Minkowského dimenze

Minkowského dimenze nebo hrubý rozměr ohraničené množiny v metrickém prostoru je

\lim \limits _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon )))

kde je minimální počet sad průměru , které mohou pokrýt naši sadu. Pokud limit neexistuje, pak můžeme uvažovat o horní a dolní hranici a hovořit o horní a dolní Minkowského dimenzi. $N_\varepsilon$ $\varepsilon$

Pojem blízký Minkowského dimenzi je Hausdorffova dimenze . V mnoha případech se tyto rozměry shodují, i když existují sady, pro které se liší.

Příklady

rozměr konečné množiny je roven nule, protože u ní nepřesahuje počet prvků v ní. $\rho (n)$
rozměr segmentu je 1, protože segmenty délky jsou potřebné k pokrytí segmentu délky . Takto, $\lceil a/\epsilon \rceil$ $\epsilon$ $A$ $\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1$ ,
rozměr čtverce je 2, protože počet čtverců s úhlopříčkou , potřebný k pokrytí čtverce se stranou , se chová přibližně jako . $1/n$ $A$ $a^{2}n^{2}$
rozměr fraktální množiny může být zlomkové číslo. Takže rozměr Kochovy křivky je . $\ln 4/\ln 3$

V detailech

Neformální diskuse, která to ukazuje, je následující. Segment lze rozdělit na 2 části, podobně jako původní segment s faktorem 1/2. Abychom pokryli segment sadami o průměru , musíme pokrýt každou z polovin takovými sadami. Ale pro polovinu z nich je potřeba stejný počet jako pro celý segment sad o průměru . Proto pro segment, který máme . To znamená, že pokud se zdvojnásobí , zdvojnásobí se také. Jinými slovy, je to lineární funkce. $1/n$ $2/n$ $\rho (n)\cca 2\rho (n/2)$ $n$ $\rho (n)$ $\rho (n)$

Pro čtverec dává podobný argument . To znamená, že při dvojnásobném zvýšení se zvýší 4krát. Jinými slovy, je to kvadratická funkce.

\rho (n)\cca 4\rho (n/2)

n

\rho (n)

\rho (n)

Nakonec se Kochova křivka skládá ze 4 částí, z nichž každá je podobná původní křivce s faktorem 1/3. Proto pro ni . Nahrazením dostáváme . Z toho vyplývá, že rozměr je .

\rho (n)\cca 4\rho (n/3)

n=3^{k}

\rho (3^{k})\přibližně 4\rho (3^{{k-1}})\přibližně 4^{2}\rho (3^{{k-2}})\přibližně \tečky \ přibližně 4^{k}\rho (1)=4^{{\log _{3}n}}\rho (1)=n^{{\ln 4/\ln 3}}\rho (1)

\ln 4/\ln 3

Formálně: nechť n je krok fraktálu, v n-tém kroku budeme mít stejné segmenty délky . Vezměte pro ε segment délky , pak k pokrytí celé Kochovy křivky potřebujeme segmenty. Aby byla podmínka ε→0 splněna, řiďme se n→ . Dostat $4^{{n}}$ $3^{{-n}}$ $3^{{-n}}$ $4^{{n}}$ $\infty$

\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{n\to \ infty }}{\frac {\ln(4^{{n}})}{-\ln(3^{{-n}})))={\frac {\ln 4}{\ln 3}}

rozměr sady Minkowski je 1/2. $\{0,1,{\frac 12},{\frac 13},{\frac 14},\tečky \}$

Vlastnosti

Minkowského dimenze konečného sjednocení množin je rovna maximu jejich dimenzí. Na rozdíl od Hausdorffovy dimenze to neplatí pro spočetné sjednocení. Například množina racionálních čísel mezi 0 a 1 má Minkowského dimenzi 1, ačkoli jde o spočetné sjednocení jednoprvkových množin (z nichž každá má dimenzi 0). Příklad uzavřené spočetné množiny s nenulovou Minkowského dimenzí je uveden výše.
Spodní Minkowského dimenze jakékoli množiny je větší nebo rovna jejímu Hausdorffovu rozměru.
Minkowského rozměr jakékoli sady se rovná Minkowského rozměru jejího uzávěru. Proto má smysl mluvit pouze o Minkowského rozměrech uzavřených množin.

Viz také

Literatura

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Úvod do teorie dimenze. Moskva: Nauka, 1973
Kronover R. M. Fraktály a chaos v dynamických systémech M.: POSTMARKET, 2000

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika