Geometrie dopadu

Incidenční geometrie  je část klasické geometrie, která studuje incidenční struktury , například zda bod patří k přímce .

V geometrii , objekty takový jako Euclidean letadlo jsou komplexní objekty používat představy o délkách, úhlech, spojitosti, leží-mezi vztahem a dopadem .

Struktura výskytu  je to, co zůstane, když jsou všechny koncepty vyřazeny, kromě znalosti toho, které ze studovaných objektů (například body) leží v jiných objektech (například kružnice nebo čáry). I za takových omezení lze dokázat některé teorémy a získat zajímavá fakta o takové struktuře. Tyto základní výsledky zůstávají pravdivé, když jsou přidány další koncepty pro získání bohatší geometrie. Někdy autoři stírají rozdíl mezi procesem studia a objektem studia, takže není divu, že někteří autoři používají pro struktury incidentů název incidenční geometrie [1] .

Struktury incidentů vznikají přirozeně a byly studovány v různých odvětvích matematiky. V souladu s tím existuje odlišná terminologie pro popis takových objektů. V teorii grafů se jim říká hypergrafy a v teorii kombinatorických obvodů se jim říká bloková schémata . Kromě rozdílu v terminologii je v každém oboru jiný přístup ke studiu objektu a otázky týkající se objektů jsou kladeny podle oboru. Pokud se použije jazyk geometrie, jak se to dělá v geometrii incidentů, mluví se o obrazcích. Je však možné překládat výsledky z terminologie jednoho oboru do jazyka jiného, ​​což však často vede k neohrabaným a matoucím tvrzením, která pro daný obor nevypadají přirozeně. V příkladech uvedených v článku používáme pouze příklady, které mají geometrický obsah.

Zvláštní případ velkého zájmu se zabývá konečnou množinou bodů na euklidovské rovině a v tomto případě mluvíme o počtu a typech čar, které tyto body definují. Některé výsledky tohoto případu lze rozšířit na obecnější případy, protože se zde uvažují pouze vlastnosti výskytu.

Incidenční struktury

Incidenční struktura ( P , L , I) se skládá z množiny P , jejíž prvky se nazývají body , množiny L , jejíž prvky se nazývají čáry , a incidenční relace I mezi nimi, tedy podmnožiny P × L , jejíž prvky se nazývají vlajky [2] . Je-li ( A , l ) příznak, říkáme, že A je incidentní s l , nebo že l je incidentní s A (vztah je symetrický), a píšeme A I l . Je intuitivně jasné, že bod a přímka jsou v tomto vztahu právě tehdy, když bod leží na přímce. Je- li daný bod B a přímka m , které netvoří prapor, pak bod neleží na přímce a dvojice ( B , m ) se nazývá antiflag .

Vzdálenost ve vzoru dopadu

Ve struktuře výskytu neexistuje žádný přirozený koncept vzdálenosti ( metrický ). V příslušných grafech výskytu (Levyho grafy) však existuje kombinatorická metrika , konkrétně délka nejkratší cesty mezi dvěma vrcholy v tomto bipartitním grafu . Vzdálenost mezi dvěma objekty struktury dopadu - dvěma body, dvěma čarami nebo bodem a přímkou ​​- lze definovat jako vzdálenost mezi dvěma odpovídajícími vrcholy v grafu dopadu struktury dopadu.

Další způsob, jak definovat vzdálenost, opět využívá konceptů teorie grafů, tentokrát pomocí grafu kolinearity incidenční struktury. Vrcholy grafu kolinearity jsou body incidenční struktury a dva vrcholy jsou spojeny hranou, pokud k oběma bodům dopadá přímka. Vzdálenost mezi dvěma body struktury dopadu pak může být definována jako vzdálenost mezi nimi v grafu kolinearity.

Je-li v souvislosti se strukturou dopadu zmíněna vzdálenost, je nutné uvést, jak se vzdálenost určuje.

Částečně lineární prostory

Nejvíce studovanými incidenčními strukturami jsou struktury, které splňují některé další vlastnosti (axiomy), jako jsou projektivní roviny , afinní roviny , zobecněné polygony , parciální geometrie a téměř polygony . Velmi obecné struktury výskytu lze získat zavedením „měkkých“ podmínek, jako jsou:

Částečně lineární prostor je incidenční struktura, pro kterou platí následující axiomy [3] :

V částečně lineárním prostoru také platí, že jakákoliv dvojice zřetelných čar se protíná nejvýše v jednom bodě. Toto tvrzení není zahrnuto v axiomech, protože je snadno dokázáno z prvního axiomu.

Další omezení jsou dána podmínkami pravidelnosti:

RLk : Každá čára má stejný počet bodů. Pokud je toto číslo konečné, často se označuje jako k .

RPr : Každý bod je incidentní se stejným počtem čar. Pokud je toto číslo konečné, často se označuje jako r .

Z druhého axiomu částečně lineárního prostoru vyplývá, že k > 1 . Žádná z podmínek pravidelnosti nevyplývá z druhé, takže musíme předpokládat r > 1 .

Konečný částečně lineární prostor, který splňuje obě podmínky pravidelnosti s k , r > 1 , se nazývá taktická konfigurace [4] . Někteří autoři takové konfigurace nazývají jednoduše konfigurace [5] nebo projektivní konfigurace [6] . Pokud má taktická konfigurace n bodů a m čar, pak po dvojím započítání vlajek dostaneme vztah nr = mk . Obvykle se používá konfigurace zápisu ( n r , m k ) . Ve speciálním případě, kdy n = m (a tedy r = k ), se místo zápisu ( n k , n k ) často píše jednoduše ( n k ) .

Lineární prostor je částečně lineární prostor takový, že [3] :

Někteří autoři přidávají k definici (částečného) lineárního prostoru axiom "nedegenerace" (nebo "netriviality"), jako například:

Axiom nedegenerace nám umožňuje vyloučit některé velmi malé příklady (většinou ty, ve kterých množiny P nebo L mají méně než dva prvky), které by byly výjimkou z obecných tvrzení o strukturách výskytu. Alternativním přístupem je považovat struktury výskytu, které nesplňují axiom nedegenerace , za triviální , ale ty, které ano, za netriviální .

Jakýkoli netriviální lineární prostor obsahuje alespoň tři body a tři čáry, takže nejjednodušším netriviálním lineárním prostorem je trojúhelník.

Lineární prostor s alespoň třemi body na každé přímce je konfigurace Sylvester-Gallay .

Základní geometrické příklady

Některé základní pojmy a terminologie vycházejí z geometrických příkladů, zejména z projektivních rovin a afinních rovin .

Projektivní roviny

Projektivní rovina je lineární prostor, ve kterém:

Existuje bijekce mezi P a L na projektivních rovinách . Jestliže P je konečná množina, o projektivní rovině se říká, že je konečnou projektivní rovinou. Řád konečné projektivní roviny je n = k – 1 , tedy o jeden méně než je počet bodů na přímce. Všechny známé projektivní roviny mají řády, které jsou mocninami prvočísla . Projektivní rovina řádu n je konfigurace (( n 2 + n + 1) n + 1 ) .

Nejmenší projektivní rovina má řád dva a je známá jako Fanova rovina .

Letadlo Fano

Tuto slavnou incidenční geometrii vyvinul italský matematik Gino Fano . Ve své práci [8] o důkazu nezávislosti množiny axiomů pro projektivní n - prostor , kterou rozvinul [9] , vytvořil konečný trojrozměrný prostor s 15 body, 35 přímkami a 15 rovinami, v r. který každý řádek obsahuje pouze tři body [10] . Roviny v tomto prostoru se skládají ze sedmi bodů a sedmi čar, které jsou známé jako Fanovy roviny .

Fanovu rovinu nelze na euklidovské rovině znázornit pouze pomocí bodů a úsečkových segmentů (tj. nerealizovatelné). To vyplývá ze Sylvesterovy věty .

Úplný čtyřúhelník se skládá ze čtyř bodů, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Ve Fanově rovině jsou tři body, které nepatří do úplného čtyřúhelníku, diagonálními body čtyřúhelníku a jsou kolineární. Toto odporuje Fanovu axiomu , často používanému při axiomatizaci euklidovské roviny, který říká, že tři body úhlopříčky úplného čtyřúhelníku nejsou nikdy kolineární.

Afinní roviny

Afinní rovina je lineární prostor splňující:

  • Pro jakýkoli bod A a přímku l , která nespadá do bodu ( antiflag ), existuje právě jedna přímka m spadající do A (tj. A I m ), která neprotíná l ( Playfairův axiom )
  • Podmínka nedegenerace je splněna – existuje trojúhelník, tzn. tři nekolineární body.

Čáry l a m ve výroku Playfairova axiomu jsou prý rovnoběžné . Jakákoli afinní rovina může být rozšířena na projekční rovinu jedinečným způsobem. Řád konečné afinní roviny je k , počet bodů na přímce. Afinní rovina řádu n je konfigurace (( n 2 ) n + 1 , ( n 2 + n ) n ) .

Hesenská konfigurace

Afinní rovina řádu tři je konfigurace (9 4 , 12 3 ) . Pokud je konfigurace vložena do nějakého uzavřeného prostoru, nazývá se hesenská konfigurace . Konfigurace není realizovatelná na euklidovské rovině, ale je realizovatelná na komplexní projektivní rovině jako devět inflexních bodů eliptické křivky s 12 úsečkami dopadajícími na triplety těchto inflexních bodů.

Těchto 12 linek lze rozdělit do čtyř tříd, v rámci kterých jsou linky párově disjunktní. Tyto třídy se nazývají paralelní třídy čar. Pokud přidáme další čtyři nové body, jeden bod do každé paralelní třídy, a předpokládáme, že všechny přímky paralelní třídy se protínají v tomto novém bodě (takže nyní se všechny přímky protínají), a přidáme další přímku obsahující všechny čtyři nové body, získat projektivní rovinu řádu tři, konfiguraci (13 4 ) . V opačném směru, počínaje projektivní rovinou řádu tři (taková rovina je jedinečná) a vymazáním libovolné (jedné) přímky a všech bodů na ní ležících, získáme afinní rovinu řádu tři (taková je také jedinečná).

Odstraněním jednoho bodu a čtyř přímek, které jím procházejí (ale ne dalších bodů na této přímce), dostaneme konfiguraci (8 3 ) Möbius - Cantor .

Částečné geometrie

Je-li dané celé číslo α ≥ 1 , taktická konfigurace, která splňuje axiom, je:

  • Pro každý antiflag ( B , m ) existují α příznaky ( A , l ) takové , že B I l a A I m ,

se nazývá částečná geometrie . Pokud je na přímce bodů s + 1 a bodem prochází t + 1 přímek, je symbol pro tuto dílčí geometrii pg( s , t , α ) .

Jestliže α = 1 , tyto dílčí geometrie jsou zobecněné čtyřúhelníky .

Jestliže α = s + 1 , konfigurace se nazývají Steinerovy systémy .

Generalizované polygony

Pro n > 2 [11] je zobecněný n - úhelník částečně lineární prostor, jehož incidenční graf Γ má vlastnost:

  • Obvod grafu Γ (délka nejkratšího cyklu ) je dvojnásobkem průměru grafu Γ (největší vzdálenost mezi dvěma vrcholy, v našem případě n ).

Zobecněný 2úhelník je incidenční struktura, která není částečně lineárním prostorem, sestávající z alespoň dvou bodů a dvou čar, ve kterých každý bod dopadá na každou přímku. Graf výskytu zobecněného 2úhelníku je úplný bipartitní graf.

Zobecněný n - úhelník neobsahuje žádné jednoduché m - úhelníky pro 2 ≤ m < n a pro každou dvojici objektů (dva body, dvě úsečky nebo bod s úsečkou) existuje obyčejný n - úhelník obsahující oba objekty . .

Zobecněné 3úhelníky jsou projektivní roviny. Zobecněné 4úhelníky se nazývají zobecněné čtyřúhelníky . Podle Feit-Higmanovy věty existuje pouze konečně mnoho zobecněných n -úhelníků s alespoň třemi body na každé přímce a třemi přímkami procházejícími každou přímkou ​​a číslo n je 2, 3, 4, 6 nebo 8.

Téměř mnohoúhelníky

Pro nezáporná celá čísla d je téměř 2 d - gon taková struktura výskytu, že:

  • Maximální vzdálenost (měřená grafem kolinearity) mezi dvěma body je d
  • Pro jakýkoli bod X a přímku l existuje na l jedinečný bod , který je nejblíže X.

Téměř 0-úhelník je bod a téměř 2-úhelník je čára. Kolineární graf téměř 2-úhelníku je úplný graf . Téměř 4úhelník je zobecněný čtyřúhelník (možná degenerovaný). Jakýkoli konečný zobecněný mnohoúhelník, s výjimkou projektivních rovin, je těsný mnohoúhelník. Jakýkoli spojený bipartitní graf je téměř mnohoúhelník a každý blízký mnohoúhelník s přesně dvěma body na každé linii je spojený bipartitní graf. Také všechny duální polární prostory jsou téměř polygony.

Mnoho téměř mnohoúhelníků souvisí s konečnými jednoduchými grupami jako Mathieuovy grupy a Jankovy grupy J2 . Navíc zobecněné 2d- gony spojené se skupinami typu Lie jsou speciálními případy téměř 2d- gonů .

Möbiova letadla

Abstraktní Möbiova rovina (nebo inverzní rovina) je incidenční struktura, ve které, aby se předešlo možné záměně s terminologií klasického případu, se čáry nazývají cykly nebo bloky .

Konkrétně: Möbiova rovina je incidenční struktura bodů a cyklů, takže:

  • Jakákoli trojice různých bodů se vztahuje k přesně jednomu cyklu.
  • Pro jakýkoli příznak ( P , z ) a jakýkoli bod t Q nespadající do z existuje jedinečný cyklus z ∗ s P I z ∗ , Q I z ∗ az ∩ z ∗ = { P }. (Říká se, že cykly se dotýkají P. )
  • Každý cyklus má alespoň tři body a existuje alespoň jeden cyklus.

Struktura dopadu získaná z libovolného bodu P Möbiovy roviny zvolením jako bodů všech bodů kromě P a jako přímých voleb pouze těch cyklů, které obsahují P (s odstraněným P ), je afinní rovina. Tato struktura se v teorii obvodů nazývá P zbytek .

Konečná Möbiova rovina řádu m je taktická konfigurace s k = m + 1 body v každém cyklu, což je 3-design , 3-( m 2 + 1, m + 1, 1) vývojový diagram .

Věty o incidenci na euklidovské rovině

Sylvesterova věta

Otázka, kterou položil D.D. Sylvester v roce 1893 a konečně dokázaný Tiborem Gallai se týká výskytu konečného počtu bodů v euklidovské rovině.

Věta (Sylvester - Gallai) : Body konečné množiny bodů na euklidovské rovině jsou buď kolineární , nebo existuje přímka spadající přesně do dvou bodů.

Čára obsahující přesně dva body se v tomto kontextu nazývá obyčejná čára . Sylvester možná na tuto otázku přišel, když zvažoval zabudovatelnost konfigurace Hesse.

De Bruijn-Erdősova věta

Související výsledek je de Bruijn-Erdős teorém . Nicholas de Bruijn a Pal Erdős dokázali výsledek za obecnějších podmínek na projektivní rovině, ale výsledek zůstává platný na euklidovské rovině. Věta říká: [12]

Na projektivní rovině definuje jakákoliv množina n nekolineárních bodů alespoň n odlišných čar.

Jak autoři zdůraznili, protože jejich důkaz byl kombinatorický, výsledek platí za silnějších podmínek, vlastně v jakékoli geometrii dopadu. Zmínili také, že euklidovská rovinná verze by mohla být prokázána pomocí Sylvester-Gallayovy věty indukcí .

Szemeredi–Trotterova věta

Limit počtu příznaků, definovaných konečnou množinou bodů a čar, je dán větou:

Věta (Semeredy-Trotter) : Je-li dáno n bodů a m čar v rovině, počet vlajek (dvojic výskytu bod-čára) je:

A tuto hranici nelze zlepšit.

Tento výsledek lze použít k prokázání Beckovy věty.

Beckova věta

Beckova věta říká, že konečné množiny bodů v rovině spadají do dvou extrémních případů – v některých množinách leží všechny body na stejné přímce, zatímco v jiných je ke spojení všech bodů potřeba velký počet přímek.

Věta říká, že existují kladné konstanty C , K takové, že za daných n bodů v rovině platí alespoň jedno z následujících:

  1. Existuje čára obsahující alespoň n / C bodů.
  2. Existuje alespoň n 2 / K čar, z nichž každá obsahuje alespoň dva body.

V původních Beckových důkazech je C 100 a K je nedefinovaná konstanta. Optimální hodnoty C a K nejsou známy.

Další příklady

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Tak například L. Storme v kapitole o konečné geometrii v knize ( Colbourn, Dinitz 2007 , str. 702)
  2. ↑ Technicky jde o incidenční strukturu hodnosti 2, kde hodnost odkazuje na počet typů uvažovaných objektů (zde body a čáry). Studují se i struktury vyšších řad, ale někteří autoři se omezují na hodnost 2 a my uděláme totéž.
  3. ↑ 1 2 Moorhouse , str. 5.
  4. ↑ Dembowski, 1968 , s. 5.
  5. ↑ Coxeter, 1969 , str. 233.
  6. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , s. 94–170.
  7. ↑ Existuje několik alternativních axiomů pro takovou „netriviálnost“. Axiom lze nahradit slovy „jsou tři body, které neleží na stejné přímce“, jako v knize Battena a Beutelspachera ( Batten, Beutelspacher 1993 ). Existují další možnosti, ale všechny musí mít tvrzení o existenci , které vylučuje případy, které jsou příliš jednoduché.
  8. ↑ Fano, 1892 , str. 106–132.
  9. ↑ Collino, Conte & Verra, 2013 , 6
  10. ↑ Malkevitch, , Konečné geometrie? doporučený sloupec AMS
  11. ↑ Použití n v názvu je standardní a nemělo by být zaměňováno s počtem teček v konfiguraci.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. Archivováno 1. dubna 2004 na Wayback Machine , „de Bruijn–Erdős Theorem“ Archivováno 2. května 2019 na Wayback Machine na MathWorld Archivováno 29. února 2000.

Literatura

  • G. Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di Matematiche. - 1892. - T. 30 . — S. 106–132 .
  • HSM Coxeter. Úvod do geometrie . - New York: John Wiley & Sons, 1969. - s  . 233 . — ISBN 0-471-50458-0 .
  • David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometrie a představivost . — 2. - Chelsea, 1952. - S.  94-170 . — ISBN 0-8284-1087-9 .
  • Lynn Margaret Batten. Kombinatorika konečných geometrií . - New York: Cambridge University Press, 1986. - ISBN 0-521-31857-2 .
  • Lynn Margaret Batten, Albrecht Beutelspacher. Teorie konečných lineárních prostorů . - New York: Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-33317-2 .
  • Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations , Elsevier BV
  • Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Příručka kombinačních návrhů. — 2. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
  • Collino, Alberto; Conte, Alberto & Verra, Alessandro (2013), O životě a vědecké práci Gino Fano, arΧiv : 1311.7177 . 
  • Petr Dembowski. Konečné geometrie. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1968. - Vol. 44. - ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ). — ISBN 3-540-61786-8 .
  • Malkevitch, Joe Konečné geometrie? . Staženo: 2. prosince 2013.
  • Moorhouse, G. Eric Incidence Geometrie . MATH 5700 Fall 2007  (anglicky) (pdf)  (nedostupný odkaz) . University of Wyoming (srpen 2007) . Datum přístupu: 17. ledna 2017. Archivováno z originálu 29. října 2013.
  • Johannes Ueberberg. Základy incidenční geometrie. - Springer, 2011. - (Springerovy monografie z matematiky). — ISBN 978-3-642-26960-8 . - doi : 10.1007/978-3-642-20972-7 . .
  • Ernest E. Shult. Body a čáry. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 . .
  • Simeon Ball. Konečná geometrie a kombinatorické aplikace. - Cambridge University Press, 2015. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-1107518438 . .

Odkazy