Bodová kinematika

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. října 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

Kinematika bodu je část kinematiky , která studuje mechanický pohyb hmotných bodů .

Hlavním úkolem kinematiky je popis pohybu pomocí matematického aparátu bez rozboru příčin tohoto pohybu; jsou zvažovány dynamikou , zejména dynamikou bodu .

Vzhledem k tomu, že jakýkoli pohyb je relativní pojem a má obsah pouze tehdy, když je specifikováno, ke kterým tělesům se daný objekt relativně pohybuje, je pohyb jakéhokoli objektu v kinematice studován s ohledem na určitý referenční rámec , včetně:

referenční těleso;
systém pro měření polohy tělesa v prostoru ( souřadnicový systém );
přístroj na měření času ( hodiny ).

Poloha bodu je určena poloměrem vektoru , který plně popisuje jeho polohu ve vybrané vztažné soustavě. Nejvizuálnější reprezentaci vektoru poloměru lze získat v euklidovském souřadnicovém systému , protože základ v něm je pevný a společný pro jakoukoli polohu těla. ${\vec {r}}(t)$

Základní pojmy

Hmotný bod je těleso, jehož rozměry lze zanedbat ve srovnání s charakteristickými vzdálenostmi daného problému. Země tedy může být považována za hmotný bod (M.P.) při studiu jejího pohybu kolem Slunce, kulka může být považována za M.P., když se pohybuje v gravitačním poli Země, ale nemůže být za takovou považována, když její rotační pohyb v hlavni pušky se bere v úvahu. Pomocí translačního pohybu lze v řadě případů pomocí konceptu MT popsat i změnu polohy větších objektů. Takže například lokomotivu projíždějící vzdálenost 1 metru lze považovat za M.T., protože její orientace vůči souřadnicovému systému během pohybu je pevná a neovlivňuje formulaci a průběh řešení problému.

Vektor poloměru - vektor, který určuje polohu hmotného bodu v prostoru:. Zde jsou souřadnice vektoru poloměru. Geometricky znázorněno vektorem nakresleným od počátku k hmotnému bodu. Závislost vektoru poloměru (nebo jeho souřadnic) na časese nazývá zákon pohybu . ${\vec {r}}=\{r_{1},r_{2},...,r_{n}}\}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n))$ $r_{i}=r_{i}(t)$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$

Trajektorie - Hodograf vektoru poloměru, tj. - imaginární čára popsaná koncem vektoru poloměru v procesu pohybu. Jinými slovy, trajektorie je přímka, po které se hmotný bod pohybuje. V tomto případě působí pohybový zákon jako rovnice, která parametricky definuje trajektorii. Délka úseku trajektorie mezi počátečním a konečným okamžikem času se často nazývá ujetá vzdálenost, délka cesty nebo vulgárně - cesta a označuje se písmenem. S takovým popisem pohybuchová jako zobecněná souřadnice a zákony pohybu jsou v tomto případě zapsány ve tvarua jsou podobné odpovídajícím zákonům pro souřadnice. $S$ $S$ $S=S(t)$

Popis pohybu pomocí pojmu trajektorie je jedním z klíčových momentů klasické mechaniky . V kvantové mechanice má pohyb charakter bez trajektorie, což znamená, že samotný pojem trajektorie ztrácí svůj význam.

Základní kinematické veličiny

Posun je vektorová fyzikální veličina, která se rovná rozdílu mezi vektory poloměru v konečném a počátečním časovém okamžiku:

\Delta {\vec {r}}(t_{2},t_{1})={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1} )

Jinými slovy, posunutí je přírůstek vektoru poloměru za zvolené časové období.

Průměrná rychlost je vektorová fyzikální veličina rovna poměru vektoru posunutí k časovému intervalu, během kterého k tomuto pohybu dochází:

{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}

Průměrná pozemní rychlost je skalární fyzikální veličina rovna poměru modulu vektoru posunutí k časovému intervalu, během kterého k tomuto pohybu dochází, zpravidla má smysl při popisu pohybu pomocí : ${\vec {r}}(t_{2})={\vec {r}}(t_{1})$

{\vec {v}}_{cp\,S}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta |{\vec {r}}|}{\Delta t} }={\frac {|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}{t_{2}-t_{1}}}

Okamžitá rychlost je vektorová fyzikální veličina rovna první derivaci vektoru poloměru s ohledem na čas:

{\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}\equiv {\dot {\vec {r}}}(t)

Charakterizuje rychlost pohybu hmotného bodu. Okamžitá rychlost může být definována jako limit průměrné rychlosti, protože časový interval, ve kterém se počítá, má tendenci k nule:

{\vec {v}}(t_{1})=\lim _{t_{2}\rightarrow t_{1}}{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_ {2})=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}

Jednotkou rychlosti v soustavě SI je m/s , v soustavě CGS je to cm/s. Okamžitá rychlost je vždy směrována tečně k trajektorii.

Okamžité zrychlení je vektorová fyzikální veličina, která se rovná druhé derivaci vektoru poloměru v závislosti na čase, a tedy první derivaci okamžité rychlosti v závislosti na čase:

{\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r} }(t)}{dt^{2}}}

Charakterizuje rychlost změny rychlosti. Jednotkou zrychlení v soustavě SI je m/s², v soustavě CGS je to cm/s².

Popis v kartézských souřadnicích

Protože základní vektory ( ) v tomto souřadnicovém systému jsou ortonormální a nezávisí na čase, lze pohybový zákon zapsat následovně: ${\vec e}_{i}$

{\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t) {\vec {e}}_{z}

Bodová rychlost:

{\vec {v}}(t)={\tečka {x}}(t){\vec {e}}_{x}+{\tečka {y}}(t){\vec { e}}_{y}+{\dot {z}}(t){\vec {e}}_{z}={\vec {v}}_{x}+{\vec {v}}_ {y}+{\vec {v}}_{z}

Modul rychlosti najdete:

v={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}={\frac {ds}{dt}}

, kde je diferenciál trajektorie .

ds

Zrychlení je definováno podobným způsobem:

{\vec {a}}(t)={\ddot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\ddot {y}}{\vec {e}}_{y }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}

a={\sqrt {{\ddot {x}}^{2}+{\ddot {y}}^{2}+{\ddot {z}}^{2}}}

Jiné souřadnicové systémy

Poměrně často se ukazuje, že je výhodné používat nikoli kartézské, ale jiné souřadnicové systémy.

Polární souřadnice

Popis pohybu se provádí v rovině. Poloha bodu je určena vzdáleností od počátku a polárním úhlem , měřeným od nějaké pevné osy. Jako základ je zaveden jednotkový vektor , nasměrovaný od počátku k pohyblivému bodu, a jednotkový vektor kolmý k prvnímu ve směru rostoucího úhlu (tento směr se nazývá transversální). $r$ $\varphi$ ${\vec {e}}_{r}$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $\varphi$

Souvislost s kartézským systémem lze vyjádřit takto: [1] . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \ varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}} _{y}\end{pmatrix}}$

Časové derivace základních vektorů: ${\tečka {\vec {e}}}_{r}={\tečka {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi },\;{\tečka {\vec {e ))_{\varphi }=-{\tečka {\varphi }}{\vec {e}}_{r}$

Kde jsou pohybové rovnice:

{\vec {r}}(t)=r(t){\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}(t)={\tečka {r}}(t){\vec {e}}_{r}+r(t){\tečka {\varphi }}(t ){\vec {e}}_{\varphi }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ tečka {r}}{\tečka {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }

Válcové souřadnice

Ve válcovém souřadnicovém systému jsou problémy s osovou symetrií zjednodušeny .

Pro základ

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{z}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Pohybové rovnice

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}+z{\vec {e}}_{z}

{\vec {v}}={\tečka {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\tečka {z}}{\vec {e}}_{z}

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}]{\vec {e}}_{r}+[2{\ tečka {r}}{\tečka {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}]{\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e} }_{z}

Sférické souřadnice

Pro základ

{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{r}\\{\vec {e}}_{\varphi }\\{\vec {e}}_{\theta }\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec { e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}

Pohybové rovnice

{\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}

{\vec {v}}={\tečka {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\varphi }}\sin \theta {\vec {e}} _{\varphi }+r{\tečka {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }

{\vec {a}}=[{\ddot {r}}-r{\tečka {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\tečka {\theta } }^{2}]{\vec {e}}_{r}+[(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\tečka {\varphi }})\sin \ theta +2r{\tečka {\varphi }}{\tečka {\theta }}\cos \theta ]{\vec {e}}_{\varphi }+[2{\tečka {r}}{\tečka { \theta }}-r{\tečka {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +r{\ddot {\theta }}]{\vec {e}}_{\theta }

Přidružený základ

Při popisu v pohyblivém souřadném systému jsou uvažovány tři po sobě jdoucí body trajektorie . V limitu malosti dávají první dva tečnu k trajektorii, zatímco všechny tři dávají kružnici křivosti ležící v okamžité rovině pohybu (spojitá rovina). Základ se volí takto: ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3))$

{\vec {e}}_{\tau }={\vec {v}}/v

je jednotkový vektor tečna k trajektorii;

{\vec {e}}_{n}

je jednotkový vektor ležící v souvislé rovině, kolmé k vektoru a směřující ke konkávnosti trajektorie (podél hlavní normály);

{\vec {e}}_{\tau }

{\vec {e}}_{\beta }=[{\vec {e}}_{\tau }\times {\vec {e}}_{n}]

(binnormální vektor).

Zrychlení je tedy , kde , a , je okamžitý poloměr zakřivení . ${\vec {a}}(t)=a_{n}(t){\vec {e}}_{n}+a_{\tau }(t){\vec {e}}_{ \tau}$ ${\vec {a}}_{\tau }={\tečka {v}}$ ${\vec {a}}_{n}={\frac {v^{2}}{R_{k}}}$ $R_k$

V případě pohybu po kružnici se normální zrychlení nazývá dostředivé . Jak je patrné z předchozího vzorce, při pohybu po kružnici konstantní rychlostí je normálové zrychlení konstantní v absolutní hodnotě a směřuje ke středu kružnice.

Hodnota se nazývá tangenciální zrychlení a charakterizuje velikost změny modulu rychlosti: ${\displaystyle a_{\tau ))$

Galileovské transformace

V případě nerelativistických rychlostí (rychlosti mnohem nižší než rychlost světla ) se přechod z jedné IFR na druhou provádí pomocí Galileových transformací :

Pokud se IFR pohybuje vzhledem k IFR konstantní rychlostí podél osy a počátky se shodují v počátečním čase v obou systémech, pak mají Galileovy transformace tvar: $S'$ $S$ $u$ $X$

x'=x-ut,

y'=y,

z'=z,

t'=t

V případě libovolného směru souřadnicových os platí vektorová reprezentace Galileových transformací:

{\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,

t'=t

Pokud k pohybu dochází rychlostí srovnatelnou s rychlostí světla, měly by být použity Lorentzovy transformace .

Příklady pohybu

Jednotné přímočaré

V tomto případě , odkud následuje zákon pohybu . ${\vec {a}}=0$ ${\vec {v}}=const$ ${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t$

Rovnoměrně zrychlené přímočaré

Když je osa nasměrována podél linie posunutí, zákon rovnoměrně zrychleného pohybu se získá řešením nejjednodušší diferenciální rovnice ve tvaru: $X$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a=const

Dvojitá integrace v průběhu času vede ke vzorci:

x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {at^{2}}{2}}\;\Leftrightarrow \;x_{0}+v_{0}t+{\ frac {zavináč^{2}}{2}}

;

Zde jsou a jsou libovolné konstanty odpovídající počáteční souřadnici a počáteční rychlosti. $C_{1}$ $C_{2}$

Pokud je pohyb časově omezený a je známa konečná rychlost , platí výpočetní vzorec: $v_{k}$

S={\frac {v_{k}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}

Pohyb s konstantním zrychlením se nazývá rovnoměrně zrychlený . Jeho zákon pro libovolný směr os: ${\vec {a}}(t)=const$

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a} }t^{2}}{2}}

;

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t

V tomto případě mají pohybové rovnice v souřadnicovém tvaru podobný tvar:

x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}

;

v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t

V tomto případě se často mluví o rovnoměrně zrychleném pohybu , pokud se znaky a shodují, ao rovnoměrně zpomaleném pohybu , pokud a mají opačné znaky. V tomto případě závisí znaménko každé z veličin na počáteční volbě referenčního systému. ${\displaystyle a_{x))$ $v_{x}(t)$ ${\displaystyle a_{x))$ $v_{x}(t)$

Uniforma po obvodu

Je vhodné zvážit problém v doprovodném podkladu. Zrychlení bude mít tvar (centripetální zrychlení směřující do středu kruhu). Samotný pohyb lze uvažovat z hlediska úhlu kolem nějaké osy. Pro úhlovou rychlost : ${\vec {a}}={\frac {v^{2}}{R}}{\vec {e_{n}}}$ $\varphi$ ${\dot {\varphi }}=\omega ={\frac {v}{R}}$

\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t

a . Období pohybu: .

a_n = \omega^2 R

T={\frac {2\pi }{\omega }}

Bod hozený pod úhlem k horizontu

U těles pohybujících se nízkou rychlostí lze odpor vzduchu zanedbat. Nechť je bod v nulovém časovém okamžiku vržen rychlostí v úhlu k horizontu . Pro osu směřující svisle nahoru a osu směřující podél horizontu platí pohybové rovnice v průmětech na osu: $\vec v_0$ $\alpha$ $y$ $X$

{\begin{cases}a_{x}=0,\\a_{y}=-g;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}v_{x}=v_ {0}\cos \alpha ,\\v_{y}=v_{0}\sin \alpha -gt;\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}x=x_{0} +v_{0}\cos \alpha \cdot t,\\y=y_{0}+v_{0}\sin \alpha \cdot t-{\dfrac {gt^{2}}{2));\ end{cases}}

kde je zrychlení volného pádu .

G

Kde se získají zejména následující vzorce:

Pokud byl bod vyhozen ze země, pak doba pohybu bude , a bod dosáhne vrcholu trajektorie v . $t={\frac {2v_{0}\sin \alpha }{g}}$ $t{/2$

Délka letu v tomto případě , z čehož vyplývá, že maximálního dosahu letu při konstantní rychlosti je dosaženo při . Při zobecnění házení podél nakloněné roviny je maximální letové vzdálenosti dosaženo při házení podél ose mezi vertikálou a přímkou podél roviny vrhu. $L={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g))$ ${\displaystyle \alpha =45^{\circ ))$

Obecně řečeno, těleso může dorazit do stejného bodu po dvou trajektoriích: ploché a kloubové .

Rovnice trajektorie v uvažovaném zápisu je: , to znamená, že střela se pohybuje po parabole . $y=x\mathrm {tg} \,\alpha -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}x^{2}$

Případ bodového systému

Pro popis pohybu hmotného bodu je potřeba nastavit tři zobecněné souřadnice, které obecně řečeno závisí na vztažné soustavě, ale jejich počet zůstává nezměněn. Jinak můžeme říci, že počet stupňů volnosti bodu je tři. Počet stupňů však může být menší, pokud se například bod může pohybovat pouze po určité ploše nebo křivce . V tomto případě říkají, že na hmotný bod je uvaleno kinematické omezení . Počet stupňů volnosti z každé vazby se sníží o jeden. V obecném případě, pokud se systém skládá z hmotných bodů a jsou na ně uvaleny kinematické vazby , pak počet stupňů volnosti takového systému hmotných bodů je .

n

k

3n-k

Jestliže v systému jsou vzdálenosti mezi libovolnými dvěma body vždy konstantní, pak se takový systém nazývá absolutně tuhé těleso (viz Kinematika tuhého tělesa ). Popisem makroskopických soustav hmotných bodů s různou vzdáleností se zabývá kinematika spojitého prostředí .

Poznámky

↑ Maticové násobení

Literatura

Mechanika Strelkov S.P. Moskva: Nauka, 1975.
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanika. — 520 s.
Matveev A. N. Mechanika a teorie relativity. Moskva: Vyšší škola, 1986.
Khaikin S. E. Fyzikální základy mechaniky. Moskva: Nauka, 1971.