Kužel

Kužel (přes německy Konus a latinsky cōnus , z jiného řeckého κώνος [1] - „borová šiška“ [2] ) je plocha tvořená v prostoru soustavou paprsků (tvořících kužel) spojující všechny body určité ploché křivky . ( vedení kužele) s daným bodem v prostoru (vrcholem kužele) [3] .

Je-li vedením kužele uzavřená křivka, pak kuželová plocha slouží jako hranice prostorového tělesa , které se také nazývá "kužel" (viz obrázek), a vnitřek této křivky se nazývá "základna kužel", pokud je základna kužele mnohoúhelník , je takovým kuželem pyramida .

Někdy se místo paprsků uvažují přímky, pak se získá dvojitý kužel, který se skládá ze dvou částí symetrických vzhledem k vrcholu.

Kužel a související kuželosečky hrají velkou roli v matematice, astronomii a dalších vědách.

Související definice

Boční povrch kužele je spojením generátorů kužele; tvořící čárou kužele je kuželová plocha .
Výška kužele je segment spadlý kolmo shora k rovině základny (stejně jako délka takového segmentu).
Úhel otevření kužele je úhel mezi dvěma protilehlými tvořícími přímkami (úhel v horní části kužele, uvnitř kužele).
Kužel - poměr výšky a průměru základny kužele.

Druhy kuželů

Rovný kruhový kužel
Rovné a šikmé kruhové kužely se stejnou základnou a výškou: jejich objem je stejný
Zkosený pravý kruhový kužel

Pravý kužel je kužel, jehož základna má střed symetrie (například je kruh nebo elipsa ) a ortogonální projekce vrcholu kužele na základní rovinu se shoduje s tímto středem; zatímco přímka spojující vrchol a střed podstavy se nazývá osa kužele .
Šikmý (neboli šikmý ) kužel - kužel, ve kterém se kolmý průmět vrcholu k základně neshoduje s jeho středem symetrie.
Kruhový kužel je kužel, jehož základnou je kruh.
Rotační kužel nebo pravý kruhový kužel (často to znamenají přesně kužel) - kužel, který lze získat rotací (tj. rotačním tělesem ) pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky obsahující rameno trojúhelníku (tato přímka je osou kužele).
Kužel založený na elipse , parabole nebo hyperbole se nazývá eliptický , parabolický a hyperbolický kužel : poslední dva mají nekonečný objem.
Komolý kužel nebo kuželová vrstva je část kužele, která leží mezi základnou a rovinou rovnoběžnou se základnou a umístěnou mezi vrcholem a základnou.
Rovnostranný kužel je rotační kužel, jehož tvořící čára je rovna průměru podstavy [4] .

Vlastnosti

Pokud je plocha základny konečná, pak je objem kužele také konečný a rovná se jedné třetině součinu výšky a plochy základny.

V={1\over 3}SH,

kde S je základní plocha, H je výška. Všechny kužely založené na dané základně (o konečné ploše) a mající vrchol umístěný v dané rovině rovnoběžné se základnou tedy mají stejný objem, protože jejich výšky jsou stejné.

Těžiště každého kužele s konečným objemem leží ve čtvrtině výšky od základny.
Prostorový úhel ve vrcholu pravého kruhového kužele je roven

2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),

kde α je úhel otevření kužele.

Boční plocha pravého kruhového kužele je rovna

S=\pi Rt,

ale obecně

S={\frac {tl}{2)),

kde R je poloměr základny, je délka tvořící čáry, je délka hranice základny.

{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))

l

Celková plocha (tj. součet ploch boční plochy a základny) se rovná

S=\pi R(t+R),

pro pravý kruhový kužel a

S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),

pro libovolné, kde je plocha základny.

S_{\text{oc))

Objem kruhového (ne nutně přímého) kužele se rovná

V={1 \přes 3}\pi R^{2}H.

Pro komolý kruhový kužel (ne nutně rovný) je objem:

V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),

kde a jsou poloměry spodní a horní základny, v tomto pořadí, je výška od roviny spodní základny k horní základně.

R

r

H

Pro libovolný komolý kužel (ne nutně rovný a kruhový) je objem:

V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),

kde a jsou oblasti horní (nejblíže horní) a spodní základny, v tomto pořadí, a jsou vzdálenosti od roviny horní a dolní základny k vrcholu.

S_{1}

S_{2}

H_1

H_2

Průsečík roviny s pravým kruhovým kuželem je jedním z kuželoseček (v nedegenerovaných případech elipsa , parabola nebo hyperbola , v závislosti na poloze roviny řezu).

Rovnice pravého kruhového kužele

Rovnice definující boční povrch pravého kruhového kužele s úhlem otevření 2Θ , vrcholem v počátku souřadnic a osou shodující se s osou Oz :

Ve sférickém souřadnicovém systému se souřadnicemi ( r , φ, θ) :

\theta =\Theta .

Ve válcovém souřadnicovém systému se souřadnicemi ( r , φ, z ) :

z=r\cdot \operatorname {ctg}\Theta

nebo

r=z\cdot \operatorname {tg}\Theta .

V kartézském souřadnicovém systému se souřadnicemi ( x , y , z ) :

z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg}\Theta .

Tato rovnice v kanonickém tvaru je zapsána jako

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

kde konstanty a , c jsou určeny podílem , což ukazuje, že boční plocha pravého kruhového kužele je plocha druhého řádu (nazývá se kuželová plocha ). Obecně platí, že kuželová plocha druhého řádu spočívá na elipse; ve vhodné kartézské soustavě souřadnic (osy Ox a Oy jsou rovnoběžné s osami elipsy, vrchol kužele se shoduje s počátkem, střed elipsy leží na ose Oz ) má její rovnice tvar

c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

navíc a/c a b/c se rovnají poloosám elipsy. V nejobecnějším případě, kdy kužel spočívá na libovolné rovné ploše, lze ukázat, že rovnice bočního povrchu kužele (s vrcholem v počátku) je dána rovnicí , kde je funkce homogenní , tj. je, splňuje podmínku pro libovolné reálné číslo α .

f(x,y,z)=0,

f(x,y,z)

f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)

Vývoj

Pravý kruhový kužel jako rotační těleso je tvořen pravoúhlým trojúhelníkem rotujícím kolem jedné z nohou, kde h - výška kužele od středu základny k vrcholu - je noha pravoúhlého trojúhelníku, kolem níž probíhá rotace. Druhá větev pravoúhlého trojúhelníku r je poloměr na základně kužele. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je l , tvořící přímka kužele.

Při vytváření tažení kuželem lze použít pouze dvě hodnoty r a l . Poloměr základny r určuje kružnici základny kužele při skenování a sektor boční plochy kužele určuje tvořící čáru boční plochy l , což je poloměr výseče boční plochy. Sektorový úhel ve vývoji bočního povrchu kužele je určen vzorcem: $\varphi$

φ = 360°·( r / l ) .

Variace a zobecnění

V algebraické geometrii je kužel libovolná podmnožina vektorového prostoru nad polem , pro kterou $K$ $PROTI$ $F$ $\lambda \in F$ $\lambda K=K.$
V topologii je kužel nad topologickým prostorem X podílovým prostorem podle vztahu ekvivalence $X\krát [0,\infty )$ $(x,0)\sim (y,0).$
V lineární algebře existuje pojem konvexní kužel .

Viz také

Poznámky

↑ Etymologický slovník ruského jazyka od Maxe Fasmera
↑ "I κῶνος"
↑ Matematický encyklopedický slovník, 1988 , s. 288.
↑ Matematická příručka . Staženo 22. května 2020. Archivováno z originálu dne 2. prosince 2020. (neurčitý)

Literatura

Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - 2. vyd. — M .: Nauka, 1970. — 720 s.
Kužel // Matematický encyklopedický slovník . - M . : Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 288 . — 847 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Malý Brockhaus a Efron V. Dahl
V bibliografických katalozích	NKC : ph973161