Izotropní vektor

Izotropní vektor ( nullvector ) je nenulový vektor pseudoeuklidovského vektorového prostoru (nad polem reálných čísel ) nebo unitárního vektorového prostoru (nad polem komplexních čísel ), ortogonální k sobě samému, nebo ekvivalentně mající nulovou délku ve smyslu skalárního součinu uvažovaného prostoru. Název izotropní je spojen s fyzikálním pojetím izotropie .

V euklidovských prostorech takové vektory nejsou - pouze vektory rovné nule mají nulovou délku. V pseudoeuklidovských prostorech existují izotropní vektory a tvoří izotropní kužel . Konkrétně, vektor vektorového prostoru nad polem reálných nebo komplexních čísel s nedegenerovaným bilineárním tvarem daným jako skalární součin s podpisem je izotropní, jestliže . $\xi \neq 0$ $E$ $F$ $\Phi :E\times E\to F$ $(p,q)$ $\Phi (\xi ,\xi )=0$

Související pojmy

Izotropní kužel pseudoeuklidovského nebo unitárního vektorového prostoru je množina sestávající ze všech vektorů nulové délky daného prostoru, tedy všech izotropních vektorů a nulového vektoru.

Izotropní podprostor je podprostor pseudoeuklidovského nebo unitárního vektorového prostoru, který je celý obsažen v izotropním kuželu tohoto prostoru, to znamená, že se skládá výhradně z vektorů nulové délky. Podprostor je izotropní právě tehdy, když jsou libovolné dva jeho vektory navzájem ortogonální [1] . Maximální rozměr izotropního podprostoru pseudoeuklidovského singaturního prostoru nepřesahuje [2] . $(p,q)$ $\min(p,q)$

Degenerovaný podprostor je podprostor pseudoeuklidovského nebo unitárního vektorového prostoru, ke kterému je skalární omezení součinu degenerováno. Podprostor je degenerovaný právě tehdy, když obsahuje alespoň jeden izotropní vektor ortogonální ke všem ostatním vektorům tohoto podprostoru [1] . Je zřejmé, že jakýkoli izotropní podprostor je degenerovaný, ale opak není pravdou.

Příklady

Nejjednodušším příkladem jsou izotropní vektory a izotropní kužel v pseudoeuklidovském prostoru podpisu (2.1). Druhá mocnina délky vektoru je dána vztahem . Izotropní kužel je pravý kruhový kužel . Izotropní podprostory jsou přímky (generátory), které na něm leží, degenerované podprostory (jiné než izotropní) jsou roviny tečné k izotropnímu kuželu, to znamená, že s ním mají právě jednu společnou přímku. Všechny ostatní roviny jsou buď euklidovské (pokud se protínají s izotropním kuželem pouze v jeho vrcholu), nebo pseudoeuklidovské podpisu (1,1) (pokud se s ním protínají podél dvou různých čar) [3] . ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{3))$ $e=(x,y,z)$ ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2))$ $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

Nejdůležitějším příkladem jsou izotropní vektory a izotropní kužel v Minkowského prostoru, pseudoeuklidovský prostor podpisu (1,3) používaný jako geometrická interpretace časoprostoru speciální teorie relativity. V tomto prostoru má každý vektor e čtyři souřadnice: , kde je rychlost světla a druhá mocnina jeho délky je dána vzorcem . Izotropní kužel Minkowského prostoru se nazývá světelný kužel a izotropní vektory se nazývají světlo nebo světlo podobné . Vektory uvnitř světelného kužele ( ) se nazývají časové a vektory mimo světelný kužel ( ) se nazývají prostorové . ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}^{4))$ $e=(ct,x,y,z)$ $C$ ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ $|e|^{2}>0$ $|e|^{2}<0$

Poznámky

↑ 1 2 Remizov A. O. O izomorfismech pseudoeuklidovských prostorů , Mat. vzdělávání, 2018, č. 2(86), 15–39 (s. 17).
↑ Remizov A. O. K izomorfismům pseudoeuklidovských prostorů , Mat. obrazovanie, 2018, č. 2(86), 15–39 (s. 27, Lemma 2).
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, odst. 7)

Literatura

Izotropní vektor - článek z Encyklopedie matematiky . A. B. Ivanov
B. A. Dubrovin , S. P. Novikov , A. T. Fomenko Moderní geometrie: metody a aplikace. - 4. vydání. - M. : Editorial URSS, 1998. - T. 1. Geometrie ploch, grup transformací a polí. - S. 49-52. — 320 s. — ISBN 5-901006-02-X .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, odst. 7).
Remizov AO O izomorfizmech pseudoeuklidovských prostorů , Mat. vzdělávání, 2018, č. 2(86), 15–39.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný