Spád

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. května 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Gradient (z lat. gradiens , rod p. gradientis „chůze, rostoucí“) - vektor , jehož směr udává směr nárůstu (a anti-gradientu - poklesu) nějaké skalární veličiny (jejíž hodnota se mění od jednoho bodu v prostoru k jinému, tvořící skalární pole ) a ve velikosti (modulu) rovné rychlosti růstu této velikosti v tomto směru. $\varphi ,$

Vezmeme-li například jako výšku zemského povrchu nad hladinou moře, pak jeho gradient v každém bodě povrchu ukáže „směr nejstrmějšího stoupání“ a charakterizuje strmost svahu svou velikostí. $\varphi$

Jinými slovy, gradient je derivace vzhledem k prostoru, ale na rozdíl od derivace s ohledem na jednorozměrný čas, gradient není skalární, ale vektorová veličina.

Z matematického hlediska lze gradient považovat za:

Koeficient linearity změny hodnoty funkce mnoha proměnných ze změny hodnoty argumentu;
Vektor v prostoru domény skalární funkce mnoha proměnných, složený z parciálních derivací;
Řádky Jacobiánské matice obsahují gradienty složených skalárních funkcí, které tvoří vektorovou funkci mnoha proměnných.

Prostor, na kterém je funkce a její gradient definována, může být obecně buď obyčejný trojrozměrný prostor, nebo prostor jakékoli jiné dimenze jakékoli fyzikální povahy, nebo čistě abstraktní (bezrozměrný) prostor.

Termín se poprvé objevil v meteorologii a byl zaveden do matematiky Maxwellem v roce 1873; označení navrhl také Maxwell. ${\mathrm {grad}}$

Standardní označení :

{\mathrm {grad}}\,\varphi

nebo pomocí operátoru nabla ,

\nabla \varphi

- místo toho může existovat libovolné skalární pole , označené libovolným písmenem, například - označení gradientu pole: . $\varphi$ ${\mathrm {grad}}\,V,\nabla V$ $PROTI$

Úvod

Nechť je teplota v místnosti dána skalárním polem T tak, že v každém bodě daném souřadnicemi ( x , y , z ) je teplota T ( x , y , z ) (předpokládejme, že se teplota v čase nemění ). V každém bodě místnosti bude gradient funkce T ukazovat ve směru, ve kterém teplota stoupá nejrychleji. Velikost gradientu určuje, jak rychle teplota v daném směru stoupá.

Definice

Pro případ trojrozměrného prostoru je gradient skalární funkce souřadnic diferencovatelných v nějaké oblasti , , vektorová funkce se složkami $\varphi =\varphi(x,y,z)$ $X$ $y$ $z$

{\frac {\částečné \varphi }{\částečné x)),{\frac {\částečné \varphi }{\částečné y)),{\frac {\částečné \varphi }{\částečné z)).

[jeden]

Nebo pomocí pro jednotkové vektory podél os pravoúhlých kartézských souřadnic : $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

{\mathrm {grad}}\,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\částečné \varphi }{\částečné x}}{\vec e}_{x}+{\frac {\částečné \varphi }{\částečné y}}{\vec e}_{y}+{\frac {\částečné \varphi }{\částečné z}}{\vec e}_{z}.

Jestliže je funkcí proměnných , pak jeho gradient je -rozměrný vektor $\varphi$ $n$ $x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}$ $n$

\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1))},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n))}\right) ,

jehož složky se rovnají parciálním derivacím vzhledem ke všem jeho argumentům. $\varphi$

Dimenze vektoru gradientu je tedy určena dimenzí prostoru (nebo variety), na kterém je dáno skalární pole, o jehož gradient se jedná.
Operátor gradientu je operátor, jehož působení na skalární funkci (pole) udává její gradient. Tento operátor se někdy zkráceně nazývá jednoduše „gradient“.

Význam gradientu jakékoli skalární funkce je ten, že její skalární součin s nekonečně malým vektorem posunutí dává celkový diferenciál této funkce s odpovídající změnou souřadnic v prostoru, na kterém je definován , tedy lineární (v případě obecná poloha, je to také hlavní) část změny při posunutí o . Použitím stejného písmene k označení funkce vektoru a odpovídající funkce jeho souřadnic lze napsat: $F$ $d{\mathbf {x}}$ $F$ $F$ $d{\mathbf {x}}$

df={\frac {\částečné f}{\částečné x_{1))}\,dx_{1}+{\frac {\částečné f}{\částečné x_{2))}\,dx_{2}+ {\frac {\partial f}{\partial x_{3))}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))} \,dx_{i}=({\mathrm {grad}}\,{\mathbf {f}}\cdot d{\mathbf x}).

Zde stojí za zmínku, že protože vzorec pro totální diferenciál nezávisí na typu souřadnic , tedy na povaze parametrů x obecně, pak je výsledný diferenciál invariant, tedy skalární, pro jakékoli transformace souřadnic, a protože se jedná o vektor, gradient vypočítaný obvyklým způsobem se ukáže jako kovariantní vektor , tedy vektor reprezentovaný na duální bázi, který může dát pouze skalár pouhým sečtením součinů. souřadnic obyčejného ( kontravariantní ), tedy vektoru zapsaného na obyčejném základě. Výraz (obecně řečeno pro libovolné křivočaré souřadnice) lze tedy zcela správně a invariantně zapsat jako: $x_{i}$ $d{\mathbf {x}}$

df=\sum _{i}(\částečné _{i}f)\,dx^{i}

nebo vynecháním součtového znaménka podle Einsteinova pravidla,

df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}

(na ortonormálním základě můžeme všechny indexy zapsat jako dolní indexy, jak jsme to udělali výše). Gradient se však ukáže jako skutečný kovariantní vektor v jakýchkoli křivočarých souřadnicích.

Použití integrální věty

\iiiint \limits _{{V}}\nabla \varphi \,dV=\iint \limits _{{S}}\varphi \,d{\mathbf {s}}

gradient lze vyjádřit v integrálním tvaru:

\nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \že jo),

zde je uzavřená plocha uzavírající objem , který je normálním prvkem této plochy. ${\své))}$ ${\it {{V},d{\mathbf {s))))$

Příklad

Například gradient funkce bude: $\varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z$

\nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x)),\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y)),\;{\frac {\částečné \varphi }{\částečné z}}\vpravo)=(2,\;6y,\;-\cos z).

Ve fyzice

V různých odvětvích fyziky se používá pojem gradientu různých fyzikálních polí.

Například síla elektrostatického pole je mínus gradient elektrostatického potenciálu , síla gravitačního pole (zrychlení volného pádu) v klasické teorii gravitace je mínus gradient gravitačního potenciálu . Konzervativní síla v klasické mechanice je minus potenciální energetický gradient .

V přírodních vědách

Pojem gradient se používá nejen ve fyzice, ale také v příbuzných a dokonce relativně vzdálených fyzikálních vědách (někdy je tato aplikace kvantitativní a někdy jen kvalitativní).

Například koncentrační gradient je zvýšení nebo snížení koncentrace rozpuštěné látky v jakémkoli směru, teplotní gradient je zvýšení nebo snížení teploty média v nějakém směru atd.

Gradient takových hodnot může být způsoben různými důvody, například mechanickou překážkou, působením elektromagnetických, gravitačních nebo jiných polí nebo rozdílem v rozpouštěcí síle sousedních fází.

V ekonomii

V ekonomické teorii se pojem gradient používá k doložení určitých závěrů. Zejména metoda Lagrangeova multiplikátoru a Kuhn-Tuckerovy podmínky (vypůjčené z přírodních věd) používané k nalezení spotřebitelova optima jsou založeny na srovnání gradientů funkce užitku a funkce rozpočtového omezení .

Geometrický smysl

Zvažte rodinu řádků na úrovni funkcí : $\varphi$

\gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid \varphi (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h \}.

Je snadné ukázat, že gradient funkce v bodě je kolmý k její linii úrovně procházející tímto bodem. Modul gradientu ukazuje maximální rychlost změny funkce v okolí , tedy frekvenci nivelačních čar. Na topografických mapách se například zobrazují výškové čáry, přičemž modul gradientu ukazuje strmost klesání nebo stoupání v daném bodě. $\varphi$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$

Spojení s derivací ve směru

Pomocí pravidla diferenciace složené funkce je snadné ukázat, že směrová derivace funkce je rovna skalárnímu součinu gradientu a jednotkového vektoru : $\varphi$ ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ $\varphi$ $\vec{e}$

{\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e))))={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1))}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n))}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e))).

Pro výpočet derivace skalární funkce vektorového argumentu v libovolném směru tedy stačí znát gradient funkce, tedy vektor, jehož komponenty jsou jeho parciální derivace.

Gradient v ortogonálních křivočarých souřadnicích

\operatorname {grad}\,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1))}{\frac {\částečné U} {\partial q_{1))}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}} }{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}} _{3},

kde jsou Lameovy koeficienty . $Ahoj$

Polární souřadnice (v rovině)

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\end{matrix}}.

Odtud:

\operatorname {grad}\,U(r,\;\theta )={\frac {\částečné U}{\částečné r)){\vec {e_{r))}+{\frac {1}{r }}{\frac {\částečné U}{\částečné \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.

Válcové souřadnice

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix)).

Odtud:

\operatorname {grad}\,U(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\částečné U}{\částečné r)){\vec {e_{r))}+{\frac { 1}{r}}{\frac {\částečné U}{\částečné \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\částečné U}{\částečné z}}{\vec {e_{z}}}.

Sférické souřadnice

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{1}=1\;\;\;\;\;\;\\H_{2}=r\;\;\;\;\;\;\\H_ {3}=r\sin {\theta }\end{matrix}}.

Odtud:

\operatorname {grad}\,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\částečné U}{\částečné r)){\vec {e_{r))}+{\frac {1}{r}}{\frac {\částečné U}{\částečné \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}} {\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.

Variace a zobecnění

Nechť je mapování mezi metrickými prostory. Borelova funkce se nazývá horní gradient , pokud je následující nerovnost $u\colon X\to Y$ $\rho \colon X\to \mathbb {R}$ $u$ $|u(p)-u(q)|_{Y}\leq \int \limits _{\gamma }\rho$

platí pro libovolnou rektifikovatelnou křivku spojující a do . [2]

\gamma

p

q

X

Viz také

Co je Gradient na YouTube

Poznámky

↑ L. I. Kovalenko. Metodické pokyny k matematické analýze pro studenty 2. ročníku. Prvky vektorové analýzy. . - MIPT, 2001. - S. 5. - 35 s. Archivováno 7. listopadu 2020 na Wayback Machine
↑ 6.2 v Heinonen, Juha, et al. Sobolevovy prostory na metrických prostorech. sv. 27. Cambridge University Press, 2015.

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrické metody a aplikace: Studijní příručka pro fyziku a matematiku na univerzitách. — M .: Nauka, 1986. — 759 s.

Odkazy

Brounov P.I. Gradient // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata