Ars Magna (Cardano)

" Ars Magna " (z  latiny  -  "Velké umění") je kniha v latině o algebře , kterou napsal italský matematik Gerolamo Cardano , největší algebraista 16. století [1] . Poprvé byla vydána v roce 1545 pod názvem Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis ( Velké umění nebo pravidla algebry). Za Cardanova života vyšlo druhé, rozšířené vydání, vydané v roce 1570. V této knize byl vyřešen (do značné míry) problém, se kterým si nejlepší matematici světa po dvě tisíciletí nedokázali poradit - nalezení kořenů rovnic třetího a čtvrtého stupně v explicitní (algebraické) formě ( Cardano vzorce ) [2] .

Aplikovaná hodnota Cardanových vzorců nebyla příliš velká, protože v té době již matematici vyvinuli numerické metody pro výpočet kořenů rovnic jakéhokoli stupně s dobrou přesností. Cardanova kniha však byla prvním dílem matematika nové Evropy, které neobsahovalo souhrn dříve známých výsledků, ale objev nové teoretické metody neznámé ani řeckým , ani islámským matematikům . Tento úspěch inspiroval matematiky v Evropě k novým úspěchům, které se pomalu nestaly následovat [3] .

Cardanovy vzorce se staly také základem pro zavedení jednoho z nejdůležitějších matematických objektů – komplexních čísel [4] . Kromě toho Cardanova kniha začala dlouhou historii výzkumu řešení rovnic v radikálech , což vedlo Evariste Galoise k vytvoření teorie grup o tři století později . Proto Oistin Ore nazval toto dílo počátkem moderní algebry a jednou ze tří největších vědeckých knih rané renesance - spolu s pojednáními " O rotaci nebeských sfér " od Koperníka a " O stavbě lidského těla " od Vesalia . První vydání všech těchto tří knih vyšla v období 1543-1545 a znamenala začátek vědecké revoluce v matematice , astronomii a medicíně [ 5] [3] .

Historie

V roce 1535 se italský matematik Niccolo Tartaglia proslavil tím, že našel způsob, jak explicitně řešit kubické rovnice tvaru a kde (záporná čísla byla tehdy považována za neplatná, takže tyto dva typy rovnic byly považovány za výrazně odlišné). První z těchto dvou typů rovnic vyřešil o něco dříve del Ferro , který svou metodu držel v tajnosti, ale Tartaglia nezávisle na sobě učinil podobný objev a rozšířil tuto metodu na oba tyto typy rovnic [6] .

V roce 1539 požádal milánský matematik Gerolamo Cardano Tartaglia, aby mu prozradil svou metodu. Po určitém odporu Tartaglia souhlasil, ale požádal Cardana, aby tyto informace nikomu nesděloval, dokud je sám nezveřejní. Během několika příštích let Cardano pracoval na tom, jak rozšířit Tartagliův vzorec na další typy kubických rovnic. Navíc jeho student Lodovico Ferrari našel způsob, jak řešit rovnice čtvrtého stupně . Vzhledem k tomu, že Tartaglia nevyvíjel žádné úsilí o zveřejnění své metody (a navíc byla odhalena del Ferrova priorita), Cardano se považoval za osvobozeného od závazků a publikoval své vlastní dílo, přičemž čestně připisoval autorství Tartaglie a del Ferra. Nicméně historicky byl tento algoritmus označován jako „ Cardanoův vzorec “ [7] .

Obsah práce

Kniha, rozdělená do čtyřiceti kapitol, obsahuje podrobný popis metody algebraického řešení kubických rovnic i pomocí pomocné kubické rovnice a čtvrtého stupně . V předmluvě Cardano uznal, že Tartaglia byl autorem vzorce a že stejný vzorec objevil del Ferro . Řekl také, že jeho student Ferrari [8] objevil metodu řešení rovnic čtvrtého stupně .

Koncept vícenásobného kořene se poprvé objevuje v Ars Magna (kapitola I). Cardano věděl o možnosti, že kubická rovnice má tři reálné kořeny, a také o tom, že součet těchto kořenů je roven (v absolutní hodnotě) koeficientu (jeden z Vietových vzorců ) [9] . Negativní kořeny Cardano v duchu tehdejší doby nazývá „fiktivní“ ( fictae ), i když je bral v úvahu při analýze rovnic a někdy je používal jako meziprostředek k získání „pravdivého“ (pozitivního) výsledku. Dlouho před Descartem formuloval „ pravidlo znamení “ [10] . Zná i skutečnost, později zobecněnou a nazvanou Bezoutova věta : polynom je beze zbytku dělitelný binomem, kde je jeden z kořenů [8] .

Na začátku pojednání Cardano vysvětluje, jak redukovat kubickou rovnici obecného tvaru: na kanonickou formu (bez termínu ). Protože v té době nebyly rozpoznány záporné koeficienty , musel uvažovat o třinácti různých typech kubických rovnic (kapitoly XI-XXIII). V následujících kapitolách až do kapitoly XXXVIII jsou uvedeny metody pro přibližné numerické řešení kubické rovnice tětivovou metodou [8] .

V moderní notaci je Cardanoův vzorec pro tři kořeny rovnice :

Cardano, stejně jako předtím Tartaglia, nechává otevřenou otázku, co dělat s kubickou rovnicí, pro kterou se pod znaménkem druhé odmocniny dostane záporné číslo. Například v kapitole I je uvedena rovnice, pro kterou však Cardano svůj vzorec v takových případech nikdy nepoužil. Paradoxně právě tento „nejsložitější“ případ odpovídá „nejskutečnější“ množině kořenů rovnic – všechny tři kořeny se ukáží jako skutečné. Brzy analýza této situace (nazývá se Casus ireducibilis , „neredukovatelný případ“) vedla k začátku legalizace nové třídy čísel; aritmetika komplexních čísel byla poprvé odhalena v algebře Bombelli (1572) a v pojednání Alberta Girarda Nový objev v algebře (1629) [3] .

Ars Magna obsahuje první výskyt v matematice komplexních čísel (kapitola XXXVII), ale dosud nebyl spojen s Cardanovými vzorci. Cardano položil následující problém [11] : najděte dvě čísla , jejichž součet je 10 a jejichž součin je 40. Odpověď: Cardano nazval toto řešení „sofistické“, protože v něm neviděl žádný skutečný význam, ale odvážně napsal „přesto jsme“ ll work" a formálně vypočítal, že jejich součin je skutečně 40. Cardano pak říká, že tato odpověď je "tak důmyslná, jako je zbytečná."

Kapitola XXXIX je věnována rovnicím čtvrtého stupně, pro které je obdobně uvažováno 20 variant s kladnými koeficienty.

Text na internetu

• Ars Magna ve formátu PDF  (lat.)
• Cardano, Gerolamo . Ars magna neboli Pravidla algebry . - Dover, 1993. - 308 s. - ISBN 0-486-67811-3 .  (Angličtina)

Poznámky

1. ↑ Guter, 1980 , s. 151.
2. ↑ Gindikin S. G. Příběhy o fyzicích a matematicích. - M .: Nauka, 1982. - (Bibl. "Quantum", číslo 14).
3. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 295-296.
4. ↑ Gindikin, 2001 , str. 27-29.
5. ↑ Anglický překlad, 1993 , Předmluva.
6. ↑ Guter, 1980 , s. 153-156.
7. ↑ MacTutor .
8. ↑ 1 2 3 Rybnikov, 1960-1963 , s. 119-120.
9. ↑ Nikiforovsky, 1979 , s. 80.
10. ↑ Guter, 1980 , s. 160, 164-165.
11. ↑ Nikiforovsky, 1979 , s. 81.

Literatura

• Gindikin S. G. Velké umění // Příběhy o fyzicích a matematicích. - 3. vydání, rozšířené. - M. : MTSNMO , 2001. - S. 8-42. — 448 s. — ISBN 5-900916-83-9 .
• Guter R. S., Polunov Yu. L. Girolamo Cardano. - M . : Vědomosti , 1980. - 192 s. - ( Tvůrci vědy a techniky ).
• Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 352 s.
• Nikiforovský V. A. Z dějin algebry XVI-XVII století. - M .: Science , 1979. - S. 42-88. — 208 s. — (Dějiny vědy a techniky).
• Rybnikov K. A. Historie matematiky ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1960-1963. - T. 1.

Odkazy

• Ars magna: Velké umění . Dějiny matematiky . Datum přístupu: 22. dubna 2021. (neurčitý)
• John J. O'Connor a Edmund F. Robertson . Girolamo Cardano  (anglicky)  je biografie v archivu MacTutor .

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština
V bibliografických katalozích	LCCN : n2012030695 VIAF : 250780129 WorldCat VIAF : 250780129