Korelační funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. září 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Korelační funkce - funkce časových a prostorových souřadnic , která nastavuje korelaci v systémech s náhodnými procesy.

Definice

Časově závislá korelace dvou náhodných funkcí a je definována jako: $X(t)$ $Y(t)$

$C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle$

kde lomené závorky označují postup průměrování.

Pokud je korelační funkce vypočtena pro stejný proces, nazývá se autokorelace :

$C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle$ .

Podobně můžeme vypočítat korelační funkci pro procesy probíhající v různých bodech prostoru v různých časech:

$C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\ prvočíslo },\mathbf {r} ^{\prvočíslo })\rangle$ .

Korelační funkce jsou široce používány ve statistické fyzice a dalších disciplínách, které studují náhodné (stochastické) procesy .

Korelační funkce ve statistické fyzice

Ve statistické fyzice korelační funkce popisuje , jak mikroskopické proměnné (jako jsou rychlosti atomů ) souvisejí v různých bodech prostoru v různých časech. Nejobecnější definice je následující:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{ 2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

kde jsou funkce, jejichž korelace chceme studovat, lomené závorky znamenají průměrování přes statistický soubor (například přes kanonický ). $f_{1},f_{2}$

Simultánní korelační funkce

Pokud nás zajímá, zda se mikroskopické proměnné mění korelovaným způsobem ve stejném časovém bodě v různých bodech prostoru , můžeme uvažovat funkce ve stejném časovém bodě, pak jejich korelační funkce bude zapsána jako: $f_{1},f_{2}$

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\ vlevo(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\vpravo)\vpravo\rangle$

taková korelační funkce se nazývá simultánní .

Podobně lze zavést současnou korelační funkci pro případ, kdy neexistují dvě funkce, ale s částí: $f_{1},f_{2}$

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\tečky ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1 }\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\tečky f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Prostorové korelační funkce

Někdy je nutné zvážit časový vývoj mikroskopických proměnných. K tomu se používá funkce prostorové korelace :

$G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\ mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

Zároveň je důležité pochopit, že i přesto, že v rovnováze některé makroskopické proměnné nezávisí na čase, mikroskopické proměnné (jako je například vektor rychlosti částice) mohou záviset na čase, a proto takové korelační funkce, které jsou v podstatě makroskopické veličiny, mohou také záviset na čase.

Příklady

Jedním příkladem korelačních funkcí je radiální distribuční funkce .

Magnetismus

Dalším klasickým příkladem korelačních funkcí je ten v systému spinů , kde popisuje jejich skalární součin zprůměrovaný přes soubor :

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \vpravo)\vpravo\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \vpravo)\vpravo\rozsah$ kde S je rotace částice, závorky označují průměrování souboru .

I v paramagnetické fázi jsou spiny korelované, protože pokud je vzdálenost mezi nimi malá, dochází mezi spiny k interakci, která vede k tomu, že spiny jsou korelované, ale jejich dalšímu řazení brání tepelný pohyb . Proto se ukazuje, že korelace mezi spiny klesají exponenciálně s rostoucí vzdáleností mezi nimi:

$G\left(\mathbf {r} \right)\cca {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta ))}\exp \left({\frac {-\ mathbf {r} }{\xi }}\right))$

kde je vzdálenost mezi rotacemi, d je rozměr , je tzv. kritický index . Jak teplota klesá, tepelný pohyb slábne a korelační poloměr má tendenci k nekonečnu: $\mathbf {r}$ $\eta$ $\xi$

${\displaystyle \xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu ))$

kde je další kritický index , je Curieova teplota . $\nu$ $T_{c}$

V důsledku tohoto vzorce dochází v takových systémech k fázovému přechodu druhého řádu .

Funkce korelační hustoty počtu částic řádu s

Zejména jako příklad můžeme uvažovat korelační funkci hustoty počtu částic řádu s - jedná se o funkci tvaru

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\tečky ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\klobouček {n}}\levý(\mathbf {r} _{1}\vpravo)\tečky {\klobouček {n}}\vlevo (\mathbf {r} _{s}\vpravo)\pravý\rangle$

kde je hodnota

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

se nazývá mikroskopická hustota počtu částic v tom smyslu, že integrací přes určitý objem V zjistíme počet částic v něm:

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

V případě s = 2 se korelační funkce hustoty počtu částic nazývá párová funkce.

Souvislá korelační funkce hustoty počtu částic

Je také zaveden koncept spojené korelační funkce hustoty počtu částic : jedná se o takovou korelační funkci, která má tendenci k 0, pokud jsou částice rozděleny do 2 skupin a pak vzdálenost oddělující tyto skupiny má tendenci k nekonečnu. Výraz "připojený" znamená, že diagramové rozšíření pro takovou korelační funkci obsahuje pouze spojené diagramy. $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\tečky \mathbf {r} _{i_{l}}\right)$ $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\tečky \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s$

Existuje tzv. princip oslabení korelací : mnohočásticové distribuční funkce klasického systému se rozpadají na součiny mnohočásticových distribučních funkcí s menším počtem argumentů s nekonečným nárůstem rozdílů odpovídajících argumentů [1] , z nichž, zejména z toho vyplývá:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right) }\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Proto můžeme napsat následující výraz pro dvoučásticově spojenou korelační funkci hustoty počtu částic:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2 \right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _ {1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)$

Související korelační funkce hustoty vyššího řádu počtu částic jsou zavedeny podobně:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)= G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+ G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\ vpravo)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r } _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^ {\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right) G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Generování funkční

Pro korelační funkce hustoty počtu částic lze sestrojit generující funkcionál :

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n))\left(\mathbf {r} \right )\mathrm {d} \mathbf {r} } \right\rangle$

Poté je zavedena korelační funkce hustoty jako variační derivace generujícího funkcionálu:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1)) ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\ delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\tečky \delta a\left(\mathbf {r_{s)) \ vpravo)}}\right|_{a=0}$

Podobně lze zavést spojenou korelační funkci:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\tečky ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{101} \frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\tečky \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

kde

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Fyzický význam

Korelační funkce je mírou uspořádanosti systému. Ukazuje, jak mikroskopické proměnné korelují v průměru v různých okamžicích v různých okamžicích.

Fyzikální význam korelační funkce hustoty počtu částic je ten, že ukazuje hustotu pravděpodobnosti relativního uspořádání s částic. Vznik korelací je způsoben přítomností interakce mezi částicemi, díky které vzniká řád krátkého dosahu .

Je důležité si uvědomit, že platí následující vztah:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta { \hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

kde je fluktuace hustoty . Souvislá korelační funkce hustoty počtu částic tedy popisuje kolísání hustoty pravděpodobnosti vzájemné polohy částic. $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\klobouk {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$

Kromě toho lze korelační funkce v nejobecnější podobě použít k nalezení dalších fluktuací, jako jsou fluktuace počtu částic a teploty.

Korelační funkce v kvantové teorii pole

V kvantové teorii pole je definice n-bodové korelační funkce zavedena prostřednictvím součinu n chronologicky uspořádaných polí : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D))\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}} \phi \;Te^{-S[\phi ]))))$

kde — operátor chronologického řazení , — akce . $T$ $S$

Korelační funkce je také často označována jednoduše jako korelátor .

Korelační funkce ve fyzice vysokých energií

Ve fyzice vysokých energií je korelační funkce mírou korelace mezi některými pozorovatelnými veličinami . Při studiu srážek hadron -hadron (například proton -proton nebo jádro-nukleární ) je analýza korelací mezi různými pozorovatelnými veličinami, například mezi příčnou hybností nebo multiplicitami sekundárních částic produkovaných v důsledku srážky. široce používaný.

Při studiu takových procesů je obvyklé používat proměnné, jako je rychlost nebo pseudorychlost . Obvykle jsou v prostoru rychlosti uvažovány dva intervaly (nazývané okna ), které se nacházejí na opačných stranách bodu srážky srážejících se paprsků částic v urychlovači , proto korelace , které v tomto případě vznikají mezi pozorovanými veličinami, které jsou funkcemi rychlost (nebo pseudorychlost ) se často nazývá „dopředně-zpětné korelace“.

Pro jednoznačnost uvažujme tzv. "multiplicity-multiplicity corelations", kde multiplicita je funkce, která udává počet částic s rychlostí patřící do nějakého daného intervalu. V tomto případě je korelační funkce zavedena jako závislost střední multiplicity v jednom (obvykle pravém) intervalu rychlosti na multiplicitě v jiném intervalu. V případě lineární korelační funkce pro ni máme následující výraz:

${\displaystyle {\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b))$

Tento předpoklad je zcela v souladu s experimentálními daty získanými na různých urychlovačích částic , včetně SPS a Fermilab.Hodnota b z výše uvedeného vzorce se nazývá korelační koeficient s dlouhým dosahem. V důsledku výše uvedeného vzorce lze získat následující vzorec pro korelační koeficient:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Takto zjištěný korelační koeficient umožňuje studovat fyziku jevů vyskytujících se při srážkách hadronů . Zejména rozdíl korelačního koeficientu od nuly může znamenat, že studované veličiny (v tomto případě násobky v předním a zadním okně) spolu nějak souvisí, ale výsledné závislosti nemusí mít nutně příčinné vztahy .

Odhad korelačních funkcí a jejich vlastností

Posouzení vstupních akcí ACS nezbytných pro výpočet korelačních funkcí se provádí experimentálně pozorováním jejich realizace po dlouhou dobu T a výpočtem podle následujícího vzorce: $r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$

Literatura

Kopec. T. Statistická mechanika, M., 1960
Cooney F. M. Statistická fyzika a termodynamika, M.: Nauka, 1981
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V., Kvantová pole, 2. vyd., M., 1993
A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzjalošinskij. Metody kvantové teorie pole ve statistické fyzice., M., Fizmatgiz, 1962
Fyzická encyklopedie (ed. Prochorov)
Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Metody statistické fyziky, M: Nauka, 1977

Viz také

Korelace

Velký hadronový urychlovač

Poznámky

↑ Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Metody statistické fyziky, M: Nauka, 1977 - s. 111