QR rozklad

$QR$ -rozklad matice - zobrazení matice jako součinu unitární (nebo ortogonální matice ) a horní trojúhelníkové matice . QR rozklad je základem jedné z metod hledání vlastních vektorů a maticových čísel — QR algoritmu [1] .

Definice

Velikost matice , kde , s komplexními prvky může být reprezentována jako $A$ $n \krát m$ $n\geqslant m$

A=QR,

kde je matice velikosti s ortonormálními sloupci a je horní trojúhelníková matice velikosti . Pro , matice je unitární . Pokud je navíc nedegenerovaná , pak je -rozklad jedinečný a matici lze zvolit tak, že její diagonální prvky jsou kladná reálná čísla. V konkrétním případě, kdy se matice skládá z reálných čísel , mohou být matice a také vybrány jako reálné, navíc je ortogonální [2] . $Q$ $n \krát m$ $R$ $m \krát m$ $n=m$ $Q$ $A$ $QR$ $R$ $A$ $Q$ $R$ $Q$

Analogicky, jestliže je matice velikosti , kde , pak ji lze rozložit jako $A$ $n \krát m$ $n\leqslant m$

A=LP,

kde matice řádu je nižší trojúhelníková a matice velikosti má ortonormální řady [1] . $L$ $n$ $P$ $n \krát m$

Algoritmy

$QR$ -rozklad lze získat různými metodami. Nejsnáze jej lze vypočítat jako vedlejší produkt Gram-Schmidtova procesu [2] . V praxi by měl být použit modifikovaný Gram-Schmidtův algoritmus , protože klasický algoritmus má špatnou numerickou stabilitu [3] .

Alternativní algoritmy pro výpočet -expanze jsou založeny na Householderových odrazech a Givensových rotacích [4] . $QR$

Příklad QR rozkladu

Zvažte matici :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Označme sloupcovými vektory dané matice. Získáme následující sadu vektorů: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix)),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix)),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

Dále použijeme Gram-Schmidtův ortogonalizační algoritmus a normalizujeme výsledné vektory, dostaneme následující množinu:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}$

Ze získaných vektorů poskládáme matici Q po sloupcích z rozkladu: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.$ Výsledná matice je ortogonální , což znamená, že $Q^{-1}=Q^{T}.$

Najdeme matici z výrazu : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ je požadovaná horní trojúhelníková matice .

Mám rozchod . $A = QR$

Poznámky

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , str. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , str. 112.
↑ Horn a Johnson, 1990 , s. 116.
↑ Horn a Johnson, 1990 , s. 117.

Literatura

Horn, R.A. , Johnson CR Maticová analýza . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný