Harmonická funkce

Harmonická funkce je reálná funkce , definovaná a dvakrát spojitě diferencovatelná na euklidovském prostoru (nebo jeho otevřené podmnožině), splňující Laplaceovu rovnici : $U$ $D$

\DeltaU=0,\

kde je Laplaceův operátor , tj. součet druhých derivací vzhledem ke všem pravoúhlým kartézským souřadnicím x i ( n = dim D je prostorová dimenze ). $\Delta =\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x_{i}^{2}}}$

Například harmonická funkce je elektrostatický potenciál v bodech, kde není žádný náboj .

Vlastnosti

Princip maxima

Funkce U, která je v oblasti harmonická , dosahuje svého maxima a minima pouze na hranici . Harmonická funkce tedy nemůže mít lokální extrém ve vnitřním bodě , kromě triviálního případu konstanty ve funkci. Funkce však může být na hranici nedefinovaná, takže je správnější říci $D$ $\část D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup _{{Q\in D}}U(Q)$

Liouvilleova věta

Harmonická funkce definovaná na a ohraničená nad nebo pod je konstantní . $\mathbb {R} ^{n}$

Vlastnost mean

Pokud je funkce harmonická v nějaké kouli se středem v bodě , pak se její hodnota v bodě rovná její průměrné hodnotě podél hranice této koule nebo nad koulí: $u$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\částečné B)))\int \limits _({\částečné B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits _{{B}}udV

kde je objem koule a je plocha její hranice. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\část B)$

Naopak jakákoli spojitá funkce, která má střední vlastnost pro všechny kuličky ležící v určité oblasti, je v této oblasti harmonická.

Diferencovatelnost

Funkce, která je v definičním oboru harmonická, je v něm nekonečně diferencovatelná .

Harnackova nerovnost

Pokud funkce , která je harmonická v k-rozměrné kouli o poloměru se středem v nějakém bodě , je v této kouli nezáporná, pak pro její hodnoty v bodech uvnitř uvažované koule platí následující nerovnosti: , kde [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $M$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Harnackův teorém

Dovolit být pozitivní harmonické funkce v nějaké oblasti . Jestliže řada konverguje alespoň v jednom bodě v oblasti , pak konverguje rovnoměrně uvnitř . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Harmonické funkce v komplexní rovině

Na komplexní rovině jsou harmonické funkce úzce spjaty s funkcemi holomorfními . Zejména platí následující tvrzení: pro libovolnou doménu v , je -li toto holomorfní funkce na , pak je to harmonická funkce nad . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\mathbb {C}$ $F$ $D$ $h=\operatorname {Re} (f)$ $D$

Platí i opačné tvrzení. Jestliže je harmonická funkce nad jednoduše připojenou doménou , pak pro jedinečnou, až konstantní, holomorfní nad funkcí . $h$ $D$ $h=\operatorname {Re} (f)$ $D$ $F$

Viz také

Poznámky

↑ A.F. Timan, V.N. Trofimov Úvod do teorie harmonických funkcí. Moskva: Nauka, 1968

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Evgrafov M. A. Analytické funkce. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1991. - 448 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1973. - 749 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1984. - 432 s.
Sidorov Yu.V. , Fedoryuk M.V., Shabunin M.I. Přednášky o teorii funkcí komplexní proměnné. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1989. - 480 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1980. - 463 s.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funkce komplexní proměnné a některé jejich aplikace. — M.: Nauka, 1964. — 388 s.
Hayman W. , Kennedy P. Subharmonické funkce. — M.: Mir, 1980. — 304 s.
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. Ve 2 svazcích. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1976. - 720 s.