Kinematika bodu je část kinematiky , která studuje mechanický pohyb hmotných bodů .
Hlavním úkolem kinematiky je popis pohybu pomocí matematického aparátu bez rozboru příčin tohoto pohybu; jsou zvažovány dynamikou , zejména dynamikou bodu .
Vzhledem k tomu, že jakýkoli pohyb je relativní pojem a má obsah pouze tehdy, když je specifikováno, ke kterým tělesům se daný objekt relativně pohybuje, je pohyb jakéhokoli objektu v kinematice studován s ohledem na určitý referenční rámec , včetně:
Poloha bodu je určena poloměrem vektoru , který plně popisuje jeho polohu ve vybrané vztažné soustavě. Nejvizuálnější reprezentaci vektoru poloměru lze získat v euklidovském souřadnicovém systému , protože základ v něm je pevný a společný pro jakoukoli polohu těla.
Hmotný bod je těleso, jehož rozměry lze zanedbat ve srovnání s charakteristickými vzdálenostmi daného problému. Země tedy může být považována za hmotný bod (M.P.) při studiu jejího pohybu kolem Slunce, kulka může být považována za M.P., když se pohybuje v gravitačním poli Země, ale nemůže být za takovou považována, když její rotační pohyb v hlavni pušky se bere v úvahu. Pomocí translačního pohybu lze v řadě případů pomocí konceptu MT popsat i změnu polohy větších objektů. Takže například lokomotivu projíždějící vzdálenost 1 metru lze považovat za M.T., protože její orientace vůči souřadnicovému systému během pohybu je pevná a neovlivňuje formulaci a průběh řešení problému.
Vektor poloměru - vektor, který určuje polohu hmotného bodu v prostoru:. Zde jsou souřadnice vektoru poloměru. Geometricky znázorněno vektorem nakresleným od počátku k hmotnému bodu. Závislost vektoru poloměru (nebo jeho souřadnic) na časese nazývá zákon pohybu .
Trajektorie - Hodograf vektoru poloměru, tj. - imaginární čára popsaná koncem vektoru poloměru v procesu pohybu. Jinými slovy, trajektorie je přímka, po které se hmotný bod pohybuje. V tomto případě působí pohybový zákon jako rovnice, která parametricky definuje trajektorii. Délka úseku trajektorie mezi počátečním a konečným okamžikem času se často nazývá ujetá vzdálenost, délka cesty nebo vulgárně - cesta a označuje se písmenem. S takovým popisem pohybuchová jako zobecněná souřadnice a zákony pohybu jsou v tomto případě zapsány ve tvarua jsou podobné odpovídajícím zákonům pro souřadnice.
Popis pohybu pomocí pojmu trajektorie je jedním z klíčových momentů klasické mechaniky . V kvantové mechanice má pohyb charakter bez trajektorie, což znamená, že samotný pojem trajektorie ztrácí svůj význam.
Posun je vektorová fyzikální veličina, která se rovná rozdílu mezi vektory poloměru v konečném a počátečním časovém okamžiku:
.Jinými slovy, posunutí je přírůstek vektoru poloměru za zvolené časové období.
Průměrná rychlost je vektorová fyzikální veličina rovna poměru vektoru posunutí k časovému intervalu, během kterého k tomuto pohybu dochází:
.Průměrná pozemní rychlost je skalární fyzikální veličina rovna poměru modulu vektoru posunutí k časovému intervalu, během kterého k tomuto pohybu dochází, zpravidla má smysl při popisu pohybu pomocí :
.Okamžitá rychlost je vektorová fyzikální veličina rovna první derivaci vektoru poloměru s ohledem na čas:
.Charakterizuje rychlost pohybu hmotného bodu. Okamžitá rychlost může být definována jako limit průměrné rychlosti, protože časový interval, ve kterém se počítá, má tendenci k nule:
.Jednotkou rychlosti v soustavě SI je m/s , v soustavě CGS je to cm/s. Okamžitá rychlost je vždy směrována tečně k trajektorii.
Okamžité zrychlení je vektorová fyzikální veličina, která se rovná druhé derivaci vektoru poloměru v závislosti na čase, a tedy první derivaci okamžité rychlosti v závislosti na čase:
.Charakterizuje rychlost změny rychlosti. Jednotkou zrychlení v soustavě SI je m/s², v soustavě CGS je to cm/s².
Protože základní vektory ( ) v tomto souřadnicovém systému jsou ortonormální a nezávisí na čase, lze pohybový zákon zapsat následovně:
Bodová rychlost:
Modul rychlosti najdete:
, kde je diferenciál trajektorie .Zrychlení je definováno podobným způsobem:
,Poměrně často se ukazuje, že je výhodné používat nikoli kartézské, ale jiné souřadnicové systémy.
Popis pohybu se provádí v rovině. Poloha bodu je určena vzdáleností od počátku a polárním úhlem , měřeným od nějaké pevné osy. Jako základ je zaveden jednotkový vektor , nasměrovaný od počátku k pohyblivému bodu, a jednotkový vektor kolmý k prvnímu ve směru rostoucího úhlu (tento směr se nazývá transversální).
Souvislost s kartézským systémem lze vyjádřit takto: [1] .
Časové derivace základních vektorů:
Kde jsou pohybové rovnice:
.Ve válcovém souřadnicovém systému jsou problémy s osovou symetrií zjednodušeny .
Pro základ
Pohybové rovnice
.Pro základ
Pohybové rovnice
.Při popisu v pohyblivém souřadném systému jsou uvažovány tři po sobě jdoucí body trajektorie . V limitu malosti dávají první dva tečnu k trajektorii, zatímco všechny tři dávají kružnici křivosti ležící v okamžité rovině pohybu (spojitá rovina). Základ se volí takto:
je jednotkový vektor tečna k trajektorii; je jednotkový vektor ležící v souvislé rovině, kolmé k vektoru a směřující ke konkávnosti trajektorie (podél hlavní normály); (binnormální vektor).Zrychlení je tedy , kde , a , je okamžitý poloměr zakřivení .
V případě pohybu po kružnici se normální zrychlení nazývá dostředivé . Jak je patrné z předchozího vzorce, při pohybu po kružnici konstantní rychlostí je normálové zrychlení konstantní v absolutní hodnotě a směřuje ke středu kružnice.
Hodnota se nazývá tangenciální zrychlení a charakterizuje velikost změny modulu rychlosti:
V případě nerelativistických rychlostí (rychlosti mnohem nižší než rychlost světla ) se přechod z jedné IFR na druhou provádí pomocí Galileových transformací :
Pokud se IFR pohybuje vzhledem k IFR konstantní rychlostí podél osy a počátky se shodují v počátečním čase v obou systémech, pak mají Galileovy transformace tvar:
V případě libovolného směru souřadnicových os platí vektorová reprezentace Galileových transformací:
Pokud k pohybu dochází rychlostí srovnatelnou s rychlostí světla, měly by být použity Lorentzovy transformace .
V tomto případě , odkud následuje zákon pohybu .
Když je osa nasměrována podél linie posunutí, zákon rovnoměrně zrychleného pohybu se získá řešením nejjednodušší diferenciální rovnice ve tvaru:
Dvojitá integrace v průběhu času vede ke vzorci:
;Zde jsou a jsou libovolné konstanty odpovídající počáteční souřadnici a počáteční rychlosti.
Pokud je pohyb časově omezený a je známa konečná rychlost , platí výpočetní vzorec:
.Pohyb s konstantním zrychlením se nazývá rovnoměrně zrychlený . Jeho zákon pro libovolný směr os:
; .V tomto případě mají pohybové rovnice v souřadnicovém tvaru podobný tvar:
; .V tomto případě se často mluví o rovnoměrně zrychleném pohybu , pokud se znaky a shodují, ao rovnoměrně zpomaleném pohybu , pokud a mají opačné znaky. V tomto případě závisí znaménko každé z veličin na počáteční volbě referenčního systému.
Je vhodné zvážit problém v doprovodném podkladu. Zrychlení bude mít tvar (centripetální zrychlení směřující do středu kruhu). Samotný pohyb lze uvažovat z hlediska úhlu kolem nějaké osy. Pro úhlovou rychlost :
a . Období pohybu: .U těles pohybujících se nízkou rychlostí lze odpor vzduchu zanedbat. Nechť je bod v nulovém časovém okamžiku vržen rychlostí v úhlu k horizontu . Pro osu směřující svisle nahoru a osu směřující podél horizontu platí pohybové rovnice v průmětech na osu:
kde je zrychlení volného pádu .Kde se získají zejména následující vzorce:
Pokud byl bod vyhozen ze země, pak doba pohybu bude , a bod dosáhne vrcholu trajektorie v .
Délka letu v tomto případě , z čehož vyplývá, že maximálního dosahu letu při konstantní rychlosti je dosaženo při . Při zobecnění házení podél nakloněné roviny je maximální letové vzdálenosti dosaženo při házení podél ose mezi vertikálou a přímkou podél roviny vrhu.
Obecně řečeno, těleso může dorazit do stejného bodu po dvou trajektoriích: ploché a kloubové .
Rovnice trajektorie v uvažovaném zápisu je: , to znamená, že střela se pohybuje po parabole .