Definitivně vygenerovaný modul

Konečně generovaný modul nad asociativním prstencem je modul , který je generován konečným počtem jeho prvků. Například pro pravý modul to znamená, že existuje konečná množina prvků , takže jakýkoli prvek z může být reprezentován jako součet , kde jsou některé prvky kruhu . $M$ $A$ $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\v M$ $M$ $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\ldots +m_{n}a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\v A$ $A$

Mezi vlastnosti úzce související s konečně generovanými patří konečně reprezentované, konečně spojené a koherentní moduly. Na noetherském prstenci jsou všechny čtyři vlastnosti ekvivalentní.

Konečně generované moduly nad polem jsou přesně konečnorozměrné vektorové prostory.

Vlastnosti

Obraz konečně generovaného modulu pod homomorfismem je také konečně generován. Obecně platí, že submoduly finitně generovaného modulu nemusí být nutně generovány definitivně. Uvažujme například kruh R = Z [ x 1 , x 2 …] polynomů v nekonečném počtu proměnných. Tento prstenec je definitivně generován jako R - modul. Uvažujme jeho submodul (tj. ideální ) sestávající ze všech polynomů s nulovým koeficientem při konstantě. Pokud by tento modul měl konečnou generující množinu, pak by každý monočlen x i musel být obsažen v jednom z polynomů této množiny, což je nemožné.

Modul se nazývá Noetherian , pokud je některý z jeho submodulů definitivně generován. Modul nad noetherovským prstencem je navíc generován s konečnou platností tehdy a jen tehdy, je-li noetherovský.

Nechť 0 → M′ → M → M′′ → 0 je přesná posloupnost modulů. Pokud se zde M′ a M′′ generují konečně, pak se M generuje také konečně. Některá tvrzení jsou také pravdivá, částečně inverzní k tomuto. Jestliže M je generováno konečně a M'' je definitivně reprezentováno (toto je silnější podmínka než být generováno konečně, viz níže), pak M′ je generováno konečně.

V komutativní algebře existuje určitá souvislost mezi bytím finitely generovaným a celočíselnými prvky . O komutativní algebře A přes R se říká, že je konečně generována přes R , pokud existuje konečná množina jejích prvků tak, že A je nejmenší podkruh A obsahující R a tyto prvky. Toto je slabší podmínka než být konečně generován: například polynomiální algebra R [ x ] je konečně generovaná algebra, ale ne konečně generovaný modul. Následující prohlášení jsou ekvivalentní [1] :

A je konečně generovaný modul;
A je konečně generovaná algebra, která je celým rozšířením R .

Konečně prezentované, konečně propojené a koherentní moduly

Konečně generovaná vlastnost může být formulována následovně: konečně generovaný modul M je modul, pro který existuje epimorfismus

f : R k → M .

Zvažte nyní epimorfismus

φ: F → M

z volného modulu F na M .

Pokud je jádro epimorfismu φ generováno konečně, M se nazývá konečně připojený modul . Protože M je izomorfní k F /ker(φ), lze tuto vlastnost vyjádřit následovně: M získáme z volného modulu přidáním konečného počtu relací .
Pokud je jádro epimorfismu φ generováno konečně a hodnost F je konečná, pak M se nazývá konečně prezentovaný modul . Zde má M konečný počet generátorů (obrázky generátorů F ) a konečný počet vztahů (generátory ker(φ)).
Koherentní modul je konečně generovaný modul, jehož všechny konečně generované submoduly jsou konečně reprezentovány.

Pokud je zemnící kruh R Noetherian , všechny čtyři podmínky jsou ekvivalentní.

I když se podmínka koherence zdá „těžkopádnější“ než podmínky konečně připojené a reprezentované, je také zajímavá, protože kategorie koherentních modulů je abelovská , na rozdíl od kategorie konečně generovaných nebo konečně prezentovaných modulů.

Viz také

Poznámky

↑ Kaplansky, 1970 , Věta 17, str. jedenáct.

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - M .: Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Bourbaki, Nicolas. . Komutativní algebra. Kapitoly 1-7. Přeloženo z francouzštiny. Dotisk anglického překladu z roku 1989. - Berlín: Springer-Verlag, 1998. - xxiv + 625 s. - (Základy matematiky). — ISBN 3-540-64239-0 .
Kaplanský, Irving. . komutativní kroužky. - Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. - x + 180 str.
Lam T.Y. Přednášky o modulech a kroužcích. - Springer-Verlag, 1999. - (Absolventské texty z matematiky. č. 189). — ISBN 978-0-387-98428-5 .
Lang, Serge. . Algebra. 3. vyd. - Addison-Wesley , 1997. - ISBN 978-0-201-55540-0 .