Prostorová forma

Prostorová forma je spojený kompletní Riemannian varieta konstantního sekčního zakřivení . $k$

Prostorová forma se nazývá sférická , euklidovská nebo hyperbolická , pokud , , , . $k>0$ $k=0$ $k<0$

Pomocí metrické renormalizace lze klasifikaci prostorových forem zredukovat na tři případy: . $k=-1,0,+1$

Příklady

Euklidovské prostorové formy:
- Euklidovský prostor .
- Plochý torus , kde je -rozměrná mřížka v ,. $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ $n$ $\mathbb {E} ^{n}$
- Kleinova láhev s plochou metrikou.
- Pro , existují třídy orientovatelných a třída neorientovatelných afinně neekvivalentních kompaktních euklidovských prostorových forem $n=3$ $6$ $čtyři$
- Dvourozměrná nekompaktní euklidovská prostorová forma jiná než , je homeomorfní pro válec nebo Möbiův pás . $\mathbb {E} ^{2}$
Sférické prostorové formy:
- Koule v poloměru je sférická prostorová forma zakřivení . ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {E} ^{n+1}$ $r>0$ $k=1/r^{2}$
- Prostor čočky s metrikou konstantního zakřivení
- Poincarého koule s metrikou konstantního zakřivení
- Reálný projektivní prostor s metrikou konstantní křivosti
Hyperbolické prostorové formy:
- Lobačevského prostor . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$
- Dvourozměrná orientovaná kompaktní hyperbolická prostorová forma rodu může být slepena z konvexního úhelníku v Lobačevského rovině s párově stejnými stranami a součtem úhlů rovným . Rodina neizomorfních kompaktních hyperbolických prostorových forem rodové dimenze závisí na reálných parametrech. $m$ $4m$ $2\pi$ $2$ $m$ $6m-6$
- Příklady hyperbolických prostorových forem jsou uvedeny v [1] .

Obecné vlastnosti

Pro libovolné a existuje jedinečná, až izometrická, -rozměrná jednoduše spojená forma prostorového zakřivení . Je-li toto koule o poloměru , je-li toto euklidovský prostor a je-li toto prostor Lobachevského . $n$ $k$ $n$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $k$ $k>0$ $n$ $1/{\sqrt {k))$ $k=0$ $k<0$ $n$
- Univerzální pokrytí jakékoli prostorové formy zakřivení s metrickým zdvihem je izometrické . $n$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$
- Jinými slovy, jakákoli -dimenzionální prostorová forma zakřivení může být získána faktorizací přes diskrétní skupinu pohybů působících volně (tj. bez pevných bodů); navíc dva prostory a jsou izometrické právě tehdy, když a jsou sdruženy ve skupině všech pohybů . Problém klasifikace prostorových forem je tedy redukován na problém popisu všech nekonjugovaných skupin pohybů prostorů a , působících diskrétně a volně. $n$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $\Gamma$ $L=M_{k}^{n}/\Gamma$ $L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$ $\Gamma$ $\gamma'$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {E} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

Vlastnosti sférických prostorových forem

Vyčerpávající klasifikace sférických prostorových forem byla získána v [2]

Pokud je sudá, pak jediným pohybem koule bez pevných bodů je středová symetrie, která přemění každý bod koule na diametrálně opačný. Podílový prostor nad skupinou vytvořenou tímto pohybem je skutečná projektivní rovina s metrikou konstantního zakřivení (také nazývaná Riemannův prostor nebo eliptický prostor ). Zejména $n$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$
- Jakákoli sférická prostorová forma sudého rozměru je izometrická buď , nebo . $n$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$
Jakákoli konečná cyklická grupa může sloužit jako základní grupa sférické prostorové formy (viz prostor čočky ).
Aby grupa necyklického řádu sloužila jako základní grupa -rozměrné sférické prostorové formy, je nutné (ale ne dostatečné), aby c bylo coprime a bylo dělitelné druhou mocninou nějakého celého čísla. $N$ $n$ $N$ $n+1$

Vlastnosti euklidovských prostorových forem

Základní grupy kompaktních euklidovských prostorových forem jsou speciálním případem krystalografických grup .

Bieberbachova krystalografická grupová věta vede ke strukturální teorii kompaktních euklidovských prostorových forem libovolné dimenze:

Pro všechny existuje pouze konečný počet různých tříd affinely neekvivalentních kompaktních euklidovských prostorových forem dimenze . $n\geq 2$ $n$
Dva kompaktní euklidovské prostory tvoří a jsou afinně ekvivalentní právě tehdy, když jejich základní grupy a jsou izomorfní. $M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$ $\Gamma$ $\gamma'$
- Například jakákoliv dvourozměrná kompaktní euklidovská prostorová forma je homeomorfní (a proto afinní ekvivalent) buď plochému torusu nebo ploché Kleinově láhvi .
Abstraktní grupa může sloužit jako základní grupa kompaktní euklidovské prostorové formy tehdy a jen tehdy $\Gamma$ $M^{n}$
1. $\Gamma$ má normální abelovskou podskupinu s konečným indexem izomorfním k ; $\Gamma ^{*}$ $\mathbb{Z } ^{n}$
2. $\Gamma ^{*}$ shoduje se s jeho centralizérem v ; $\Gamma$
3. $\Gamma$ nemá žádné prvky konečného řádu .
- Je-li taková grupa realizována jako diskrétní podgrupa ve skupině všech pohybů prostoru , pak se shoduje s množinou paralelních posunů patřících do a dochází k normálnímu pokrytí prostoru plochým torusem . $\Gamma$ $\mathbb {E} ^{n}$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma$ $M$ $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$
- Konečná grupa je izomorfní ke skupině prostorové holonomie . $\Gamma /\Gamma ^{*}$ $M^{n}$
Kompaktní euklidovská prostorová forma má vždy konečnou holonomickou skupinu .
- Platí i opačné tvrzení: kompaktní Riemannův prostor, jehož holonomická grupa je konečná, je plochý.
Jakákoli konečná grupa je izomorfní k holonomické grupě nějaké kompaktní euklidovské vesmírné formy.
Jakákoli nekompaktní euklidovská prostorová forma připouští reálně analytické stažení do kompaktního, zcela geodetického plochého subvariety (viz teorém duše ).
- Zejména třída základních grup nekompaktních euklidovských prostorových forem se shoduje s třídou základních grup kompaktních euklidovských prostorových forem.

Vlastnosti hyperbolických prostorových forem

Kompaktní hyperbolické prostorové formy dimenze , které mají izomorfní základní grupy , jsou izometrické. $n\geq 3$

Historie

Studium dvourozměrných hyperbolických prostorových forem v podstatě začalo v roce 1888, kdy si Poincaré , studující diskrétní grupy lineárně-frakčních transformací komplexní poloroviny , fuchsovské grupy , všiml, že je lze považovat za skupiny pohybů Lobačevského. letadlo . $Im(z)>0$

Klasifikační problém pro -rozměrné Riemannovské prostory libovolného konstantního zakřivení formuloval Killnig , který jej nazval problémem Clifford-Kleinových prostorových forem ; moderní formulaci tohoto problému podal Hopf (1925). $n$

Variace a zobecnění

Kromě riemannovských prostorových forem byly studovány jejich zobecnění: pseudoriemannovské , afinní a komplexní prostorové formy a prostorové formy symetrických prostorů .

Literatura

↑ Vinberg E. B. „Mat. So." - 1969, v. 78, č. 4. - S. 633-39.
↑ Wolf J. Prostory konstantní křivosti, přel. z angličtiny. - M. , 1982.