Prostor Calabi-Yau

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Calabi-Yauův prostor ( Calabi-Yau manifold ) je kompaktní komplexní manifold s Kählerovou metrikou , pro kterou Ricciho tenzor mizí. V teorii superstrun se někdy předpokládá, že další dimenze časoprostoru mají formu 6-dimenzionálního Calabi-Yauova manifoldu, což vede k myšlence zrcadlové symetrie . Jméno bylo vytvořeno v roce 1985 [1] , na počest Eugenia Calabiho , který jako první navrhl [2] [3] , že by takové dimenze mohly existovat, a Yau Shintuny , který v roce 1978 dokázal [4] Calabiho domněnku .

Komplexní -dimenzionální Calabi-Yauův prostor je -dimenzionální Riemannovská varieta s Ricciho plochou metrikou a další symplektickou strukturou. $n$ $2n$

Orientovatelnost a holomorfní orientovatelnost

Hladké rozdělovače se dělí na orientovatelné a neorientovatelné. Historicky prvním příkladem neorientovatelné manifoldy byl Möbiův pás (a v jistém smyslu je to nejdůležitější příklad: dvourozměrná hladká manifolda je neorientovatelná právě tehdy, když obsahuje Möbiův pás). Z hlediska diferenciálních forem je podmínka orientovatelnosti formulována následovně: varieta je orientovatelná právě tehdy, když připouští diferenciální formu nejvyššího stupně, která nikam nemizí ( objemová forma ). V geometrii jsou neorientovatelné rozvody spíše kuriozitou, protože každý neorientovatelný rozvod připouští dvojitý kryt , jehož celkový prostor je orientovatelný (tzv. orientační kryt). Je vhodné jej konstruovat pomocí teorie vektorových svazků . Konkrétně musíme uvažovat nejvyšší vnější stupeň svazku kotangens - jinými slovy, visící nad každým bodem skutečná čára, která parametrizuje všechny možné formy objemu na prostoru tečny v tomto bodě, vyberte v každé vrstvě skalární součin ( např. například pomocí dělení jednoty ), a pak v něm uvažovat vektory jednotkové délky (tj. dva vektory nad každým bodem). Tangentní prostor v bodě , kde p je bod naší variety a a je nenulový objemový prvek, se izomorfně promítne na , a tím, že do něj vložíme objemový prvek rovný , získáme nikam mizející tvar nejvyššího stupně na celkový prostor této krytiny. Podobná konstrukce, kdy je každý bod nahrazen prostorem, který v tomto bodě parametrizuje všechny druhy struktur určité povahy (v tomto případě dvojice bodů), a poté je na výsledný vláknitý prostor zavedena nějaká struktura , ve více složité případy se nazývá twistorová konstrukce . $(p,\nu )$ $\nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}$ $T_{p}$ $\nu$

Vše výše uvedené platí pouze pro skutečné hladké variety (tj. skládající se z map, jejichž přechodové funkce jsou nekonečně diferencovatelné). V komplexní geometrii lze dát následující

Definice. Dovolit být komplexní varieta komplexní dimenze . Holomorfní svazek , jehož vlákno v bodě je komplexní vnější mocninou , se nazývá kanonický svazek . Jestliže varieta připouští nikde degenerovanou holomorfní sekci kanonického svazku, nazývá se Calabi-Yauova varieta a tato sekce se nazývá holomorfní objemová forma . $X$ $n$ $K_{X}$ ${\displaystyle K_{x))$ $x\in X$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}$ $X$

Například, když je komplexní křivka nebo Riemannův povrch , kanonický svazek je pouze holomorfní svazek kotangens. Jeho sekce jsou holomorfní 1-formy nebo Abelovské diferenciály . Jediný Riemannův povrch, který umožňuje Abelův diferenciál bez nul, je torus, tedy eliptická křivka . $X$

Zároveň dochází k určitému zmatku v terminologii (která bude vysvětlena níže): někdy se vyžaduje, aby odrůdy Calabi-Yau zmizely (nebo alespoň definovaly) základní skupinu. Někteří autoři jdou ještě dále a odkazují definici „Calabi-Yau“ pouze na ty variety, pro které jsou všechna Hodgeova čísla rovna nule v (přívrženci slabší konvence nazývají takové variety „striktní Calabi-Yau“). Téměř všichni autoři vyžadují Kählerovu podmínku , která a priori nesouvisí s přítomností holomorfní objemové formy. Konečně, pro matematiky, pokud není uvedeno jinak, se předpokládá, že Calabi-Yauovy variety jsou kompaktní, ale nekompaktní Calabi-Yauovy variety jsou také důležité v aplikacích: v takových případech je obvyklé zahrnout do definice podmínku na asymptotickém chování holomorfní objemové formy v nekonečnu. Existují další varianty definice spojené s diferenciálně-geometrickými vlastnostmi Calabi-Yauových variet. V souvislosti s tím vším se manifoldy, které splňují výše uvedenou definici, někdy v žargonu nazývají „holomorfně orientovatelné“ . Napříště termínem „Calabi-Yau“ rozumíme kompaktní kählerovskou holomorfně orientovatelnou varietu. $h^{p,0}$ $0<p<n$

Z obecného komplexního rozdělovače, který není holomorfně orientovatelný, je nemožné získat Calabi-Yauovo rozdělovači jakoukoliv jednoduchou konstrukcí, jako je orientační kryt. Charakteristickou třídou komplexního svazku je skutečně první třída Chern . Chcete-li mít holomorfní objemovou formu (tj. trivializaci ), je nutné tuto třídu vynulovat. Pro srovnání, charakteristické třídy skutečných liniových svazků, Stiefel-Whitneyovy třídy , mají hodnotu v , cohomologické skupině s koeficienty v reziduálním kruhu modulo dva, a není překvapením, že po vhodném dvojitém pokrytí zmizí. $K$ $c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $K_{X}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Ricciho plochá metrika

Na Kählerianových varietách má Ricciho zakřivení pozoruhodnou vlastnost: jestliže je operátorem komplexní struktury, pak 2-forma definovaná jako je uzavřená a leží v cohomologické třídě, Chernově třídě kanonického svazku. To lze ověřit například explicitním souřadnicovým výpočtem zakřivení kanonického svazku na Kählerově manifoldu a dokázat pomocí Chern-Weilovy teorie . Tvar se nazývá Ricciho tvar . $já$ $\rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)$ $c_{1}(K)$ $\rho$

Calabiho hypotézu (1954, 1957) jím prakticky vyřešil - nepodlehl mu pouze extrémně jemný analytický moment, který neměl přímý vztah ke geometrii. Poté, co toto analytické tvrzení dokázal Yau (1977, 1978), je právem nazýváno Calabiho-Yauovým teorémem (nebo Yauovým řešením Calabiho domněnky ).

Teorém. Buďme kompaktní Kähler manifold, jeho Kählerova forma, a buďme nějakou formou reprezentující první třídu Chern. Pak existuje Kählerova metrika taková, že její Kählerova forma patří do stejné kohomologické třídy jako (tj. forma je přesná) a Ricciho forma metriky je . $(X,g)$ $\omega$ $R\in c_{1}(K_{X})$ $X$ ${\tilde {g))$ ${\tilde {\omega ))$ $\omega$ ${\tilde {\omega }}-\omega$ ${\tilde {g))$ $R$

Pro Calabi-Yauovu varietu s , lze aplikovat větu na formu , a získat netriviální $c_{1}(K_{X})=0$ $R=0$

Následek. Na rozdělovači Calabi-Yau připouští každá třída Kahler Ricci-flat metriku.

Zmizení Ricciho zakřivení Kählerovy variety přitom ještě neznamená triviálnost kanonického svazku (a tedy přítomnost holomorfní objemové formy): samozřejmě třída Ricciho formy v de Rhamova kohomologie bude nulová, ale to nevylučuje skutečnost, že integrální Chernova třída je nenulovou třídou v torzní podgrupě . Někdy jsou takové odrůdy také zahrnuty do definice odrůd Calabi-Yau. $[\rho ]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)$ $c_{1}(K_{X})$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Levi-Civita spojení Ricciho ploché Kahlerovy metriky zachovává nejen hermitovskou strukturu v tečných prostorech (to znamená, že její holonomie nespočívá pouze v grupě $\mathrm {U} (n)$ ), jak se to děje u každé Kahlerovy variety, ale také holomorfní objemovou formu ( to znamená, že holonomie spočívá ve skupině ${\mathrm {SU}} (n)$ ) . Toto je jedna ze skupin v Bergerově tabulce a toto představuje diferenciálně-geometrickou definici Calabi-Yauových variet. Diferenciální geometry běžně odmítají jméno „Calabi-Yau“ pro manifoldy, ve kterých je striktně obsažena skupina holonomie spojení Levi-Civita (jako například v případě plochých metrik na torusu), a není přesně rovna této skupině. . ${\mathrm {SU}} (n)$

Příklady a klasifikace

V jednorozměrném případě je jakýkoli Calabi-Yauův prostor torus , se kterým se zachází jako s eliptickou křivkou . Obecně platí, že komplexní torus jakékoli dimenze je Calabi-Yauova varieta. Ricciho plochá metrika je v tomto případě jednoduše plochá metrika a toto je jediný známý případ, kdy ji lze zapsat do stravitelného vzorce. $\mathbf {T} ^{2}$

Všechny dvourozměrné Calabiho-Yauovy prostory jsou tori a takzvané K3 plochy . Klasifikace ve vyšších dimenzích není úplná, včetně důležitého trojrozměrného případu. Příkladem -dimenzionální Calabi-Yauovy manifoldy je hladká hyperplocha stupně B ( nebo obecně hladký antikanonický dělitel – tedy nulová úroveň sekce svazku duální ke kanonickému – na jakékoli manifoldu, kde antikanonický svazek připouští sekce). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{4))$ $n$ $n+2$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}$

Bogomolovova věta o rozkladu

Důležitým strukturálním výsledkem teorie Calabi-Yauových variet je Bogomolov (někdy Beauville - Bogomolov) teorém o rozkladu .

Teorém. Jakýkoli kompaktní Kählerův rozdělovač mající holomorfní objemový tvar (a v souladu s tím Ricciho plochou metriku) připouští konečné pokrytí , které se rozkládá na ortogonální součin , kde: $X$ $X'\to X$ ${\displaystyle X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j))$

$T$ je komplexní torus s plochou metrikou,
$Y_{i}$ jsou přísné Calabi-Yauovy variety, tj. takové, že pro a , $h^{p,0}(Y_{i})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{i))$ $h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1$
${\displaystyle Z_{j))$ jsou neredukovatelně holomorfně symplektické variety , tedy takové, že a . $h^{2p,0}(Z_{j})=1$ $h^{2p+1,0}(Z_{j})=0$

Zde jsou Hodgeova čísla . Holomorfně symplektické variety jsou v diferenciální geometrii známé také jako hyperkählerovy variety (názvosloví je v tomto případě, stejně jako v případě Calabi-Yauových variet, poněkud matoucí). ${\displaystyle h^{p,q))$

Dřívější Calabiho teorém, dokázaný pod hypotézou jeho jména, uvedl podobnou skutečnost, ale bez rozlišení mezi striktními Calabi-Yauovými a neredukovatelnými holomorfně symplektickými varietami. [5] Větu dokázal (bez poznámky v závorce, tehdy ještě nestanovené) v roce 1974 Bogomolov ve své práci O rozkladu Kählerianových variet s triviální kanonickou třídou . [6] V roce 1978 Bogomolov použil tento výsledek, aby dokázal, že třída holomorfně symplektických variet je vyčerpána povrchy K3 . Tento důkaz se ukázal jako chybný: v roce 1983 uvedl Beauville příklady holomorfně symplektických variet ( Hilbertovo schéma bodů na povrchu K3 nebo Hilbertovo schéma bodů na Abelově povrchu, které se sčítají nulou, tzv. zobecněný Kummer potrubí ). Současně podal další, diferenciálně-geometrický důkaz Bogomolovovy věty, založený na Yauově řešení Calabiho domněnky. [7] $n$ $n+1$

Použití v teorii strun

Teorie strun používá trojrozměrné (reálné dimenzionální dimenze 6) Calabi-Yauovy variety jako vrstvu zhutnění časoprostoru , takže každý bod ve čtyřrozměrném časoprostoru odpovídá Calabi-Yauovu prostoru.

Více než 470 milionů 3D Calabi-Yauových prostorů [8] je známo, že splňují požadavky teorie strun na další rozměry.

Jedním z hlavních problémů teorie strun (vzhledem k současnému stavu vývoje) je takový vzorek z naznačené uspokojivé podmnožiny trojrozměrných Calabi-Yauových prostorů, který by dal nejadekvátnější zdůvodnění počtu a složení rodin všech známé částice. Fenomén svobodné volby Calabi-Yauových prostorů a v této souvislosti vznik velkého množství falešného vakua v teorii strun je známý jako krajinný problém teorie strun . Zároveň, pokud teoretický vývoj v této oblasti povede k výběru jediného Calabi-Yauova prostoru, který splňuje všechny požadavky na extra dimenze, stane se to velmi závažným argumentem ve prospěch pravdivosti teorie strun [9] .

Poznámky

↑ Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew & Witten, Edward (1985), Vacuum configurations for superstrings , Nuclear Physics B Vol. 258: 46–74 , DOI 10.1016/0550-3213(85)90602-9
↑ Calabi, Eugenio (1954), The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Kongresová matematika. Amsterdam , s. 206–207
↑ Calabi, Eugenio (1957), O Kählerových varietách s mizející kanonickou třídou, Algebraická geometrie a topologie. Sympozium na počest S. Lefschetze , Princeton University Press , s. 78-89, MR : 0085583
↑ Yau, Shing Tung (1978), O Ricciho zakřivení kompaktního Kählerova manifoldu a komplexní Monge-Ampère rovnici. I , Communications on Pure and Applied Mathematics vol. 31 (3): 339-411, MR : 480350 , ISSN 0010-3640 , DOI 10.1002/cpa.3160310304
↑ E. Calabi. Na Kählerových varietách s mizející kanonickou třídou , algebraickou geometrií a topologií. Sympozium na počest S. Lefschetze, str. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. O rozkladu Kählerianových manifoldů s triviální kanonickou třídou Archivováno 27. července 2013 na Wayback Machine Mat. So. , 1974, ročník 93(135), číslo 4, strany 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Archivováno 21. prosince 2019 na Wayback Machine , J. Differential Geom., Volume 18, Number 4 (1983), 755-782.
↑ Shintan Yau , Steve Nadis. Teorie strun a skryté dimenze vesmíru. - Petrohrad. : Nakladatelství Piter, 2016. - 400 s. - ISBN 978-5-496-00247-9 .
↑ B. Zelený elegantní vesmír. Superstruny, skryté dimenze a pátrání po ultimátní teorii . Za. z angličtiny, generál vyd. V. O. Malyshenko, - M . : EditorialURSS, 2004. - 288 s. — ISBN 5-354-00161-7 .

Literatura

Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1990), Kompletní rozvody Kähler s nulovým Ricciho zakřivením, I , Amer. Matematika. soc. Vol. 3 (3): 579–609 , DOI 10.2307/1990928
Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1991), Kompletní rozdělovače Kähler s nulovým Ricciho zakřivením, II , Invent. Matematika. V. 106 (1): 27–60 , DOI 10.1007/BF01243902