Homologická zrcadlová symetrie je matematický dohad předložený Maximem Kontsevičem . Vznikl jako pokus odhalit matematickou povahu jevu, kterého si poprvé všimli fyzici v teorii strun .
Ve zprávě pro Mezinárodní matematický kongres v Curychu v roce 1994 Kontsevich navrhl, že zrcadlovou symetrii pro dvojici Calabi-Yauových variet X a Y lze vysvětlit jako ekvivalenci triangulované kategorie , získané metodami algebraické geometrie ( derivace kategorie koherentních svazků na X ) a další triangulovaná kategorie, konstruovaná pomocí symplektické geometrie (derivát Fukayovy kategorie na Y ).
Edward Witten původně popsal topologický zvrat N=(2,2) supersymetrické teorie pole v tom, co nazval A- a B-modely topologické teorie strun . Tyto modely uvažují mapování Riemannových povrchů do takzvaných cílových prostorů , obvykle Calabi-Yauových variet. Většina matematických předpovědí zrcadlové symetrie zapadá do rámce z fyziky známé ekvivalence A-modelu na Y a B-modelu na jeho zrcadle X . Riemannovy plochy, které jsou manifoldy bez hranic, mohou být světovou stránkou uzavřené struny. Pro popis případu otevřených řetězců je navíc potřeba specifikovat okrajové podmínky, které navíc zachovávají supersymetrii. V A-modelu mají tyto okrajové podmínky podobu Lagrangových podvariet Y s nějakou další strukturou (někdy nazývanou branová struktura). V B-modelu mají tyto okrajové podmínky podobu holomorfních podvariet X s holomorfním vektorovým svazkem. Tyto objekty slouží ke konstrukci popsaných triangulovaných kategorií. Říká se jim A- a B-brány. Morfismy v těchto kategoriích jsou všechny nehmotné otevřené struny natažené mezi dvěma branami.
U uzavřených řetězců pokrývají modely A a B pouze topologický sektor, což je malá část celé teorie strun. Podobně jsou brány v těchto modelech pouze topologickými aproximacemi k plně dynamickému objektu - D-bránám . Tak či onak je matematika i v tomto malém sektoru teorie strun hluboká a obtížná.
Matematici byli schopni tuto hypotézu ověřit pouze na několika příkladech. Ve své původní zprávě Kontsevich zmínil, že domněnku lze prokázat pro eliptické křivky pomocí funkcí theta . Na základě tohoto návrhu Eric Zaslow a další matematik předložili důkaz této domněnky pro eliptické křivky. Kenji Fukaya poskytl fragmenty důkazu pro odrůdy abelian . Později Kontsevich a Jan Soibelman poskytli důkaz podstatné části diskutované domněnky pro nesingulární torické svazky nad afinními varietami pomocí myšlenek SYZ-dohadu . V roce 2003 Paul Seidel dokázal kvartickou domněnku .
Níže uvedená tabulka se nazývá Hodgeův diamant. Zde h p , q — rozměry prostorů ( p , q )-diferenciálních forem — jsou uspořádány tak, že souřadnice ( p , q ) tvoří strany kosočtverce. V trojrozměrném případě mají p a q celočíselné hodnoty od nuly do tří a Hodgeův kosočtverec například pro komplexní dvourozměrnou varietu vypadá takto:
h 2,2 h 2,1 h 1,2 h 2,0 h 1,1 h 0,2 h 1,0 h 0,1 h 0,0V případě eliptické křivky , což je složitá jednorozměrná Calabi-Yauova varieta, je Hodgeův diamant obzvláště jednoduchý:
jeden jedenáct jedenV případě povrchu K3 , což je komplexní dvourozměrná Calabi-Yauova varieta, protože jeho Betti čísla jsou {1, 0, 22, 0, 1}, Hodgeův diamant vypadá takto:
jeden 0 0 1 20 1 0 0 jedenCalabiho-Yauovy variety komplexní dimenze tři jsou prvním netriviálním příkladem zrcadlové symetrie. Dvojice, které jsou vůči sobě zrcadlově symetrické (říkejme jim M a W) , jsou do sebe mapovány se symetrií kolem svislé čáry.
Hodgeův kosočtverec rozdělovače M :
jeden 0 0 0 až 0 1 b b 1 0 až 0 0 0 jedenHodgeův kosočtverec rozdělovače W :
jeden 0 0 0 b 0 1 a a 1 0 b 0 0 0 jedenM a W odpovídají A- a B-modelům v teorii strun. Zrcadlová symetrie nezaměňuje pouze Betti čísla, ale zaměňuje symplektické a složité struktury zrcadlově symetrických variet. To je podstata homologické zrcadlové symetrie.