Druhá odmocnina ze 2

Iracionální čísla ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π a π
Notový zápis	Odhadovaný počet √ 2
Desetinný	1,4142135623730950488…
Binární	1,0110101000001001111…
Hexadecimální	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Sexuální	jeden; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Racionální aproximace	3/2 ; _ _ 7/5 ; _ _ 17/12 ; _ _ 41/29 ; _ _ 99/70 ; _ _ 239/169 ; _ _ 577/408 ; _ _ 1393/985 ; _ _ 3363 / 2378 ; 8119/5741 ; _ _ 19601 / 13860 (uvedeno v pořadí podle zvyšující se přesnosti)
Pokračující zlomek	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots ))))))))))$

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 945284

Hodnota s prvním tisícem desetinných míst [1] .

{\sqrt {2}}

Druhá odmocnina z 2 je kladné reálné číslo , které po vynásobení samo sebou dává 2 . Označení: ${\sqrt {2}).$

Geometricky lze kořen 2 reprezentovat jako délku úhlopříčky čtverce se stranou 1 (vyplývá to z Pythagorovy věty ). Bylo to pravděpodobně první známé iracionální číslo v historii matematiky (tedy číslo, které nelze přesně vyjádřit jako zlomek ).

Dobrá a běžně používaná aproximace k je zlomek . Navzdory tomu, že čitatel a jmenovatel zlomku jsou pouze dvouciferná celá čísla, liší se od skutečné hodnoty o méně než 1/10000. ${\sqrt {2}}$ ${\tfrac {99}{70}}$

Historie

Babylonská hliněná tabulka (asi 1800-1600 př. n. l.) poskytuje nejpřesnější přiblížení , je- li zapsána čtyřmi šestinásobnými číslicemi, což je po zaokrouhlení 6 přesných desetinných číslic: ${\sqrt {2}}$

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1,41421(296) \,.

Další raná aproximace tohoto čísla ve starověkém indickém matematickém textu zvaném Šulba sútry (asi 800-200 př. n. l.) je uvedena takto:

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\cca 1,414215686\,.

Pythagorejci zjistili, že úhlopříčka čtverce je nesouměřitelná s jeho stranou, nebo v moderním jazyce, že druhá odmocnina ze dvou je iracionální číslo . O době a okolnostech tohoto výjimečného objevu je s jistotou známo jen málo, ale tradičně je jeho autorství připisováno Hippasovi z Metapontu , který byl podle různých verzí legendy za tento objev Pythagorejci buď zabit, nebo vypovězen, přičemž viní jeho za zničení hlavní pythagorejské doktríny, že „všechno je [přirozené] číslo“. Proto se odmocnina ze 2 někdy nazývá pythagorejská konstanta, protože to byli pythagorejci, kdo prokázal její iracionalitu, čímž objevili existenci iracionálních čísel .

Výpočtové algoritmy

Existuje mnoho algoritmů pro aproximaci hodnoty druhé odmocniny ze dvou s běžnými nebo desetinnými zlomky . Nejpopulárnějším algoritmem, který se používá v mnoha počítačích a kalkulačkách, je babylonská metoda pro výpočet odmocnin (zvláštní případ Newtonovy metody ). Skládá se z následujícího:

a_{{n+1}}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n)))){2}}={\frac {a_{n}}{2}} +{\frac {1}{a_{n}}}.

Čím více opakování v algoritmu (tedy čím více ), tím lepší je aproximace druhé odmocniny ze dvou. Každé opakování přibližně zdvojnásobí počet správných číslic. Několik prvních přiblížení, počínaje : $n$ $a_{0}=1$

${\frac {3}{2}}={\color {Green}1}{,}5$
${\frac {17}{12}}={\color {Green}1{,}41}6\ldots$
${\frac {577}{408}}={\color {Green}1{,}41421}5\ldots$
${\frac {665857}{470832}}={\color {Green}1{,}41421356237}46\ldots$

V roce 1997 Yasumasa Canada vypočítala hodnotu na 137 438 953 444 desetinných míst. V únoru 2007 byl překonán rekord, když Shigeru Kondo spočítal 200 miliard desetinných míst za 13 dní a 14 hodin pomocí 3,6 GHz procesoru a 16 GB RAM . ${\sqrt {2}}$

Mnemotechnické pravidlo

Chcete-li si zapamatovat hodnotu kořene dvou s osmi desetinnými místy (1,41421356), můžete použít následující text (počet písmen v každém slově odpovídá desetinné číslici): „A já mám ovoce, ale mají mnoho kořenů .“

Vlastnosti druhé odmocniny ze dvou

Polovina se přibližně rovná 0,70710 67811 86548; tato hodnota udává v geometrii a trigonometrii souřadnice jednotkového vektoru svírajícího se souřadnicovými osami úhel 45°: ${\sqrt {2}}$

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.

Jedna ze zajímavých vlastností je následující: ${\sqrt {2}}$

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

. protože

({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.

Toto je výsledek vlastnosti stříbrného řezu .

Další zajímavá nemovitost : ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))=2.

Druhá odmocnina ze dvou může být vyjádřena v imaginárních jednotkách i pomocí pouze odmocnin a aritmetických operací:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

Druhá odmocnina z 2 je jediné číslo jiné než 1, jehož nekonečná tetrace se rovná jeho druhé mocnině.

{\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^({\ \cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))) ) }=2

Odmocninu ze dvou lze také použít k aproximaci : $\pi$

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2)))))))))\to \pi \quad

m\to \infty .

Z hlediska vyšší algebry je kořenem polynomu a je tedy algebraickým celým číslem [2] . Množina čísel tvaru , kde jsou racionální čísla , tvoří algebraické pole . Označuje se a je podpolem oboru reálných čísel . ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2$ $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b$ ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$

Důkaz iracionality

Důkaz faktorizací

Aplikujme důkaz kontradikcí : řekněme, že je racionální , to znamená, že je reprezentován jako zlomek , kde je celé číslo a je přirozené číslo . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

Vzhledem k tomu, že prvočinitel obsahuje sudou mocninu a lichou mocninu, rovnost je nemožná. Původní předpoklad byl tedy chybný a jedná se o iracionální číslo. $m^{2}$ $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Pokračující zlomek

Druhá odmocnina ze dvou může být reprezentována jako pokračující zlomek :

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+ \ddots }}}}}}}}.

Konvergenty daného pokračování zlomku dávají přibližné hodnoty, které rychle konvergují k přesné odmocnině ze dvou. Způsob, jak je vypočítat, je jednoduchý: označíme-li předchozí vhodný zlomek , pak další má tvar . Míra konvergence je zde nižší než u babylonské metody, ale výpočty jsou mnohem jednodušší. Zapišme si několik prvních aproximací: ${\frac {m}{n}}$ ${\frac {m+2n}{m+n}}$

{\frac {3}{2));\ {\frac {7}{5));\ {\frac {17}{12));\ {\frac {41}{29));\ {\ frac {99}{70));\ {\frac {239}{169));\ {\frac {577}{408));\ {\frac {1393}{985));\ {\frac { 3363}{2378}}\tečky

Druhá mocnina posledního redukovaného zlomku je (zaokrouhlena) 2,000000177.

Velikost papíru

Druhá odmocnina ze dvou se používá v poměru stran ISO 216 řady A a B a ISO 217 řady C. Poměr stran je . Při řezání listu na polovinu rovnoběžně s jeho krátkou stranou se získají dva listy stejného poměru. To umožňuje číslovat velikosti papíru jedním číslem v sestupném pořadí podle plochy listu (počet řezů): A0, A1, A2, A3, A4 , ... a B0, B1, B2, B3 ... $1:{\sqrt {2}}$

Podobným způsobem (rozdělením listu na polovinu) se racionální přiblížení k odmocnině dvou (7/5) používá ve formátech fotografického papíru: 2R (2,5 × 3,5 palce), 3R (3,5 × 5 palců), 5R (5 × 7 ").

Viz také

Poznámky

↑ Druhá odmocnina ze dvou na 5 milionů číslic
↑ Nezaměňovat s celým číslem .

Literatura

Claudy Alsina. Sekta čísel. Pythagorova věta. - M. : De Agostini, 2014. - 152 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .

Odkazy

Pythagoras's Constant Archived 20. prosince 2018 na Wayback Machine .

Iracionální čísla
Apéryho konstanta ( ζ(3) ) Erdős-Borweinova konstanta ( E ) Feigenbaumovy konstanty Sofomorský sen Konstanta prvočísla (ρ) Plastové číslo (ρ) Logaritmus dvou (ln 2) 12. odmocnina z 2 ( 12 √ 2 ) Druhá odmocnina ze 2 ( √ 2 ) Druhá odmocnina ze 3 ( √ 3 ) Druhá odmocnina z 5 ( √5 ) Zlatý řez (φ) Super zlatý řez (ψ) Stříbrná sekce ( δS ) E π Gelfondova konstanta ( e π ) Gelfond-Schneiderova konstanta ( 2 √ 2 ) Inverzní Fibonacciho konstanta (ψ)
transcendentální Trigonometrický