Jametovo znamení

Znak Jamet je znakem konvergence číselných řad s kladnými členy, které zavedl Victor Jamet [1] .

Formulace

Řada konverguje, pokud platí následující nerovnost: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

kde . $\delta>0$

Jestliže , pro , pak se řada rozchází. $J_{n}\leqslant 1$ $n>N$

důkaz [2]

1. Nechť je pro řadu splněna následující podmínka: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1

Převedeme tuto nerovnost do tvaru:

0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}

Protože je vždy možné najít dostatečně velký takový, aby: $n>N$

1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0

pak můžeme přejít k výrazu:

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n))\right)\right)

Aplikováním rozšíření funkce v Maclaurinově řadě se zbytkovým členem v Peanově tvaru dostaneme: $\ln(1-x)$

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n))+o\left ({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)

Odeberme první člen pod exponentem:

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta ))}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)) +o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)

Nyní zde aplikujeme rozšíření Maclaurinovy řady pro funkci : $e^{x}$

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 ))))+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^({\delta +1))))\vpravo)$

Zanedbáme nekonečně malé a vezmeme-li v úvahu , že získáme: $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^({\delta +1))))\geqslant 0$

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 }}}}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}

To druhé podle srovnávacího kritéria znamená, že uvažovaná řada konverguje a diverguje současně s řadou ( Dirichletova řada ), která konverguje v a diverguje v . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n^{\delta }}}$ $\delta>1$ $\delta \leqslant 1$

2. Nechť je pro řadu splněna následující podmínka: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1

Převedeme tuto nerovnost do tvaru:

a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\vpravo)\vpravo)

Dvojitým použitím rozšíření Maclaurinovy řady se zbytkem ve tvaru Peano dostaneme:

a_{n}\geqslant {\frac 1{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2} n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac 1{n}}\right)

To znamená, že podle srovnávacího testu daná řada diverguje, protože řada ( harmonická řada ) diverguje. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac 1{n}}$

Formulace v limitní formě

Pokud existuje limit:

J=\lim _{{n\to \infty }}J_{n}

pak pro , řada konverguje a pro , diverguje. $J>1$ $J<1$

Zobecnění [3]

Nechť jsou tři pozitivně definitní funkce uvedeny na: , a a jsou neomezeně rostoucí a jsou pro ně splněny následující podmínky: $\mathbb {N}$ $\varphi(n),g(n),f(n)$ $\varphi (n)$ $f(n)$

$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$ .

Pak, pokud pro řadu , pro , platí následující nerovnost: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\geqslant p>{\ frac 1{q}}

, pak řada konverguje.

Pokud pro řadu , pro platí následující nerovnost: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\leqslant p<{\ frac 1{q}}

, pak se řada rozchází.

Poznámky

↑ V. Jamet. Chyba: parametr není nastaven |заглавие=v šabloně {{ publikace }} // Mathesis. - 1892. - S. 80.
↑ číslo
↑ A. V. Antonova Doplněk k Jametově znamení

Literatura

BP Demidovich Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, str. 254.

Znaky konvergence řad
Pro všechny řádky	Nutná podmínka Cauchyho kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pro znaménko-pozitivní řady	Hlavní kritérium Srovnávací znamení Kummer znamení Gaussův znak Cauchyho radikální znamení Integrální funkce Znamení D'Alemberta mocenský znak logaritmické znamení Znamení Raabe Bertrandův znak Jametovo znamení Znamení Schlömilch Znamení Ermakova Znamení Lobačevského teleskopický znak Znamení Sapogov
Pro střídání sérií	Leibnizův znak
Pro řádky formuláře $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abelův znak Znamení Dedekinda Znamení Dubois-Reymond Dirichlet znamení
Pro funkční série	Weierstrass znamení
Pro Fourierovy řady	Znamení Dini Znamení de la Vallée Poussin Jordánsko znamení Jungův znak Znamení Salem Lebesgue znamení Znamení Lebesgue-Gergen Znamení Martsinkeviče