Gaussova funkce

Gaussova funkce ( Gaussova , Gaussova , Gaussova funkce ) je skutečná funkce popsaná následujícím vzorcem:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

kde parametry jsou libovolná reálná čísla . Zaveden Gaussem v roce 1809 jako funkce hustoty normálního rozdělení a má v této funkci největší význam, v tomto případě jsou parametry vyjádřeny jako standardní odchylka a matematické očekávání : $a,b,c$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))

... _ _

b=\mu

c=\sigma

Graf Gaussovy funkce at a je zvonovitá křivka, parametr určuje maximální výšku grafu - vrchol zvonu, je zodpovědný za posun vrcholu od nuly (at - vrchol je na nule), a ovlivňuje šířku (rozsah) zvonu. $a>0$ $c\neq 0$ $A$ $b$ $b=0$ $C$

Existují vícerozměrná zobecnění funkce . Kromě aplikací v teorii pravděpodobnosti , statistice a dalších četných aplikacích jako funkce hustoty normálního rozdělení má Gaussian nezávislou hodnotu v matematické analýze , matematické fyzice a teorii zpracování signálů.

Vlastnosti

Vlastnosti Gaussovy funkce souvisí s její konstrukcí z exponenciální funkce a konkávní kvadratické funkce , logaritmus Gaussovy funkce je konkávní kvadratická funkce.

Parametr souvisí s poloviční šířkou zvonu grafu takto: $C$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\cca 2{,}35482\cdot c

Gaussovu funkci lze vyjádřit pomocí poloviční šířky zvonu grafu takto: $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Skloňování jsou dva body, kde . $g(x)$ $x=b\pm c$

Gaussova funkce je analytická , má tendenci k nule v limitě k oběma nekonečnům :

\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0

Být složen z exponenciální funkce a aritmetických operací, Gaussian je elementární , ale jeho primitivní není elementární; Integrál Gaussovy funkce:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

je (až do konstantního faktoru) chybová funkce , což je speciální funkce . V tomto případě je integrál podél celé číselné osy (kvůli vlastnostem exponenciální funkce) konstantou [1] :

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ pi}}

Tento integrál se stane jednotou pouze za podmínky:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi ))))

a to dává přesně ten případ, kdy Gaussian je funkcí hustoty normálního rozdělení náhodné veličiny se střední hodnotou a rozptylem . $\mu=b$ $\sigma ^{2}=c^{2}$

Součin Gaussiánů je Gaussova funkce; konvoluce dvou Gaussovských funkcí dává Gaussovu funkci, navíc parametr konvoluce je vyjádřen z odpovídajících parametrů Gaussovců v ní obsažených: . Součin dvou normálních distribučních funkcí hustoty, které jsou Gaussovou funkcí, obecně nedává normální distribuční funkci hustoty. $C$ ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2))$

Vícerozměrná zobecnění

Příklad dvourozměrné verze Gaussovy funkce:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2)){2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)))

zde nastavuje výšku zvonu, určuje posun vrcholu zvonu od nulové abscisy a je zodpovědný za rozsah zvonu. Objem pod takovým povrchem je: $A$ $(x_0, y_0)$ $(\sigma _{x},\sigma _{y})$

V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}

Ve své nejobecnější podobě je dvourozměrný Gaussian definován takto:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0} )+c(y-y_{0})^{2}\vpravo)\vpravo)

kde je matrice:

\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]

je pozitivně definován .

Varianta Gaussovy funkce v -rozměrném euklidovském prostoru : $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

kde je sloupcový vektor komponent, je pozitivně definitní matice velikosti a je operace transpozice na . $x=(x_{1},\tečky ,x_{n})$ $n$ $A$ $n\krát n$ $x^{T}$ $X$

Integrál takové Gaussovy funkce přes celý prostor : $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

Je možné definovat -rozměrnou verzi s posunem: $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

kde je vektor posunu a matice je symetrická ( ) a kladně definitní. $s=(s_{1},\tečky ,s_{n})$ $A$ $A^{T}=A$

Super Gaussova funkce

Supergaussova funkce je zobecněním Gaussovy funkce, ve které je argument exponentu: $P$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ vpravo)^{P}\right)

který byl použit k popisu vlastností Gaussových svazků [2] . Ve dvourozměrném případě lze super-Gaussovu funkci uvažovat s různými mocnostmi v argumentech a [3] : ${\displaystyle P_{x))$ ${\displaystyle P_{y))$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}\right)^ {P_{y}}\right)

Aplikace

Hlavní aplikace Gaussových funkcí a vícerozměrných zobecnění je v roli funkce hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení a vícerozměrného normálního rozdělení . Funkce má nezávislý význam pro řadu rovnic matematické fyziky , zejména Gaussovy funkce jsou Greenovy funkce pro rovnici homogenní a izotropní difúze (respektive pro rovnici tepla ) a Weierstrassova transformace je operací konvoluce zobecněné funkce , která vyjadřuje počáteční podmínky rovnice, s Gaussovou funkcí. Také Gaussian je vlnová funkce základního stavu kvantového harmonického oscilátoru .

Ve výpočetní chemii se k určení molekulárních orbitalů používají takzvané Gaussovy orbitaly , což jsou lineární kombinace Gaussových funkcí.

Gaussovské funkce a jejich diskrétní protějšky (jako je diskrétní Gaussovo jádro ) se používají v digitálním zpracování signálu , zpracování obrazu , syntéze zvuku [4] ; konkrétně Gaussův filtr a Gaussovské rozostření jsou definovány pomocí Gaussiánů . Gaussovy funkce se také podílejí na definici určitých typů umělých neuronových sítí .

Poznámky

↑ Campos, 2014 , str. 1-2.
↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Šíření super-Gaussových rozložení pole // Optická a kvantová elektronika. - 1992. - č. 9 . - P. S1071-S1079.
↑ Manuál příkazů optického softwaru GLAD, zadání příkazu GAUSSIAN . Výzkum aplikované optiky (15. prosince 2016). Archivováno z originálu 10. června 2017. (neurčitý)
↑ C. R. Popa. Struktury analogových nelineárních funkcí syntezátoru v aktuálním režimu . - Springer Švýcarsko, 2013. - S. 59. - 198 s. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Literatura

LMBC Campos. 1.1. Vyhodnocení integrálů Gaussových funkcí // Zobecněný počet s aplikacemi na hmotu a síly. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 823 s. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Gaussian Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Integrace Bell Curve / MathPages