Homomorfismus

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Homomorfismus (z jiného řeckého ὁμός - stejný, shodný a μορφή - typ, forma) je morfismus v kategorii algebraických systémů , tedy zobrazení algebraického systému A , zachovávající základní operace a základní vztahy.

Definice

Zobrazení se nazývá skupinový homomorfismus , pokud transformuje jednu skupinovou operaci na jinou: , to znamená, že obraz produktu je roven součinu obrazů. ${\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2))$ $(G_{1},*)$ $(G_{2},\times )$ $f(a*b)=f(a)\times f(b)$

Koncept homomorfismu jako vztahu mezi dvojicí algebraických systémů se začal používat v dílech německého matematika Frobenia a zobecněnou definici formulovala Emmy Noetherová v roce 1929. Konkrétními případy homomorfismu jsou izomorfismus a automorfismus [1] . Nějakou obecnou teorii, která zpřesňuje pojmy homomorfismus, izomorfismus a morfismus, navrhla známá skupina francouzských matematiků Nicolas Bourbaki ve své knize Teorie množin (kapitola IV, § 2).

Související definice

Homomorfní obraz je obrazem matematického objektu, který má strukturu pologrupy, grupy, kruhu, algebry pod homomorfním zobrazením. Někdy také hovoří o homomorfních obrazech jiných matematických objektů, například grafů.
Homomorfní jádro
- pro homomorfismus abelovských grup (zejména pro kruhy , vektorové prostory atd.) - inverzní obraz nuly,
- pro obecné skupiny - prototyp jednotky.

Vlastnosti

Jádro homomorfismu je normální podskupina. Homomorfní obraz grupy je izomorfní s kvocientovou grupou s ohledem na jádro homomorfismu (teorém o homomorfismu).

Typy homomorfismů

Monomorfismus je jednohodnotový ( injektivní ) homomorfismus
Epimorfismus je surjektivní homomorfismus
Bimorfismus je individuální ( bijektivní ) homomorfismus
Izomorfismus - homomorfismus s přítomností inverzního homomorfismu
Endomorfismus je homomorfismus do samotné množiny
Automorfismus je izomorfismus na množině samotné

Viz také

Faktorová skupina

Poznámky

↑ Homomorfismus // Systémová analýza a rozhodování: Dictionary-Reference. - M . : Vyšší škola, 2004. - S. 72. - 616 s. - 32 817 BBK . - UDC 005 . — ISBN 5-06-004875-6 .

Literatura

Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics - 1970, str. 332 (1974, str. 373).

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4160602-4 J9U : 987007565420605171 LCCN : sh85061771 NKC : ph714665