Distribuce Tracy-Widom

Tracy-Widomovo rozdělení je statistické rozdělení , které zavedli Craig Tracy a Harold Widom k popisu normalizované největší vlastní hodnoty náhodné hermitovské matice [1] .

V aplikovaných termínech je Tracy-Widomova distribuce přechodovou funkcí mezi dvěma fázemi systému: se slabě vázanými a silně vázanými komponentami [2] . Vzniká také jako rozdělení délky největší rostoucí subsekvence náhodných permutací [3] , při fluktuacích toku asymetrického procesu s jednoduchými výjimkami (ASEP) se stupňovitou počáteční podmínkou [4] [5] , a ve zjednodušených matematických modelech chování v největších společných problémových dílčích posloupnostech náhodných vstupů [6] [7] .

Rozdělení F 1 je zajímavé zejména z pohledu vícerozměrné statistiky [8] [9] [10] [11] .

Definice

Distribuce Tracy-Widom je definována jako limit [12]

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{{n\rightarrow \infty }}{{\rm {Prob}}}\left((\lambda _{{{\rm {max}}}} -{\sqrt {2n)))({\sqrt {2}})n^{{1/6}}\leq s\right){\mbox{,}}

kde je největší vlastní hodnota náhodné matice standardní (pro složky matice ) Gaussův soubor : pro β=1 - ortogonální, pro β=2 - unitární, pro β=4 - symplektický. Offset se používá k vystředění rozdělení v bodě 0. Multiplikátor se používá, protože standardní odchylka rozdělení je škálována jako . $\lambda _{{{\rm {max))))$ $n\krát n$ $\sigma =1/{\sqrt 2}$ ${\sqrt {2n}}$ $({\sqrt {2}})n^{{1/6}}$ $n^{{-1/6}}$

Ekvivalentní reprezentace

Kumulativní distribuční funkci Tracy-Widom pro unitární soubory ( ) lze reprezentovat jako Fredholmův determinant $\beta=2$

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

operátor na čtvercové integrovatelné funkci na paprsku s jádrem z hlediska Airy funkcí z hlediska $Tak jako$ $(s,\infty )$ ${\mathrm {Ai}}$

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy)).

Může být také reprezentován jako integrál

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\right)

prostřednictvím řešení Painlevého rovnice II

q^{{\prime \prime }}(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

kde , nazývané Hastings–McLeod řešení, splňuje okrajové podmínky: $q$

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Další distribuce Tracy-Widom

Distribuce Tracy-Widom pro ortogonální ( ) i symplektické ( ) soubory jsou také vyjádřitelné pomocí transcendentu Painlevé [13] : $F_{1}$ $F_{4}$ $\beta=1$ $\beta=4$ $q$

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left( F_{2}(s)\right)^{{1/2}}

F_{4}(s/{\sqrt {2}})={\mathrm {ch}}\left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x )\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{{1/2}}.

Existuje rozšíření této definice na případy pro všechny [14] . $F_{\beta }$ $\beta>0$

Numerické aproximace

Numerické metody pro získání přibližných řešení rovnic Painlevého II a Painlevého V a numericky určených rozdělení vlastních čísel náhodných matic v beta souborech byly poprvé představeny v roce 2005 [15] (pomocí MATLABu ). Tyto přibližné metody byly později analyticky zpřesněny [16] a používají se k získání numerické analýzy distribucí Painlevého II a Tracy-Widom (pro ) v S-PLUS . Tato rozdělení byla tabelována [16] na čtyři platné číslice podle hodnot argumentů s krokem 0,01; součástí práce byla i statistická tabulka p - hodnot . V roce 2009 [17] byly vyvinuty přesné a rychlé algoritmy pro numerické určení a funkce hustoty pro . Tyto algoritmy lze použít k numerickému výpočtu střední hodnoty , rozptylu , šikmosti a špičatosti rozdělení . $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$ $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ $\beta=1,2,4$ $F_{\beta }$

β	Průměrný	Disperze	Koeficient asymetrie	Přebytek
jeden	−1,2065335745820	1,607781034581	0,29346452408	0,1652429384
2	−1,771086807411	0,8131947928329	0,224084203610	0,0934480876
čtyři	−2,306884893241	0,5177237207726	0,16550949435	0,0491951565

Funkce pro práci se zákony Tracy-Widom jsou také poskytovány v balíčku pro R RMTstat [18] a v balíčku pro MATLAB RMLab [19] .

Byla také vypočtena jednoduchá aproximace založená na zkreslených gama distribucích [20] .

Poznámky

↑ Dominici, D. (2008) Speciální funkce a ortogonální polynomy Americká matematika. soc.
↑ Tajemný statistický zákon může mít konečně vysvětlení . wired.com (27. října 2014). Získáno 30. září 2017. Archivováno z originálu 17. července 2017. (neurčitý)
↑ Baik, Deift & Johansson (1999) .
↑ Johanson, 2000 .
↑ Tracy, Widom, 2009 .
↑ Majumdar & Nechaev (2005) .
↑ Viz Takeuchi & Sano, 2010 , Takeuchi et al., 2011 pro experimentální ověření (a potvrzení), že fluktuace rozhraní rostoucí kapky (nebo báze) jsou popsány distribucí Tracy-Widom (nebo ), jak bylo předpovězeno v ( Prähofer & Spohn, 2000 ) $F_{2}$ $F_{1}$
↑ Johnstone, 2007 .
↑ Johnstone, 2008 .
↑ Johnstone, 2009 .
↑ Diskusi o univerzálnosti viz Deift (2007 ). Dodatek F 1 k odvození struktury populace z genetických dat viz Patterson, Price & Reich (2006 ) $F_{\beta }$ $\beta=1,2,4$
↑ Tracy, CA & Widom, H. (1996), O ortogonálních a symplektických maticových souborech , Communications in Mathematical Physics , svazek 177 (3): 727–754, .10.1007/BF02099545:doi > Archivováno 20. prosince 2014 na Wayback Machine
↑ Tracy, Widom, 1996 .
↑ Ramírez, Rider & Virág (2006) .
↑ Edelman & Persson (2005) .
↑ 12. Bejan , 2005 .
↑ Bornemann, 2010 .
↑ Johnstone a kol. (2009) .
↑ Dieng, 2006.
↑ Chiani, 2012 .

Literatura

Dotsenko V. S. Univerzální náhodnost // Phys . - 2011. - T. 181 , č. 3 . - doi : 10.3367/UFNr.0181.201103b.0269 .
Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), O rozdělení délky nejdelší rostoucí podsekvence náhodných permutací , Journal of the American Mathematical Society , vol. 12 (4): 1119–1178 , DOI 10.1090/S0894- 0347-99-00307-0 .
Deift, P. (2007), Univerzálnost pro matematické a fyzikální systémy , Mezinárodní kongres matematiků (Madrid, 2006) , Evropská matematická společnost , s. 125–152 .
Johansson, K. (2000), Fluktuace tvaru a náhodné matice , Communications in Mathematical Physics svazek 209 (2): 437–476 , DOI 10.1007/s002200050027 .
Johansson, K. (2002), Toeplitzovy determinanty, náhodný růst a determinantní procesy , Proc. Mezinárodní kongres matematiků (Peking, 2002) , sv. 3, Peking: Vyšší Ed. Stiskněte, str. 53–62 .
Johnstone, I. M. (2007), Vysokorozměrná statistická inference a náhodné matice , Mezinárodní kongres matematiků (Madrid, 2006) , Evropská matematická společnost , str. 307–333 .
Johnstone, IM (2008), Multivariační analýza a Jacobiho soubory: největší vlastní hodnota, Tracy–Widomovy limity a míry konvergence , Annals of Statistics vol. 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626 , DOI 10.56A.121
Johnstone, IM (2009), Přibližná nulová distribuce největšího kořene v multivariační analýze , Annals of Applied Statistics svazek 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465 , DOI 10.1214/08-AOAS220 .
Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Přesné asymptotické výsledky pro Bernoulliho párovací model sekvenčního zarovnání , Physical Review E T. 72 (2): 020901, 4 , DOI 10.1103/PhysRevE.72.020901 .
Patterson, N.; Price, AL & Reich, D. (2006), Struktura populace a vlastní analýza , PLoS Genetics svazek 2 (12): e190, PMID 17194218 , DOI 10.1371/journal.pgen.0020190 .
Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Univerzální distribuce pro procesy pěstování v dimenzích 1+1 a náhodných maticích , Physical Review Letters vol. 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822 , DOI 10.1103/PhysRevLett.84. .
Takeuchi, KA & Sano, M. (2010), Univerzální fluktuace rostoucích rozhraní: Evidence v turbulentních tekutých krystalech , Physical Review Letters vol. 104 (23): 230601, PMID 20867221 , DOI 10.1103/PhysRevLett.
Takeuchi, K.A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Growing interfaces odhalují univerzální fluktuace za invariantností měřítka , Scientific Reports vol . 1: 34 , DOI 10.1038/srep00034
Tracy, CA & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Physics Letters B vol . 305(1-2): 115–118
Tracy, CA & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel , Communications in Mathematical Physics svazek 159 (1): 151–174 , DOI 10.1007/BF02100489 .
Tracy, CA & Widom, H. (2002), Distribuční funkce pro největší vlastní čísla a jejich aplikace , Proc. Mezinárodní kongres matematiků (Peking, 2002) , sv. 1, Peking: Vyšší Ed. Stiskněte, str. 587–596 .
Tracy, CA & Widom, H. (2009), Asymptotics in ASEP with step initial condition , Communications in Mathematical Physics vol. 290 (1): 129–154 , DOI 10.1007/s00220-009-0761-0 .
Bejan, Andrej Iu. (2005), Největší vlastní čísla a ukázkové kovarianční matice. Tracy–Widom a Painleve II: Výpočtové aspekty a realizace v S-Plus s aplikacemi , Ing. disertační práce, Katedra statistiky, The University of Warwick , < http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf > .
Bornemann, F. (2010), K numerickému hodnocení rozdělení v teorii náhodných matic: Přehled s pozváním do experimentální matematiky, Markovovy procesy a související obory , díl 16 (4): 803–866 .
Chiani, M. (2012), Distribuce největší vlastní hodnoty pro reálné Wishartovy a Gaussovy náhodné matice a jednoduchá aproximace pro Tracy-Widomovo rozdělení .
Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numerické metody pro rozdělení vlastních hodnot náhodných matic .
Ramirez, JA; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta soubory, stochastické vzdušné spektrum a difúze .

Odkazy

Kuijlaars, Univerzálnost distribučních funkcí v teorii náhodných matic , < http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf > .
Tracy, CA & Widom, H. , The distributions of random matrix theory and their applications , < http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf > .
Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Balíček 'RMTstat' , < http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf > .
Quanta Magazine: Na vzdálených koncích nového univerzálního zákona

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona