Dirichlet znamení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. listopadu 2018; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Dirichletův test je teorém indikující dostatečné podmínky pro konvergenci nevlastních integrálů a sčítatelnost nekonečných řad . Pojmenován po německém matematikovi Lejeune Dirichletovi .

Dirichletův test konvergence nevlastních integrálů

Zvažte funkce a definované na intervalu , , a mající singularitu (prvního nebo druhého druhu) v bodě. Ať jsou splněny následující podmínky: $F$ $G$ $[A; b)$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $b$

integrál s horní proměnnou mez je definován pro všechny a omezen na ; $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $x\in[a; b)$ $[A; b)$
funkce je monotónní na a . $g(x)$ $[A; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Poté konverguje. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Důkaz

Uvažujme integrál pro některé (bez ztráty obecnosti budeme předpokládat ). Protože je monotónní na , je na ní integrovatelný, a tudíž integrovatelný na jako produkt integrovatelných funkcí. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2))$ $g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$ $f(t)g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$

$f(t)$ — integrovatelný, — monotónní. Podmínky druhé věty o střední hodnotě jsou splněny a existuje bod takový, že $g(t)$ $\xi \in [x_{1};x_{2}]$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

Funkce je omezena na , což znamená, že existuje taková, že , . Pak: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ $[a;b)$ $M\geq 0$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g( x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\vpravo|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motoricky inklinuje k nule, proto je na jedné straně omezená a na druhé straně . Pak a $g(a)$ $0$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

$g(x)\to 0$ , což z definice znamená

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Potom ( vezměte méně než nebo rovno ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

což není nic jiného než Cauchyho kritérium pro konvergenci nevlastního integrálu.

Znak lze formulovat i pro případ, kdy je singularita v bodě . Nechat , a být definován na . V tomto případě jsou podmínky upraveny takto: $A$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \))$ $b\in \mathbb {R}$ $F$ $(a;b]$

integrál s dolní proměnnou mez je definován pro všechny a omezen na ; $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ $x \in (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ je monotónní na a . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Poté konverguje. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

To také není nutné . Pokud , pak je konvergence ekvivalentní konvergenci . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Pokud integrál splňuje podmínky Dirichletova kritéria, platí pro jeho zbytek následující odhad:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi ) |

Zde je libovolné číslo z intervalu a je to číslo, kterým je ohraničen integrál s horní limitou proměnné. Pomocí tohoto odhadu lze aproximovat hodnotu nevlastního integrálu vlastním integrálem s jakoukoli předem stanovenou přesností. $\xi$ $M$

Dirichletovo kritérium pro konvergenci řad abelovského typu

Definice (typová řada Abel)

Série , kde a posloupnost je pozitivní a monotónní (začínající od určitého místa, alespoň v nejširším slova smyslu), se nazývá řada Abelova typu . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\left|\součet _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{a_{n}\}$

Věta (Dirichletův test pro konvergenci řad Abelova typu)

Ať jsou splněny následující podmínky:

Posloupnost dílčích součtů je omezená, tedy . $B_{n}=\součet _{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Poté řada konverguje. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Dirichletův test pro konvergenci Abelovských řad je obdobou Dirichletova testu pro konvergenci nevlastního integrálu prvního druhu.
Je snadné vidět, že Leibnizovo kritérium pro konvergenci střídavých řad je speciálním případem této věty, a to:

\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

konvergence Leibnizovy řady na základě Dirichletova testu.

Odhad zbytku řady abelovského typu
Uvažujme řadu a nechme být splněny podmínky Dirichletova kritéria. Poté se provede následující odhad: . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\left|\součet _{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$
Důkaz Dirichletova kritéria vyplývá z Abelovy transformace .

Dirichletovo kritérium pro rovnoměrnou konvergenci nevlastního integrálu s parametrem

Nechť je funkce a definována na množině , , a předpokládá se, že integrál pro některé body má v bodě singularitu . Ať jsou splněny následující podmínky: $F$ $G$ $[a;b)\times Y$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ $y\v Y$ $b$

integrál s horní proměnnou mez je definován pro všechny a rovnoměrně ohraničený ; $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ $x\in[a; b)$ $y\v Y$ $[a;b)\times Y$
funkce je monotónní pro každý beton a pro . $g(x,y)$ $X$ $[A; b)$ $y\v Y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ $x\to b-$

Poté konverguje rovnoměrně. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Důkaz

Důkaz je téměř totožný s případem integrálu bez parametru. Opravujeme a dále uvažujeme funkce a jako funkce jedné proměnné . Pro ně děláme vše stejně jako v důkazu pro integrály bez parametru, až na to, že bereme totéž pro všechny (to lze provést úplnou omezeností). Přijď k $y\v Y$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ $X$ $M$ $y\v Y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

$g(x,y)$ směřuje rovnoměrně k nule. Napíšeme definici jednotné konvergence:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Pak $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepsilon

Dospěli jsme ke Cauchyho kritériu pro rovnoměrnou konvergenci nevlastního integrálu s parametrem.

Viz také

Abelův znak

Literatura

A. K. Boyarchuk "Funkce komplexní proměnné: teorie a praxe" Referenční kniha o vyšší matematice. T.4 M.: Editorial URSS, 2001. - 352s.

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče