Zapomnětlivý funktor

Funktor zapomínání ( funktor vymazávání ) je funktor kategorie teoretický , který „zapomíná“ některé nebo všechny algebraické struktury a vlastnosti původního oboru, to znamená, že převádí domény vybavené dalšími strukturami a vlastnostmi na kodomény s menšími omezeními.

Pojem nemá striktní definici a používá se ke kvalitativní charakterizaci transformací produkovaných takovými funktory. Pro algebraickou strukturu s danou sadou operací lze tyto transformace popsat jako redukce signatury , například funktor zapomínání je takový, který spojuje každý kruh z kategorie kruhů ${\mathbf {Rng}}$ s jeho aditivní abelovskou grupou z kategorie ${\mathbf {Ab))$ a přebírá homomorfismy kruhu do skupinové homomorfismy . Signatura se může vyprázdnit, to znamená, že se jako kodoména takového funktoru ukáže nosná množina původní struktury, příkladem takového funktoru je transformace grup z kategorie grup ${\mathbf {Grp}}$ na množiny jejich prvků z kategorie ${\mathbf {Sada}}$ , která transformuje homomorfismy na „obyčejná“ zobrazení množin. Protože mnoho konstruktů v matematice je popisováno jako množiny s dodatečnou strukturou, funktor zapomínání na množinu nosných je v praxi nejčastějším příkladem; možnost konstrukce zapomnětlivého funktoru do kategorie množin je základem důležitého pojmu konkrétní kategorie . Zapomnětlivý funktor navíc může zachovat struktury, ale zároveň omezit omezení vlastností .

Příklad

Jako příklad můžeme uvést několik zapomnětlivých funktorů z kategorie komutativních okruhů. Komutativní prsten popsaný v jazyce univerzální algebry je množina < R , +, *, a , 0, 1 > , která splňuje určité axiómy; zde + a * jsou binární operace na množině R , a je unární operace ( přičtení opačného prvku sčítáním), 0 a 1 jsou nulové operace převzetí stejných prvků sčítáním a násobením. Odstranění jednotky odpovídá zapomnětlivému funktoru do kategorie okruhů bez jednotky; odstranění * a 1 odpovídá funktoru do kategorie abelovských grup , který sdružuje každý kruh s jeho grupou sčítáním. Navíc je každý morfismus kruhů spojen se stejnou funkcí , pouze považován za morfismus abelovských grup. Odstranění celé signatury odpovídá funktoru v kategorii množin.

Mazání struktury a vlastností

Existují určité rozdíly mezi těmi funktory, které „zapomínají strukturu“ a těmi, které „zapomínají pouze vlastnosti“. Pokud funktory a operace "vymazávají", pak jako příklad funktoru, který ztrácí vlastnosti, můžeme uvést transformaci z kategorie abelovských grup do kategorie grup , která ztrácí axiom komutativnosti násobení, ale zachovává si všechny operace. ${\mathbf {Rng}}\to {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Zapomnětlivé funktory jsou téměř vždy univalentní . Například konkrétní kategorie jsou definovány jako kategorie připouštějící univalentní funktor do kategorie množin. Funktory, které zapomínají na axiomy , budou vždy zcela univalentní .

Levý doplňkový funktor

Zapomnětlivé funktory mají často levé konjugované funktory , které konstruují volné objekty . Například:

volný modul : funktor zapomnění od (kategorie -moduly ) do má levé adjunkce odpovídající zobrazení množiny do volného -modulu se základem ; ${\mathbf {Mod}} (R)$ $R$ ${\mathbf {Sada}}$ $\operatorname {Free}_{R}$ $X\mapsto \operatorname {Free}_{R}(X)$ $X$ $R$ $X$
volná skupina ;
tenzorová algebra .

V tomto případě je konjugace interpretována následovně: vezmeme-li množinu X a objekt na ní postavený (například modul M ), zobrazení množin jednoznačně odpovídají zobrazením modulů . V případě vektorových prostorů se to obvykle říká takto: "mapování je dáno obrázky vektorů báze a vektory báze lze posílat kamkoli", tato skutečnost je vyjádřena vzorcem: $X\to M$ $\operatorname {Free}_{R}(X)\to M$

\operatorname {Hom}_{{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operatorname {Free}_{R}(X),M)=\operatorname {Hom}_{{{\mathbf { Nastavit}}}}(X,\jméno operátora {Zapomenout}(M))

Kategorie těles je příkladem kategorie, kde zapomnětlivý funktor nemá žádné adjungováno: neexistuje pole, které by vyhovovalo volné univerzální vlastnosti pro množinu X .

Literatura

McLane, Saunders . Categories for the Working Mathematician = Kategorie pro pracujícího matematika. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 s. — ISBN 5-9921-0400-4 .