Bertrandův problém je problém inverzní k problému dvou těles a spočívá v určení interakční síly ze známých vlastností trajektorií pohybu.
Bertrandův první problém . Najděte zákon sil, který závisí pouze na poloze pohybujícího se bodu, a popište kuželosečky, ať jsou počáteční podmínky jakékoli.
Tento problém úspěšně vyřešili Darboux a Alfen [1] za dodatečného předpokladu, že síla je centrální, a poté byla tato podmínka také zamítnuta [2] . Ukázalo se, že existují dvě takové interakce - zákon univerzální gravitace a Hookeův zákon .
Předpoklad o centralitě síly by však mohl být učiněn také z obecných úvah o symetrii problému.
Bertrandův druhý problém . S vědomím, že síla, která způsobuje pohyb planety kolem Slunce, závisí pouze na vzdálenosti a je taková, že její působiště popisuje uzavřenou křivku, bez ohledu na počáteční podmínky, pouze pokud je rychlost menší než určitá mez, najděte zákon této síly.
Odpověď je krátká: zákon síly může být buď Hookův zákon, nebo zákon univerzální gravitace.
Problém vyřešil sám Bertrand [3] . Nejúplnější řešení je uvedeno v Darbouxově poznámce o Depeirově mechanice [4]
Koenigs G. navrhl ještě obecnější problém:
Problém Koenigs . S vědomím, že síla, která způsobuje pohyb planety kolem Slunce, závisí pouze na vzdálenosti a je taková, že její působiště popisuje algebraickou křivku, bez ohledu na počáteční podmínky, najděte zákon této síly.
Ač se to může zdát překvapivé, odpověď je stejná: zákon síly může být buď Hookův zákon, nebo zákon univerzální gravitace.
Vyčerpávající řešení problému podal sám Koenigs [5] . Myšlenka důkazu je redukována na prokázání uzavřenosti analytické konečné orbity [6] , což redukuje problém na předchozí.
Úlohy určení druhu sil při pohybu tělesa po drahách ve formě kuželoseček a typu drah podle daného zákona sil stanovil a zcela vyřešil [7] Isaac Newton v první knize „ Principles of Mathematics “ pomocí jím vyvinuté syntetické metody, která kombinuje geometrické důkazy hlavních vět matematické analýzy a teorie limit [8] s jím vytvořenou teorií analytických řad [9] na základě Newtonova binomu [10] .
V sekci III ( O pohybu těles po excentrických kuželosečkách ) je dokázáno, že pohyb po kuželosečkách je možný pouze pro zákon inverzní čtverce ( Tvrzení XI-XIII ), nebo pro zákon prvního stupně (Hooke, Tvrzení X ). Navíc první případ odpovídá směru síly směrem k ohnisku kuželosečky a druhý - geometrickému středu elipsy. V sekci II je předběžně dokázáno, že pohyb tělesa po části libovolné hladké křivky ležící v rovině lze redukovat na pohyb v poli nějaké centrální síly s přitahovacím středem v této rovině ( Tvrzení VII, Důsledky 2 a 3 ).
V sekci IX ( O pohybu těles na pohyblivých drahách a o přemísťování apsid ) je pomocí analytických řad a přechodu k hranici z dráhy blízké kružnici na kruhovou doloženo, že uzavřená dráha může být pouze s exponentem +1 (Hookeův zákon, příklad 2 ) nebo −2 (zákon gravitace, příklad 3).
Autor překladu a editor prvního vydání Počátků v ruštině, mechanik A. N. Krylov , v předmluvě Počátků poznamenává, že první překlad do angličtiny pořídil v roce 1727, do francouzštiny až v roce 1759 markýz du Chatelet a dílo Newton v moderních evropských jazycích byly k dispozici až mnoho desetiletí po jeho prvním vydání v roce 1686.