Grigorčukova skupina

Grigorčukova grupa je prvním příkladem konečně generované grupy středního růstu (to znamená, že její růst je rychlejší než polynomiální, ale pomalejší než exponenciální).

Příklad zkonstruoval Grigorchuk , střední růst dokázal ve svém článku z roku 1984 [1] [2] . To odpovědělo na Milnorovu otázku , položenou v roce 1968 [3] .

Konstrukce

Skupina je postavena prostřednictvím své akce na nekonečném úplném binárním stromu.

Nekonečný úplný binární strom

Uvažujme nekonečný úplný binární kořenový strom T 2 a jeho automorfismy . Tento strom je izomorfní s jakýmkoliv jeho podstromem, takže jakýkoli jeho automorfismus lze aplikovat na jakýkoli podstrom.

Každý vrchol stromu T 2 lze označit prvkem množiny Σ * všech konečných řetězců v abecedě Σ = {0,1}, včetně prázdného řetězce Ø. Prázdný řetězec Ø odpovídá kořenovému uzlu T 2 . Označení levého potomka každého uzlu se získá přidáním 0, pravého - 1.

Jakýkoli automorfismus stromu T 2 zachovává cestu od kořenového uzlu k libovolnému jinému a žádný uzel neposouvá z jedné úrovně do druhé. Splnění těchto vlastností postačuje k tomu, aby permutace množiny vrcholů stromu byla automorfismem stromu. Skupině všech automorfismů Aut( T 2 ) tedy odpovídá skupina všech takových permutací σ množiny řetězců Σ * , které zachovávají délku řetězce (tj. délka x se musí rovnat délce σ ( x ) ) a zachovat vztah "počáteční segment řetězce" (tj. pokud je řetězec x počátečním segmentem řetězce y , pak σ ( x ) je počáteční segment σ ( y )).

Formatives

Grigorchukova grupa G je definována jako podgrupa grupy Aut( T2 ) generovaná určitými čtyřmi prvky a, b , c, d , tj . . $G=\langle a,b,c,d\rangle <\mathrm {Aut} (T_{2})$

Pokud jde o převod řetězců sestávajících z 0 a 1, automorfismy a, b, c, d jsou definovány rekurzivně takto:

a (0 x ) = 1 x , a (1 x ) = 0 x ;
b ( 0x ) = 0a ( x ) , b ( lx )= lc ( x );
c (0 x ) = 0 a ( x ), c (1 x ) = 1 d ( x );
d (0 x ) = 0 x , d (1 x ) = 1 b ( x )

pro každé x v Σ*. Například:

a (11101) = 01101
b (11101) = 1 c (1101) = 11 d (101) = 111 b (01) = 1110 a (1) = 11100
c (11101) = 1 d (1101) = 11 b (101) = 111 c (01) = 1110 a (1) = 11 100
d (11101) = 1 b (1101) = 11 c (101) = 111 d (01) = 11101

Pokud jde o transformaci binárního stromu, prvek a zamění levý a pravý podstrom stromu, na který působí. Zbývající prvky působí samostatně na každý z těchto dvou podstromů, tyto prvky lze rekurzivně reprezentovat ve dvojicích (dva prvky z dvojice odpovídají akci na levém a pravém podstromu):

b = ( a , c ),
c = ( a , d ),
d = ( 1 , b ).

Zde b = ( a , c ) znamená , že b nemění kořen T 2 , působí v levém podstromu jako a a v pravém jako c . Zde 1 označuje mapování identity .

V nerekurzivní reprezentaci vypadá působení prvků b , c , d takto: počínaje od kořene se pohybujeme dolů a v každém kroku vybíráme správného potomka; současně je operace a aplikována pokaždé na levý podstrom (prohození dvou jeho podstromů), kromě každého třetího kroku, počínaje třetím, druhým a prvním krokem pro b , c a d , v tomto pořadí [4] .

Vlastnosti generátoru

Níže jsou uvedeny hlavní důsledky této konstrukce [5] .

Každý z prvků a, b, c, d má řád 2 v G .
Prvky b, c, d pendlují ve dvojicích a bc = cb = d, bd = db = c, dc = dc = b .
- Konkrétně jde o abelovskou skupinu řádu 4; je izomorfní k přímému součinu dvou cyklických skupin řádu 2. $\langle b,c,d\rangle$
Skupina G je generována a a libovolnými dvěma ze tří prvků b, c, d (například ). $G=\langle a,b,c\rangle$
Ve výše uvedeném rekurzivním zápisu . $aba=(c,a),\ aca=(d,a),\ ada=(b,1)$
Stabilizátor St G [1] v G je podskupina generovaná b, c, d, aba, aca, ada . Podgrupa St G [1] je normální podgrupa indexu 2 v G , a G = StG [ 1] a StG [ 1]. $\sqcup$
Každý prvek G lze zapsat jako (kladné) slovo písmen a, b, c, d bez vedlejších slov ve tvaru aa, bb, cc, dd, cd, dc, bc, cb, bd, db .
- Taková slova se nazývají zkrácená .
- „Pozitivní slovo“ zde znamená, že v odpovídajícím zápisu nejsou žádné prvky a −1 , b −1 atd. Protože všechny tyto generátory mají řád 2, tj. jsou k sobě inverzní, je to snadná podmínka.
Zkrácené slovo je prvek ze stabilizátoru St G [1] právě tehdy, pokud toto slovo obsahuje sudý počet výskytů a .
Je-li w zkrácené slovo sudé délky s kladným sudým počtem výskytů a , pak existují některá slova u, v zapsaná jako a, b, c, d (nemusí být nutně zkrácena), takže G má w = (u, v ) a | u | ≤ | w |/2, | v | ≤ | w |/2.
- Je-li w zkrácené slovo liché délky s kladným sudým počtem výskytů a , pak je toto tvrzení také pravdivé, ale nerovnosti mají tvar: | u | ≤ (| w | + 1)/2, | v| ≤ (| w | + 1)/2.

Poslední vlastnost hraje klíčovou roli v mnoha důkazech, protože umožňuje použití indukce na délku slova.

Vlastnosti

Skupina G je nekonečná. [2]
Skupina G je reziduálně konečná . [2]
Skupina G je 2-grupa , to znamená, že každý prvek v G má konečný řád , což je mocnina 2. [1]
Skupina G má střední výšku . [2]
- Zejména skupina G je přístupná . [2]
- Grigorchuk dokázal, že růst skupiny G , , leží mezi a . $\gamma (n)$ $\exp n^{s_{1)),\ s_{1}=1/2$ $\exp n^{s_{2}},\ s_{2}=\log _{32}31\cca 0{,}991$
- Později byla nalezena přesná hodnota exponentu v exponentu v : , kde je skutečný kořen polynomu [6] . $n$ $\gamma (n)$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \log \gamma (n)}{\log n))=1/\log _{2}x\cca 0,7674$ $X$ $x^{3}-x^{2}-2x-4$
Každá grupa podílu G netriviální normální grupy je konečná.
Každá konečně generovaná podgrupa je uzavřena v profinitní topologii na G . [7]
Každá maximální podskupina v G má konečný index . [osm]
Grupa G je konečně generována, ale ne konečně daná . [2] [9]
Centralizátor prvku je definitivně generován tehdy a pouze tehdy, když je prvek konjugován s generujícím prvkem "a" [10]
Indexy členů spodní střední řady jsou shora ohraničeny číslem 4 [11]
Byly nalezeny příklady maximálních lokálně konečných podgrup, ukázalo se, že jsou nekonečné [12]

Viz také

Reference

↑ 1 2 R. I. Grigorchuk, „O problému Burnside na periodických skupinách“ Archivováno 25. ledna 2021 na Wayback Machine , Funct. analýza a její aplikace, 14:1 (1980), 53-54
↑ 1 2 3 4 5 6 R. I. Grigorchuk, „Stupně růstu finitně generovaných grup a teorie invariantních prostředků“ Archivováno 20. září 2016 ve Wayback Machine , Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat.48:5 (1984), 939-985
↑ John Milnor, Problém č. 5603, American Mathematical Monthly , sv. 75 (1968), str. 685-686.
↑ Rostislav Grigorčuk, Igor Pak. Skupiny středního růstu: úvod : [ eng. ] // L'Enseignement Mahematique. - 2008. - Sv. 54. - S. 251-272. — arXiv : math/0607384 . - doi : 10.5169/těsnění-109938 .
↑ Pierre de la Harpe. Témata z teorie geometrických grup. Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; Ch. VIII, První skupina Grigorčuk, str. 211–264.
↑ Anna Erschler & Tianyi Zheng. Růst periodických Grigorčukových skupin // Inventiones mathematicae. - 2020. - Sv. 219.—S. 1069–1155. - doi : 10.1007/s00222-019-00922-0 .
↑ R.I. Grigorchuk a J.S. Wilson. Strukturální vlastnost týkající se abstraktní souměřitelnosti podskupin. Archivováno 24. května 2011 v časopise Wayback Machine Journal of the London Mathematical Society (2), sv. 68 (2003), č. 3, str. 671–682.
↑ E. L. Pervová. Všude husté podgrupy skupiny automorfismu stromu // Tr. MIAN. - 2000. - T. 231. - S. 356-367.
↑ I. G. Lysenok, „Systém definování vztahů pro skupinu Grigorchuk“ Archivní kopie z 13. února 2018 na Wayback Machine , Mat. notes, 38:4 (1985), 503-516
↑ A.V. Rožkov. Centralizátory prvků v jedné skupině stromových automorfismů // Izv. BĚŽEL. Ser. mat .. - 1993. - T. 57 , č. 6 . - S. 82-105 . Archivováno 26. října 2020.
↑ A.V. Rožkov. Nižší střední řada jedné skupiny automorfismu stromu // Math. poznámky .. - 1996. - T. 60 , č. 2 . — S. 225-237 . Archivováno z originálu 23. července 2018.
↑ A. V. Rožkov. Maximální lokálně konečné podgrupy v Grigorčukově grupě // Math. poznámky .. - 1998. - T. 63 , č. 4 . — S. 617–624 . Archivováno 25. listopadu 2020.