Matice identity

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Matice identity je čtvercová matice , jejíž prvky hlavní úhlopříčky se rovnají jednotce pole a zbytek je roven nule.

Definice

Čtvercová matice velikosti (order) , kde for any , a for any , se nazývá identitní matice řádu [1] . $E_{n}=(e_{{ij}})$ $n$ $e_{{ii}}=1$ $i\in \overline {1,n}$ $e_{{ij}}=0$ $i\neq j$ $n$

Matici identity lze také definovat jako matici , pro kterou je , kde je Kroneckerův symbol [1] . $(e_{{ij}})$ $e_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

Identitní matice je speciálním případem skalární matice .

Označení

Identitní matice velikosti se obvykle označuje jako: $n\krát n$ $E_{n}$

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix)),

Používá se také jiný zápis: . $V}$

Pokud je z kontextu zřejmé, o jakou velikost matice jde, pak se dolní index (označující pořadí) vynechává: , [1] . $E$ $já$

Vlastnosti

Součin jakékoli matice a matice identity vhodné velikosti je roven matici samotné [1] :

AE=EA=A

Čtvercová matice s nulovou mocninou dává matici identity stejné velikosti [1] :

A^{0}=E

Při vynásobení matice její inverzní maticí se získá také matice identity [2] :

AA^{-1}=A^{-1}A=E

Matice identity se získá vynásobením ortogonální matice její transponovanou maticí [3] :

AA^{T}=E

Determinant matice identity se rovná jedné:

{\mathrm {det}}\,E=1

Příklady

Identitní matice prvního řádu mají tvar

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix)),\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),\ E_{3}={\ begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Gantmakher, 1966 , str. 24.
↑ Gantmakher, 1966 , str. 27.
↑ Gantmakher, 1966 , str. 238.

Literatura

Gantmakher, F. R. Teorie matice. - 2. vyd., dodatkové .. -M .:Nauka, 1966. - 576 s.
Viz Odkazy na lineární algebru

Viz také

Nulová matice

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný