$

S celočíselnými délkami stran

Existuje nekonečné množství různých celočíselných Sharyginových trojúhelníků , což bylo prokázáno pomocí teorie eliptických křivek [4] (konkrétně byla uvažována eliptická křivka definovaná Sharyginovou krychlí). Příklad, ve kterém je jedna ze stran nejmenší možná, má následující sadu stran [1]

1\,481\,089,\qquad 18\,800\,081,\qquad 19\,214\,131.

Minimalita tohoto příkladu byla ověřena vyčerpávajícím hledáním [4] .

Variace

Uvažují se také o podobných trojúhelníkech, ve kterých rovnoramenný trojúhelník není ten, který tvoří základny os vnitřních úhlů, ale trojúhelník tvořený jednou základnou osy vnitřního úhlu a dvěma základnami vnějších os vnitřních úhlů. další dva úhly. [5]

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Igor Netai, Alexey Savvateev "Sharyginské trojúhelníky a eliptické křivky" . Získáno 7. července 2020. Archivováno z originálu dne 9. července 2020. (neurčitý)
↑ Článek I.F. Sharygina „Around the bisector“ v časopise Kvant . Získáno 7. července 2020. Archivováno z originálu dne 28. června 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 I.F. Sharygin "Problémy v geometrii. Planimetrie" str.157 . Získáno 7. července 2020. Archivováno z originálu dne 28. června 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 3 4 Přednáška Igora Netaye na youtube . Získáno 7. července 2020. Archivováno z originálu dne 31. července 2020. (neurčitý)
↑ Článek na webu Olivera Nashe . Získáno 7. července 2020. Archivováno z originálu dne 8. července 2020. (neurčitý)

Literatura

Igor Netai, Alexey Savvateev "Sharyginské trojúhelníky a eliptické křivky"

Odkazy

Přednáška Igora Netaye na youtube