Analytické pokračování

Analytické pokračování v komplexní analýze je analytická funkce , která se shoduje s danou funkcí v její původní oblasti C a je definována v oblasti D obsahující C , což je analytické pokračování funkce . Analytické pokračování je vždy jedinečné . $F$ $F$

Koncept byl představen Karlem Weierstrassem v roce 1842 , on také vyvinul odpovídající techniku pro konstrukci takových rozšíření.

Speciálním případem pro holomorfní funkce je holomorfní rozšíření .

Definice

Jedinečnost

V každém případě analytické pokračování neexistuje, ale je vždy jedinečné : jakékoli dvě analytické funkce rozšířené ze stejné funkce se vždy shodují. Pro holomorfní funkce (speciální případ analytických funkcí) lze jednoznačnost odvodit z následujícího faktu: je-li funkce f shodně rovna nule , pak kterékoli z jejích rozšíření je všude nulové. Protože holomorfní funkce tvoří lineární prostor , stačí to pro jedinečnost holomorfního rozšíření.

Způsoby výstavby

Elementární metody

Pro nejzákladnější funkce, jako je mocninná funkce a exponenciální , je analytické pokračování téměř přímočaré. Je to dáno tím, že analytické pokračování se v takových případech provádí z množiny velmi specifického typu, kterou je skutečná přímka - tato množina nemá složité vnitřní body .

U složitějších případů se používá více umělých metod. Uvažujme například některé Taylorovy řady konvergující v kruhu , kde je poloměr konvergence této řady. Podle jedné z ekvivalentních definic tak získáme funkci analytickou v kruhu . Co to znamená? To neznamená, že v jakémkoli bodě mimo výslednou funkci již nebude analytická, to je v současné době neznámé, jednoduše to znamená, že existuje takový bod , že řada v tomto bodě diverguje. Můžete si však vybrat určitý bod - protože v tomto bodě je funkce analytická, lze ji rozšířit do řady, která se sbíhá v určitém kruhu . Pokud je vztah splněn pro nový poloměr konvergence , pak již budou existovat body, které patří do, ale ne do , a z toho na základě věty o jednoznačnosti vyplývá, že funkce definovaná původně pouze v , je rozšířena na nějaký větší soubor, totiž do . Pokud to není možné, pak bude kruh přirozenou hranicí analytického pokračování. $\Delta _{a}=\{z\colon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\dvojtečka |z_{0}-a|=\rho$ $b\in \Delta _{a}$ $f(z)$ $\Delta _{b}=\{z\colon |zb|<\theta \}$ $\theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\pohár \Delta _{b}$ $\partial \Delta _{a}$

U mnoha speciálních funkcí se analytické pokračování provádí pomocí nějaké funkcionální rovnice. Vezme se nějaká oblast, ve které je řešení této rovnice zjevně analytické, a výsledky se přenesou do větší oblasti. V zásadě jsou tímto způsobem konstruována pokračování speciálních funkcí reálné analýzy - například funkce gama a funkce Riemann zeta .

Analytické pokračování v řetězci domén

Pro konstrukci analytických pokračování v netriviálních případech se používá koncept analytického prvku .

Prvky a se nazývají analytické pokračování jednoho druhého v řetězci domén , pokud existuje posloupnost prvků a jsou splněny následující tři podmínky: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\tečky ,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
Pro libovolné po sobě jdoucí domény z řetězce je jejich průnik neprázdný a je jeho určitou spojenou složkou; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
Prvek je analytickým pokračováním množiny . $P_{{k+1}}$ $P_{k}$ $\Delta _{k}$

Zárodek lze považovat za analytický prvek sestávající z kruhu konvergence a vlastní analytické funkce, součtu řady. Prvky tohoto typu mají svůj vlastní název - kanonické prvky a označují se jako , kde je kružnice konvergence řady a je její součet. Střed kružnice konvergence řady, která ji definuje, se nazývá střed kanonického prvku. $(K,f)$ $K$ $F$

Analytické pokračování podél cesty

K sestavení analytického pokračování na cestě k rozvoji techniky „diskrétní“ konstrukce s ohledem na řetězec domén je nutné provést přechod, v podobném smyslu jako přechod od sekvence k funkci.

Uvažujeme kanonický prvek se středem v bodě a nějakou souvislou Jordanovu křivku ( ) s vlastností . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\dvojtečka [0;1]\to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varphi(0)$

Předpokládejme, že existuje rodina kanonických prvků s nenulovými poloměry konvergence takovými, které jsou středem prvku a pro libovolné existuje takové okolí (chápáno ve smyslu sousedství na reálné čáře), které splňuje podmínku ; pak, pokud pro jakýkoli prvek je bezprostředním pokračováním prvku , pak se prvek považuje za analyticky pokračující podél cesty . $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $\varphi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\in [0;1]$ ${{\mathcal U}}_{{t_{0}}}\subset [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\subset K_{{t_{0}}}$ $t\in {{\mathcal U}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gamma$

Rodinu regionů lze volit libovolně, protože lze prokázat, že výsledek analytického pokračování nezávisí na volbě rodiny regionů.

Poměrně zajímavá vlastnost má také funkci - poloměr kružnice konvergence . Pro rodinu uvedenou v definici pokračování po cestě bude funkce spojitá ve smyslu reálné analýzy na . $R(t)\dvojtečka [0;1]\to (0;+\infty)$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Předpokládejme, že kanonický prvek je získán z prvku analytickým pokračováním po nějaké cestě přes mezirodinu prvků . Pokud tedy zvolíme nějakou rostoucí posloupnost prvků segmentu , kde se budou kružnice a protínat, pak prvek bude analytickým pokračováním prvku řetězcem regionů . $Q$ $P$ $\varphi (t)\dvojtečka [0;1]\to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\tečky ,t_{n},1$ $[0;1]$ $K_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\dots ,K_{{t_{n}}}$

Jedním z nejzajímavějších výsledků bude věta o homotopické invarianci analytického pokračování a její důsledek, věta o monodromii .

Plná analytická funkce

Po vyvinutí aparátu analytického pokračování podél cest je nyní možné přejít od původní analytické funkce přes analytické a kanonické prvky k obecnějšímu konceptu - úplné analytické funkci . Tento termín bude označovat množinu všech kanonických prvků získaných z libovolného počátečního prvku metodou analytického pokračování s ohledem na všechny možné Jordanovy křivky, které umožňují takové prodloužení a pocházejí z bodu - středu prvku . $P$ $z_{0}$ $P$

Vnitřní struktura takového velmi abstraktního konceptu je objasněna Poincaré-Volterrovou větou , která říká, že v každém bodě své definiční oblasti může mít úplná analytická funkce nanejvýš spočetnou množinu prvků vycentrovaných v tomto bodě.

Význam konceptu úplné analytické funkce spočívá v tom, že umožňuje studovat koncept singulárního bodu z obecnějšího hlediska . Jmenovitě, singulární body pro úplnou analytickou funkci jsou jednoduše body hranice její definiční oblasti. Podle chování funkce v okolí těchto bodů je určen jejich charakter.

Uvažujme nějaký singulární bod pro úplnou analytickou funkci a některé její proražené okolí , které patří do oblasti definice . Vybíráme nějakou uzavřenou Jordanovu křivku . Jestliže analytické pokračování podél křivky vede ke stejnému prvku, pak se bod nazývá jednohodnotový singulární bod a je interpretován jednoduše jako izolovaný singulární bod ; pokud je výsledkem analytického pokračování již jiný prvek, pak se bod nazývá singulární bod vícehodnotového znaku nebo bod větvení . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\tečka {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\Gamma \subset {\tečka {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gamma$

Hadamardova věta

Pro mocenské řady

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

pro které jsou téměř všechny koeficienty rovny nule v tom smyslu, že posloupnost čísel nenulových koeficientů vyhovuje $k(i)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

pro nějaké pevné δ > 0 je kružnice se středem z 0 a poloměrem rovným poloměru konvergence přirozenou hranicí — analytické pokračování funkce definované takovou řadou je mimo kružnici nemožné.

Zobecnění a související pojmy

Analytické pokračování lze uvažovat na doménách nejen v komplexní rovině, ale také na Riemannových plochách a obecněji na komplexních varietách : D musí být komplexní varieta a C její podmnožina. Jestliže C je doména v D a pro libovolnou doménu C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' existuje funkce, která je holomorfní na C , ale nelze ji rozšířit na C′ , pak se C nazývá holomorfní doména . V komplexně-jednorozměrném případě je každá doména doménou holomorfie, ve vícerozměrném případě tomu tak není.

Lze také uvažovat o analytickém pokračování z množin C , které nejsou oblastmi, například z reálné čáry . V tomto případě je funkce f zpočátku definována na nějaké (funkčně závislé) otevřené množině obsahující C .

Viz také

Literatura

Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. - 4. vyd. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.