Vznik hvězdicového tvaru je proces rozpínání mnohoúhelníku (v prostoru dimenze 2), nebo mnohostěnu v prostorech dimenze 3 a vyšších, za vzniku nového obrazce.
Počínaje počáteční figurou proces rozšiřuje některé prvky, jako jsou hrany a (2D) plochy, přičemž obecně zachovává symetrii, dokud se nesetkají a nevytvoří uzavřené hranice nové figury. Nový tvar se nazývá hvězdicový tvar původního tvaru.
V roce 1619 Kepler definoval tvorbu hvězd mnohoúhelníků a mnohostěnů jako proces šíření hran nebo ploch, dokud se neprotnou a vytvoří nový mnohoúhelník nebo mnohostěn.
Sestrojil hvězdice pravidelného dvanáctistěnu a získal dva pravidelné hvězdicové mnohostěny, malý hvězdicový dvanáctistěn a velký hvězdicový dvanáctistěn .
Postavil také hvězdicové formy pravidelného osmistěnu a získal hvězdicový osmistěn , pravidelnou směs dvou čtyřstěnů (Kepler mu dal latinské jméno stella octangula ).
Při vytváření hvězdicového tvaru pravidelného mnohoúhelníku se získá pravidelný hvězdný mnohoúhelník nebo složenina pravidelných mnohoúhelníků. Tyto mnohoúhelníky jsou definovány číslem m , což je počet, kolikrát ohraničení obtéká střed tvaru. Jako u všech pravidelných mnohoúhelníků leží vrcholy tvarů hvězd na kružnici. Číslo m odpovídá počtu vrcholů, které je třeba projít po kružnici, abychom se dostali z jednoho okrajového vrcholu do druhého (počínaje od 1).
Pravidelný stelovaný mnohoúhelník je reprezentován Schläfliho symbolem { n/m }, kde n je počet vrcholů a m je rozteč použitá ke spojení vrcholů, m a n jsou coprime (to znamená, že nemají společného dělitele ). ). Pokud vezmeme m = 1, dostaneme konvexní mnohoúhelník { n }.
Pokud n a m mají společného dělitele, dostaneme složeninu pravidelných mnohoúhelníků. Například {6/2} je složenina dvou trojúhelníků {3} nebo hexagramu a {10/4} je složenina dvou pentagramů {5/2}.
Někteří autoři používají pro takové sloučeniny symbol Schläfli. Jiní dávají přednost použití symbolu představujícího jednu cestu, která m krát obtéká n/m vrcholů, takže jedna hrana překrývá druhou a každý vrchol je navštíven m krát. V tomto případě lze upravený symbol použít ke spojení například 2{3} pro hexagram a 2{5/2} pro spojení dvou běžných pentagramů.
Pravidelný n -úhelník má ( n -4)/2 tvary hvězd, je-li n sudé, a ( n -3)/2 tvary hvězd, je-li n liché.
Pentagram , {5/2}, je jediný pětiúhelník ve tvaru hvězdy |
Hexagram {6/2} je šestiúhelník ve tvaru hvězdy a složený ze dvou trojúhelníků. |
Pětiúhelník {9} má 3 formy enneagramu : {9/2}, {9/3}, {9/4}, kde {9/3} je složenina 3 trojúhelníků. |
|
| ||
Stejně jako sedmiúhelník má také osmiúhelník dva oktagramové hvězdné tvary, jeden, {8/3}, je hvězdný mnohoúhelník a druhý, {8/2}, je složen ze dvou čtverců .
Hvězdicový tvar mnohostěnu vzniká prodloužením hran a ploch, dokud se neprotnou a vytvoří nový mnohostěn nebo spojení. Vnitřek nového mnohostěnu je svými plochami rozdělen na určitý počet buněk. Ploché plochy mnohostěnu mohou rozdělit prostor na velké množství takových buněk a pokračující proces expanze může zachytit více buněk. U symetrických mnohostěnů se tyto buňky rozpadají na skupiny (sady) kongruentních buněk. Říkáme, že buňky v takových kongruentních množinách jsou stejného typu. Běžnou metodou hledání tvarů hvězd je výběr jednoho nebo více typů buněk.
Tento přístup může vést k obrovskému počtu možných tvarů, proto se ke snížení počtu těchto tvarů hvězd používají další kritéria.
Soubor buněk, které tvoří uzavřenou úroveň kolem jádra, se nazývá obal (vrstva). U symetrických mnohostěnů může plášť sestávat z jednoho nebo více druhů buněk.
Na základě této myšlenky lze uvažovat o některých omezujících kategoriích.
Můžeme definovat některé další kategorie:
Archimedova tělesa a jejich duály mohou být také zmenšeny do tvaru hvězdy. Obvykle se v tomto případě přidává pravidlo, že na konstrukci formy se musí podílet všechny původní roviny tváří, to znamená, že částečně stelované formy nejsou povoleny. Například krychle se obvykle nepovažuje za hvězdu kuboktaedru .
Zobecněním Millerových pravidel dostaneme:
Sedmnáct nekonvexních uniformních mnohostěnů jsou hvězdicové formy Archimedových těles.
V The fifty nine icosahedra Miller navrhl soubor pravidel pro určení, které stellace by měly být považovány za „dostatečně významné a odlišné“.
Tato pravidla byla upravena pro získání tvarů hvězd pro jakýkoli mnohostěn. Pomocí Millerových pravidel zjistíme:
Mnoho „Millerových stelací“ nelze získat přímo pomocí Keplerovy metody. Mnohé mají například prázdné středy, kde zcela chybí plochy a hrany původního mnohostěnu – není z čeho vycházet. Na druhou stranu Keplerova metoda vytváří stelace zcela zakázané Millerovými pravidly, protože jejich buňky jsou spojeny vrcholy nebo hranami, i když jejich plochy jsou jednoduché polygony. Toto rozlišení nevzbudilo explicitní pozornost až do Inchbaldova článku [1] .
Millerova pravidla neimplikují žádné "správné" způsoby číslování stelací. Pravidla jsou založena na kombinování částí v rámci hvězdicového diagramu určitým způsobem a neberou v úvahu topologii výsledných ploch. V důsledku toho existují dobře podložené stelace dvacetistěnu, které nejsou zahrnuty v Coxeterově seznamu. Jeden polyhedron objevil James Bridge v roce 1974 [2] . Na druhou stranu se nabízí otázka, zda některé z „Millerových stelací“ jsou vůbec stelacemi – jedna z forem zahrnuje nějaké zcela oddělené buňky vznášející se symetricky v prostoru.
Alternativní soubor pravidel, který akceptuje všechny tyto body, ještě nebyl plně vyvinut. Největšího pokroku bylo dosaženo, když bylo pozorováno, že tvorba hvězd je opačným (duálním) procesem k fasetování , ve kterém jsou části odstraněny z mnohostěnu bez vytvoření nových vrcholů. Pro jakoukoli stelaci nějakého mnohostěnu existuje duální fasetování duálního mnohostěnu a naopak. Studiem faset duálního mnohostěnu získáme pochopení tvarů hvězd původního mnohostěnu. Bridge našel svůj hvězdicový dvacetistěn studiem řezů svého duálního dvanáctistěnu.
Někteří matematici, kteří studují mnohostěny, berou v úvahu, že tvorba tvarů hvězd je obousměrný proces, takže jakékoli dva mnohostěny, které mají stejnou sadu rovin tváře, jsou navzájem hvězdnými tvary. Takové porozumění je přijatelné, pokud člověk vyvíjí obecný algoritmus pro počítačový program, ale v jiných případech je málo užitečný.
Mnoho příkladů tvarů hvězd najdete v článku Seznam modelů Wenningerových mnohostěnů .
Proces stelace lze také aplikovat na mnohostěny ve vyšších dimenzích prostorů. Hvězdný diagram n-rozměrného mnohostěnu je umístěn na (n-1)-rozměrné nadrovině dané fasety (plocha, která má rozměr o 1 menší než rozměr prostoru).
Například ve 4-rozměrném prostoru je velká velká stellated 120-cell konečným stádiem ve vytváření stelací čtyřrozměrné pravidelné 120 -buňky .
První pokus o systematické pojmenování pravidelných stelovaných mnohostěnů provedl Cayley (nyní známý jako Kepler-Poinsot pevné látky ). Tento systém byl široce, ale ne vždy konzistentně, přizpůsoben jiným mnohostěnům ve 3D i mimo něj.
Conway vyvinul terminologii pro hvězdné mnohoúhelníky , 3-rozměrné a 4-rozměrné mnohostěny [3] .
Wenninger si všiml, že některé mnohostěny, jako například krychle, nemají tvar hvězdy. Buňky pro tvorbu hvězdných tvarů však mohou být postaveny jako hranoly, které jdou do nekonečna. Obrazce, které obsahují takové hranoly, jsou semipolyedry. Podle většiny definic mnohostěnů tyto stelace nejsou, přísně vzato, mnohostěny.
O Magnusovi Wenningerovi se v souvislosti se spojením matematiky a umění vedle jeho přínosu pro matematiku píše jako o člověku, který vytvořil „obzvláště krásné“ modely složitých hvězdicovitých mnohostěnů [4].
Italský renesanční umělec Paolo Uccello vytvořil mozaikovou podlahu zobrazující malý hvězdicový dvanáctistěn v bazilice svatého Marka v Benátkách (kolem roku 1430). Tento obrázek Uccella byl použit jako symbol Benátského bienále v roce 1986 (téma je „Umění a věda“ [5] ) Stejný tvar hvězdy je středem dvou litografií od Eschera - Contrast (Řád a chaos) , 1950 a Gravitace , 1952 [6] .