Kužel
Kužel (přes německy Konus a latinsky cōnus , z jiného řeckého κώνος [1] - „borová šiška“ [2] ) je plocha tvořená v prostoru soustavou paprsků (tvořících kužel) spojující všechny body určité ploché křivky . ( vedení kužele) s daným bodem v prostoru (vrcholem kužele) [3] .
Je-li vedením kužele uzavřená křivka, pak kuželová plocha slouží jako hranice prostorového tělesa , které se také nazývá "kužel" (viz obrázek), a vnitřek této křivky se nazývá "základna kužel", pokud je základna kužele mnohoúhelník , je takovým kuželem pyramida .
Někdy se místo paprsků uvažují přímky, pak se získá dvojitý kužel, který se skládá ze dvou částí symetrických vzhledem k vrcholu.
Kužel a související kuželosečky hrají velkou roli v matematice, astronomii a dalších vědách.
Související definice
- Boční povrch kužele je spojením generátorů kužele; tvořící čárou kužele je kuželová plocha .
- Výška kužele je segment spadlý kolmo shora k rovině základny (stejně jako délka takového segmentu).
- Úhel otevření kužele je úhel mezi dvěma protilehlými tvořícími přímkami (úhel v horní části kužele, uvnitř kužele).
- Kužel - poměr výšky a průměru základny kužele.
Druhy kuželů
- Pravý kužel je kužel, jehož základna má střed symetrie (například je kruh nebo elipsa ) a ortogonální projekce vrcholu kužele na základní rovinu se shoduje s tímto středem; zatímco přímka spojující vrchol a střed podstavy se nazývá osa kužele .
- Šikmý (neboli šikmý ) kužel - kužel, ve kterém se kolmý průmět vrcholu k základně neshoduje s jeho středem symetrie.
- Kruhový kužel je kužel, jehož základnou je kruh.
- Rotační kužel nebo pravý kruhový kužel (často to znamenají přesně kužel) - kužel, který lze získat rotací (tj. rotačním tělesem ) pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky obsahující rameno trojúhelníku (tato přímka je osou kužele).
- Kužel založený na elipse , parabole nebo hyperbole se nazývá eliptický , parabolický a hyperbolický kužel : poslední dva mají nekonečný objem.
- Komolý kužel nebo kuželová vrstva je část kužele, která leží mezi základnou a rovinou rovnoběžnou se základnou a umístěnou mezi vrcholem a základnou.
- Rovnostranný kužel je rotační kužel, jehož tvořící čára je rovna průměru podstavy [4] .
Vlastnosti
- Pokud je plocha základny konečná, pak je objem kužele také konečný a rovná se jedné třetině součinu výšky a plochy základny.
![V={1\over 3}SH,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f4d60eb6d920ceae41aa24fc47c1b02da167f5)
kde
S je základní plocha,
H je výška. Všechny kužely založené na dané základně (o konečné ploše) a mající vrchol umístěný v dané rovině rovnoběžné se základnou tedy mají stejný objem, protože jejich výšky jsou stejné.
- Těžiště každého kužele s konečným objemem leží ve čtvrtině výšky od základny.
- Prostorový úhel ve vrcholu pravého kruhového kužele je roven
![2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a41fe5d49ea09db12bc982eb96415e705523d70)
kde
α je úhel otevření kužele.
- Boční plocha pravého kruhového kužele je rovna
![{\displaystyle S=\pi Rt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10368fcec18878525bbfcfd08e3519b7a954cd99)
ale obecně
![{\displaystyle S={\frac {tl}{2)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cb45f043ed7bffc0303bbe5242172b2b566127)
kde
R je poloměr základny, je délka tvořící čáry, je délka hranice základny.
![{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de0ca2eec8a2b8f5b03118046939f1fd27aa9c4)
![l](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
Celková plocha (tj. součet ploch boční plochy a základny) se rovná
![{\displaystyle S=\pi R(t+R),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48157728d446bcfd9a666913d51f7a1bc3a917e8)
pro pravý kruhový kužel a
![{\displaystyle S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a53b549c9228a22b002e4839a5890e5cf65b04)
pro libovolné, kde je plocha základny.
- Objem kruhového (ne nutně přímého) kužele se rovná
- Pro komolý kruhový kužel (ne nutně rovný) je objem:
![{\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb07829b9ba80bb94a89d84a4a08206e75fe2f7)
kde a jsou poloměry spodní a horní základny, v tomto pořadí, je výška od roviny spodní základny k horní základně.
![R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
- Pro libovolný komolý kužel (ne nutně rovný a kruhový) je objem:
![{\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd296bc0a12fb5c6eeb6fb2536caff8059bc7a2)
kde a jsou oblasti horní (nejblíže horní) a spodní základny, v tomto pořadí, a jsou vzdálenosti od roviny horní a dolní základny k vrcholu.
![S_{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf84e7fd4fb8259a9b37f956afdf83ee2a020f9)
![S_{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f)
![H_1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4d9a872a55b209f2eb7cc23a71e5e1541bd1f4)
Rovnice pravého kruhového kužele
Rovnice definující boční povrch pravého kruhového kužele s úhlem otevření 2Θ , vrcholem v počátku souřadnic a osou shodující se s osou Oz :
![z=r\cdot \operatorname {ctg}\Theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafe72887c259c2ed3863c4e31877cb473e06f84)
nebo
![z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg}\Theta .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037813b4fcb457d02007ccb8c969b23efc3ded0a)
Tato rovnice v kanonickém tvaru je zapsána jako
![{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62e31494af3edaa3f363cb95ffaf2ddb16dd7e2)
kde konstanty
a , c jsou určeny podílem , což ukazuje, že boční plocha pravého kruhového kužele je
plocha druhého řádu (nazývá
se kuželová plocha ). Obecně platí, že kuželová plocha druhého řádu spočívá na elipse; ve vhodné kartézské soustavě souřadnic (osy
Ox a
Oy jsou rovnoběžné s osami elipsy, vrchol kužele se shoduje s počátkem, střed elipsy leží na ose
Oz ) má její rovnice tvar
![c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a979e7d2bca225b19dc025ea17e5da7cfc96b2)
![{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdfcd8d540f1a12e52b47d7de45984b4e972933)
navíc
a/c a
b/c se rovnají poloosám elipsy. V nejobecnějším případě, kdy kužel spočívá na libovolné rovné ploše, lze ukázat, že rovnice bočního povrchu kužele (s vrcholem v počátku) je dána rovnicí , kde je funkce
homogenní , tj. je, splňuje podmínku pro libovolné reálné číslo
α .
![f(x,y,z)=0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae769b413860f6ae5461aae7ade41b990332f1b)
![f(x,y,z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d48dce2c4341575269f1709237a2e18923237a)
Vývoj
Pravý kruhový kužel jako rotační těleso je tvořen pravoúhlým trojúhelníkem rotujícím kolem jedné z nohou, kde h - výška kužele od středu základny k vrcholu - je noha pravoúhlého trojúhelníku, kolem níž probíhá rotace. Druhá větev pravoúhlého trojúhelníku r je poloměr na základně kužele. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je l , tvořící přímka kužele.
Při vytváření tažení kuželem lze použít pouze dvě hodnoty r a l . Poloměr základny r určuje kružnici základny kužele při skenování a sektor boční plochy kužele určuje tvořící čáru boční plochy l , což je poloměr výseče boční plochy. Sektorový úhel ve vývoji bočního povrchu kužele je určen vzorcem:
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
φ = 360°·( r / l ) .
Variace a zobecnění
- V algebraické geometrii je kužel libovolná podmnožina vektorového prostoru nad polem , pro kterou
![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
![PROTI](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![\lambda K=K.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51498e3be2ab9cb6f35d4f807fd94bde8fd440fd)
- V topologii je kužel nad topologickým prostorem X podílovým prostorem podle vztahu ekvivalence
![X\krát [0,\infty )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b31215ec2b1559bd97a559888c0b90b0009a488)
![{\displaystyle (x,0)\sim (y,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4714917f9728014fced21b1578314eb5d10f5cdd)
- V lineární algebře existuje pojem konvexní kužel .
Viz také
Poznámky
- ↑ Etymologický slovník ruského jazyka od Maxe Fasmera
- ↑ "I κῶνος"
- ↑ Matematický encyklopedický slovník, 1988 , s. 288.
- ↑ Matematická příručka . Staženo 22. května 2020. Archivováno z originálu dne 2. prosince 2020. (neurčitý)
Literatura
Slovníky a encyklopedie |
|
---|
V bibliografických katalozích |
|
---|