Krullův prsten

Krullův prstenec je komutativní prstenec s relativně dobrými vlastnostmi rozkladu . Poprvé je zkoumal Wolfgang Krull v roce 1931 [1] . Krullovy prsteny jsou vícerozměrné zobecnění Dedekindových prstenů : Dedekindův prsten je přesně Krullův prsten o rozměru nejvýše 1.

V tomto článku slovo „kruh“ znamená „komutativní kruh s jednotkou“.

Definice

Nechť být doménou integrity a být množinou všech prvočíselných ideálů výšky 1, tedy primárních ideálů, které neobsahují jiné nenulové primární ideály. je Krullův prsten právě tehdy, když: $A$ $P$ $A$ $A$

$A_{\mathfrak {p}}$ je diskrétní oceňovací kroužek pro všechny , ${\mathfrak {p}}\in P$
$A$ rovná se průsečíku těchto diskrétních oceňovacích kruhů (považovaných za dílčí kruhy podílového pole ). $A$
Jakýkoli nenulový prvek je obsažen nanejvýš v konečném počtu prvočísel o výšce 1. $A$

Vlastnosti

Krullův prstenec je faktoriál právě tehdy, když každý prvočíslo výšky 1 je hlavní [2] .

Dovolit být prsten Zariski (například Noetherian local ring ). Pokud je dokončení kruh Krull, pak je kruh Krull. [3] $A$ $\widehat {A}$ $A$

Příklady

Jakýkoli integrálně uzavřený noetherovský prstenec je Krullův prsten. Zejména prsteny Dedekind jsou prsteny Krull. Naopak, všechny Krullovy kruhy jsou integrálně uzavřené, takže pro Noetherian ring je vlastnost „být Krullovým kruhem“ ekvivalentní vlastnosti „být integrálně uzavřena“.
Jestliže je Krullův kruh, pak kruh polynomů a kruh formálních mocninných řad jsou Krullovy kruhy. $A$ $A[x]$ $A[[x]]$
Polynomiální kruh v nekonečně mnoha proměnných nad faktoriálním kruhem je příklad Krullova kruhu, který není noetherovský. Obecněji, všechny faktoriálové prsteny jsou Krullovy prsteny. $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ $R$
Dovolit být Noetherian doména s polem kvocientů a být konečným rozšířením . Pak je celý uzávěr Krullův prstenec (zvláštní případ Mori-Nagatovy věty) [4] . $A$ $K$ $L$ $K$ $A$ $L$

Třída dělitele skupina

Všechny ideály dělitele Krullova kruhu se rozkládají (jedinečně) na součin prvočíselných ideálů výšky 1, takže na grupu lze pohlížet jako na skupinu formálních lineárních kombinací (s celočíselnými koeficienty) prvočíselných ideálů výšky 1. Hlavní dělitelé tvoří podskupina , faktor nad touto skupinou se nazývá skupina třídy dělitele . Tato skupina je triviální právě tehdy, když je kruh faktoriální. $D(A)$ $D(A)$ $A$

Cartierův dělitel je lokálně hlavní dělitel. Cartierovi dělitelé tvoří podskupinu skupiny dělitelů . Všichni hlavní dělitelé jsou Cartierovy dělitele a faktor Cartierových dělitelů s ohledem na ně je Picard skupina invertibilních svazků na . $D(A)$ $Spec(A)$

Příklad: v kruhu má skupina třídy dělitel pořadí 2 (generovaný dělitelem ), zatímco skupina Picard je triviální. $k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ $y=z$

Poznámky

↑ Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie Archived 2013-01-06 . J. Reine Angew. Matematika. 167:160-196
↑ Krullův prsten - článek z Encyklopedie matematiky . V. I. Danilov
↑ Bourbaki , kapitola 7, č . 10, Tvrzení 16.
↑ Integrální uzávěr ideálů, prstenů a modulů, svazek 13

Literatura

Bourbaki N. Komutativní algebra. - M: Mir, 1971.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring , Encyklopedie matematiky, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hideyuki Matsumura , teorie komutativního prstence. Z japonštiny přeložil M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. - ISBN 0-521-25916-9 .
Samuel, Pierre. Přednášky o jedinečných faktorizačních doménách . Tata Institute of Fundamental Research Přednášky o matematice 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Staženo: 29. července 2013.