Mi Rozptyl

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. srpna 2020; kontroly vyžadují 10 úprav .

Rozptyl světla kulovou částicí (Mieho rozptyl) je klasický problém elektrodynamiky , který v roce 1908 vyřešil Gustav Mie pro kulovou částici libovolné velikosti [1] .

Problém se zabývá rozptylem elektromagnetické vlny o síle elektrického pole

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},

kde ω je frekvence , k je vlnový vektor a E 0 je amplituda vlny na kulové částici s poloměrem R a permitivitou ε .

Řešení problému se nalézá rozkladem elektromagnetického pole na vektorové sférické harmonické .

Kvalitativní výsledky

Rozptyl závisí na poměru velikosti částic a vlnové délce světla v materiálu částic. Rayleighův rozptyl je speciální případ Mieho rozptylu pro případ, kdy je částice mnohem menší než vlnová délka. V tomto případě vnější elektromagnetická vlna polarizuje částici a vybudí v ní proměnný dipólový moment . Dipólový moment, který osciluje v čase s frekvencí vnější vlny, znovu vyzařuje světlo se směrovým diagramem charakteristickým pro dipólový moment. Pokud lze zanedbat frekvenční závislost permitivity částice, závisí intenzita rozptylu na frekvenci na čtvrtou mocninu, což má za následek silný krátkovlnný rozptyl . Rozptýlenému bílému světlu dominuje modrý odstín, zatímco nerozptýlenému světlu dominuje červená.

Pokud je velikost částic blízká vlnové délce světla, rozptylový vzor se stává složitým. Objevuje se interference vln odražených od různých částí povrchu částic . Intenzita světla rozptýleného pod určitým úhlem závisí na tom, kolikrát se vlna vejde na průměr částice, takže silně závisí na velikosti částice. Když se do velikosti částic vejde několik vlnových délek, střídání maxim a minim ve vyzařovacím diagramu je tak časté, že když bílé světlo dopadá například na koloidní roztok, pozorovatel uvidí rozptýlené bílé světlo. V důsledku toho se látka s velkým počtem takových částic stává neprůhlednou. To je důvodem bílé barvy mraků na obloze, bílé barvy mléka atd . Roztok koloidních částic může být zbarven, když látka částic selektivně absorbuje světlo v určitém spektrálním rozsahu.

Pokud jsou rozměry koule mnohem větší než vlnová délka světla, bude se povrch koule chovat jako rovný povrch. Dochází k lomu a odrazu světla, které jsou popsány Fresnelovými vzorci .

Rozptyl rovinné vlny sférickou částicí

Problém rozptylu sférickou nanočásticí je řešen přesně bez ohledu na velikost částic. Uvažujme rozptyl rovinné vlny šířící se podél osy z polarizované podél x . Permitivita a permeabilita částice jsou a , zatímco médium je a , resp. Abychom vyřešili problém rozptylu [2] , nejprve zapíšeme řešení Helmholtzovy vektorové rovnice ve sférických souřadnicích , protože pole uvnitř a vně částice je musí splňovat. Helmholtzova rovnice: $\varepsilon_{1}$ $\mu_{1}$ $\varepsilon$ $\mu$

\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^ {2}\mathbf {H} =0

Kromě Helmholtzovy rovnice musí pole splňovat také podmínky a , . Všechny potřebné vlastnosti mají vektorové sférické harmonické , zavedené takto: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$ $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)

— magnetické harmonické

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- elektrické harmonické

kde

{\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

{\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

a jsou sdruženými Legendreovými polynomy a je některou z sférických Besselových funkcí . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Dále je nutné rozšířit dopadající rovinnou vlnu z hlediska vektorových sférických harmonických .

\mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{ \infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r } )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{ \frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

zde horní index znamená, že v radiální části funkcí jsou sférické Besselovy funkce. $(jeden)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$

Expanzní koeficienty se získají pomocí integrálů tvaru

{\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{ e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }| \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}

v tomto případě jsou všechny koeficienty at nastaveny na nulu, protože integrál přes úhel v čitateli je nastaven na nulu. $m\neq 1$ $\varphi$

Poté navrstvené

1) okrajové podmínky na hranici mezi míčem a prostředím (které umožňují porovnat expanzní koeficienty dopadajícího, vnitřního a rozptýleného pole),

2) podmínka ohraničenosti řešení v počátku (proto jsou v radiální části generujících funkcí pro vnitřní pole voleny sférické Besselovy funkce), $\psi _{^{e}_{o}mn}$

3) pro rozptýlené pole asymptotika v nekonečnu odpovídá rozbíhavé kulové vlně (v tomto ohledu jsou pro rozptýlené pole v radiální části generujících funkcí zvoleny sférické Hankelovy funkce prvního druhu). $\psi _{^{e}_{o}mn}$

Rozptýlená pole jsou zapsána jako expanze ve vektorových harmonických as

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3) )}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n} \mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf { r} )\vpravo)

zde horní index znamená, že v radiální části funkcí jsou sférické Hankelovy funkce a , $(3)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$ $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)))$

a vnitřní:

\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{( 1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\vpravo)

\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n }\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^ {(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)

$k={\frac {\omega }{c}}n$ je vlnový vektor vně částice, je vlnový vektor v prostředí materiálu částice a jsou indexy lomu prostředí a částice. Po aplikaci okrajových podmínek se získají výrazy pro koeficienty: $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}$ $n$ $n_{1}$

c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho ) \right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\ rho )}}

d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\ rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2 }\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1 }j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1} )-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right ]'h_{n}(\rho )}}

a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho ) }{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^ {2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

Zde , , kde je poloměr nanočástice a jsou sférické Besselovy a Hankelovy funkce prvního druhu. $\rho =ka$ $\rho _{1}=k_{1}a$ $A$ $j_n$ $h_{n}$

Rozptyl a zánik průřezů

Průřezy rozptylu a zhášení lze získat integrací odpovídajících funkcí elektrických a magnetických polí přes vnější kouli velkého poloměru. [2] Díky vlastnostem ortogonality vektorových sférických harmonických je získán jednoduchý vztah mezi Mieovými koeficienty a průřezy. Rozptylový průřez:

C_{sca}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^ {2}+|b_{n}|^{2})

průřez vyhynutím:

C_{ext}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+ b_{n})

Aplikace na částice pod vlnovou délkou

Pokud se do materiálu rozptylové koule vejde několik vlnových délek, pak mají rozptýlená pole určité zvláštnosti. Dále budeme hovořit o formě elektrického pole, protože magnetické pole se z něj získává odebráním rotoru.

Všechny Mie koeficienty závisí na frekvenci a mají maxima, když je jmenovatel blízko nule (u komplexních frekvencí je dosaženo přesné nuly). V tomto případě jsou možné situace, kdy v rozptylu výrazně dominuje příspěvek jedné konkrétní harmonické. Potom ve velkých vzdálenostech od částice bude směrový vzor rozptýleného pole podobný odpovídajícímu směrovému vzoru úhlové části vektorových sférických harmonických. Harmonické odpovídají elektrickým dipólům (pokud při rozpínání elektrického pole dominuje příspěvek této harmonické, pak je pole podobné poli elektrického dipólu), odpovídají elektrickému poli magnetického dipólu a jsou elektrické a magnetické čtyřpóly a jsou osmipóly a tak dále. Maxima koeficientů rozptylu (stejně jako změna jejich fáze o ) se nazývají vícepólové rezonance. ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\pi$

Forma závislosti průřezu rozptylu na vlnové délce a příspěvek specifických rezonancí silně závisí na materiálu částice. Například u částice zlata o poloměru 100 nm dominuje v optické oblasti příspěvek elektrického dipólu k rozptylu, zatímco u částice křemíku jsou výrazné magnetické dipólové a kvadrupólové rezonance. U kovových částic se pík pozorovaný v průřezu rozptylu také nazývá lokalizovaná plazmonová rezonance .

V limitu malých částic nebo dlouhých vlnových délek dominuje v průřezu rozptylu příspěvek elektrického dipólu.

Jiné směry dopadající rovinné vlny

V případě x - polarizované rovinné vlny dopadající podél z obsahovaly expanze všech polí pouze harmonické s m=1 , ale to neplatí pro libovolnou dopadající vlnu [3] . Pro natočenou rovinnou vlnu lze expanzní koeficienty získat např. tím, že se při rotacích vektorové sférické harmonické navzájem určitým způsobem transformují . V tomto případě bude rozptýlené pole rozšířeno přes všechny možné harmonické:

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf { M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ) +D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}( k,\mathbf {r} ))

Potom bude průřez rozptylu vyjádřen pomocí koeficientů takto:

C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n( n+1)}{(2n+1)}}\times {\Bigl [}\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(nm)! }}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2| D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr ]}.

Kerkerův efekt

V roce 1983 Kerker, Wang a Giles [4] diskutovali o směrovosti rozptylu částic s . Zejména se ukázalo, že zpětný rozptyl je zcela potlačen u hypotetických částic s. $\mu \neq 1$ $\mu=\varepsilon$

Kromě toho jsou průřezy rozptylu vpřed a vzad jednoduše vyjádřeny pomocí koeficientů Mie [5] [6] :

C_{sca}^{backward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\bigg |}^{2}

C_{sca}^{forward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\bigg |}^{2}

Pro určité kombinace koeficientů lze výše uvedené výrazy minimalizovat. Takže například, když lze zanedbat členy s (aproximace dipólu), , odpovídá minimálnímu zpětnému rozptylu (magnetický a elektrický dipól jsou stejné v absolutní hodnotě a jsou ve fázi). Tento stav se také nazývá „Kerkerův první stav“. a - minimální dopředný rozptyl - "druhá Kerkerova podmínka". Pro přesné řešení problému je nutné vzít v úvahu příspěvky všech multipólů. Součet elektrických a magnetických dipólů tvoří Huygensův zdroj $n>1$ $(a_{1}-b_{1})=0$ $(a_{1}+b_{1})=0$

U dielektrických částic je maximální dopředný rozptyl pozorován na vlnových délkách větších než je vlnová délka magnetické dipólové rezonance a zpět - na kratších. [7]

K dispozici je také krátké video na YouTube vysvětlující účinek .

Dyad Greenova funkce míče

Greenova funkce je řešením následující rovnice:

\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega } {c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}} (\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ' )+{\bf {\hat {1))}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),

kde je matice identity, pro , a pro . Protože všechna pole jsou vektorová, Greenova funkce je matice 3x3 a nazývá se dyáda. Pokud je v systému indukována polarizace , pak jsou pole vyjádřena jako ${\displaystyle {\klobouk {\bf {1))))$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ $r<a$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon$ $r>a$ $\mathbf {P} (\mathbf {r} )$

\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G} ))({\bf {r,r')),k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')

Stejně jako pole lze Greenovu funkci rozšířit ve vektorových sférických harmonických [8] . Greenova funkce volného prostoru [9] :

{\hat {\bf {G))}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r))\ otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\součet _ {n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)} }{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\left\{{\begin{array}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r } ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1) }[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^ {(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}, {\text{if }}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\ otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3) )}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text {if }}r>r'\end{array}}\right.

V přítomnosti koule je Greenova funkce rozšířena také ve vektorových sférických harmonických. Jeho vzhled závisí na prostředí, ve kterém se body a [10] nacházejí . $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r))'$

Když jsou oba body mimo míč ( ): $r>a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hat {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty } \sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(nm)! } {(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n} ^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )))

kde expanzní koeficienty:

a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1 })\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\ rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}( \rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}( \rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{ 2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.

Oba body uvnitř koule ( ): $r<a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hat {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1)))+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\součet _{n= 1 }^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1))){\ frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_ {1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '] )+d_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )} ,

Koeficienty rozkladu:

c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{ n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\ rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_ {n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{ 1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Zdroj uvnitř a pozorování venku ( ): $r>a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik_{1} }{4\pi }}\součet _{n=1}^{\infty }\součet _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+ 1 }{n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_ {n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

expanzní koeficienty:

a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n }(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\ vlevo[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n }(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right] 'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n} (\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Zdroj je venku a pozorování je uvnitř ( ): $r<a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik}{4 \pi }}\součet _{n=1}^{\infty }\součet _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{ n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_ {n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

kde expanzní koeficienty:

c_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left [\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _ {1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

d_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1} \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.

Externí odkazy

SCATTERLIB a scattport.org Sbírky kódů rozptylu světla ve FORTRAN , C++ , IDL , Pascal , Mathematica a Mathcad
Online kalkulačka rozptylu Mie počítá spektrum rozptylového průřezu a multipólovou expanzi pro libovolnou vícevrstvou kouli, existuje výpočet blízkého pole. Parametry materiálu jsou převzaty ze stránky refractiveindex.info . Zdrojový kód pro kalkulačku je open source a je součástí projektu Scattnlay , open source C++ softwaru pro Mie Scattering (Multilayer Sphere Near and Far Field Solution), volatelný z Pythonu a JavaScriptu .
Rozptyl vícevrstvou koulí Výpočet v MatLab rozptylu od vícevrstvé koule v případech, kdy zdrojem je bodový dipól a rovinná vlna. Popis v OSA Continuum
JMIE (2D C++ kód pro výpočet analytických polí z nekonečného válce, vyvinutý Jeffrey M. McMahonem)
Scatlab . Software pro Windows.
Online Mi-kalkulátor počítá vyzařovací diagramy atd. pro konkrétní parametry. V Pythonu existuje balíček Miepython od stejného autora .
phpMie Online Mi-kalkulačka v PHP .
PyMieScatt , Miovo řešení v Pythonu .
pyMieForAll , balíček pro řešení problému Mie v C++ a Python shellu .
MiePlot je program pro výpočet různých fyzikálních efektů souvisejících s teoriemi Mie ( pouze Windows )

Odkazy

↑ G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Leipzig, Ann. Phys. 330, 377-445 (1908). DOI: https://dx.doi.org/10.1002/andp.19083300302
↑ 1 2 Boren K., Huffman D. Absorpce a rozptyl světla malými částicemi. - M .: Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 s.
↑ KA Fuller, rozptylové a absorpční průřezy složených koulí. I. Teorie pro externí agregaci, J. Opt. soc. Dopoledne. A 11, 3251-3260 (1994)
↑ M. Kerker, DS Wang a CL Giles, Elektromagnetický rozptyl magnetickými koulemi, J. Opt. soc. Dopoledne. 73, 765-767 (1983)
↑ Tzarouchis, D.; Sihvola, A. Rozptyl světla dielektrickou koulí: Pohledy na Mieovy rezonance. Appl. sci. 2018, 8, 184.
↑ Wei Liu a Yuri S. Kivshar, Generalized Kerker effects in nanophotonics and meta-optics [Invited], Opt. Express 26, 13085-13105 (2018)
↑ Fu, Y., Kuzněcov, A., Miroshnichenko, A. et al. Směrový rozptyl viditelného světla nanočásticemi křemíku . Nat Commun 4, 1527 (2013) doi:10.1038/ncomms2538
↑ L.-W. Li, P.-S. Kooi, M.-S. Leong a T.-S. Jo. Elektromagnetická dyadická zelená funkce v sféricky vícevrstvých médiích . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 42(12):2302-2310, prosinec 1994.
↑ CT Tai, Dyadic Greenovy funkce v elektromagnetické teorii. Scranton, PA: Intext Educational, 1971.
↑ Mason, V. Bradford, Elektromagnetické záření z jednoduchých zdrojů v přítomnosti homogenní dielektrické koule , Ph.D. Disertační práce, Katedra elektrotechniky a počítačového inženýrství, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan (1972)