Petrohradský paradox

Petrohradský paradox (nebo Petrohradská loterie ) v ekonomii je paradoxem, který ilustruje rozpor mezi teoreticky optimálním chováním hráče a „selským rozumem“.

Origins

Paradox poprvé publikoval Daniil Bernoulli v „Komentářích Petrohradské akademie“ [1] . Situaci již dříve popsal Danielův synovec Nicholas I. Bernoulli ve své korespondenci s francouzským matematikem Pierrem Montmortem .

Někdy je autorství paradoxu připisováno Leonhardu Eulerovi [2] a jméno je spojováno s tím, že Euler po dlouhou dobu žil a tvořil v Petrohradě .

Výrok o paradoxu

Zvažuje se následující problém. Při vstupu do hry hráč zaplatí určitou částku a pak hází mincí (pravděpodobnost každého výsledku je 50 %), dokud se neobjeví. Když vypadnou hlavy, hra končí a hráč obdrží výplatu vypočítanou podle následujících pravidel. Pokud jsou při prvním hodu hozeny hlavy, hráč obdrží dukáty, při druhém hodu dukáty atd. (při -tém hodu dukáty). Jinými slovy, výplata, která se zdvojnásobuje od hodu k hodu, postupně prochází mocninami dvou – 1, 2, 4, 8, 16, 32 atd. $2^0$ $2^1$ $n$ $2^{{n-1}}$

Otázka: Při jakém vstupním poplatku se hra stává spravedlivou?

Není těžké najít matematické očekávání odměny hráče, která se rovná nekonečnu :

M={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1} {16}}\cdot 8+\cdots=

={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =

=\infty\,.

Paradoxem je, že ačkoli je vypočítaná hodnota tohoto spravedlivého příspěvku rovna nekonečnu, tedy vyšší než jakýkoli možný zisk, skuteční hráči mají pocit, že i 25 dukátů je příliš vysoká cena na vstup do hry.

Řešení paradoxu

Rozlišení prostřednictvím omezení reálného světa

Uveďme odhady řešení paradoxu z hlediska počtu her a časových limitů.

Pravděpodobnost, že v určité hře počet hodů překročí některé, se rovná . Nechte hráče, aby mohl hrát většinu her. Potom pravděpodobnost, že počet hodů v alespoň jedné hře překročí , je rovna . U velkých se přibližně rovná . $n$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ $k$ $n$ $1-\left(1-{\frac {1}{2^{n))}\right)^{k}$ $n$ ${\displaystyle {\frac {k}{2^{n))))$

Budeme předpokládat, že událost s pravděpodobností menší než nějaká nikdy nenastane. Potom „skutečný“ počet hodů nepřesáhne . S tímto předpokladem je průměrná výplata na hru přibližně stejná: $p$ $\log _{2}(k/p)$

$1\cdot {\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+...+2^{n}\cdot {\frac {1}{2 ^{n+1}}}={\frac {n}{2}},$ kde $n=\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

To znamená, že průměrný zisk je ${\frac {1}{2}}\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Například pro 1000 her a p = 10 −6 dostaneme průměrnou výplatu asi 15.

Povolení prostřednictvím funkce utility

Další možností řešení je prostřednictvím užitné funkce peněz. Uvažujeme-li konvexní funkci mezního užitku (často logaritmickou ), opět zajistíme, že její matematické očekávání je konečné .

Pokud tedy předpokládáme, že je pro hráče důležité zvýšit ne o určitou částku peněz , ale o určitý počet , pak zisk vyhodnotí podle logaritmické funkce užitku , maximalizuje hodnotu Petrohradský paradox, matematické očekávání užitečnosti se stává konečným: $\ln {{\frac {X}{X_{0))))$ $X$ $X_{0}$

M\ln {\frac {X}{X_{0))}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\ln {\frac {2^{i-1)) {X_{0}}}\right)2^{-i}=\ln 2-\ln X_{0}.

Odtud je snadné získat reálnou hodnotu hry: . $X_{0}=2$

Toto řešení lze zlepšit zvážením užitečnosti zisku vzhledem k navýšení stávajícího kapitálu hráče (navýšení o 1000 dukátů zvyšuje užitnou funkci žebráka více než miliardáře), ale odpověď se mění jen nepatrně. $w$

V tomto případě je možné změnit výplatní systém tak, že i toto řešení bude nepřijatelné: pro každou neomezenou funkci užitku existuje taková posloupnost výplat pro získání hlav v i - tém kroku, že očekávaný užitek se bude opět rovnat nekonečnu. $n$

Vážené pravděpodobnosti

Nicholas Bernoulli sám navrhl jiný nápad na vyřešení paradoxu. Všiml si, že lidé by zanedbávali nepravděpodobné události (de Montmort, 1713 [3] ). Vzhledem k tomu, že v Petrohradském paradoxu přinášejí vysoké výnosy pouze události s nízkou pravděpodobností, které vedou k nekonečné hodnotě očekávané hodnoty výnosu, může to pomoci vyřešit paradox.

Myšlenka vážených pravděpodobností se znovu objevila mnohem později v práci o prospektové teorii od Daniela Kahnemana a Amose Tverského . Jejich experimenty však ukázaly, že lidé mají naopak tendenci zveličovat váhu jednotlivých nepravděpodobných událostí. Možná to je důvod, proč některé řešení navrhl Nicholas Bernoulli[ kým? ] není považováno za zcela uspokojivé.

Agregátní (kumulativní) prospektová teorie je jednou z běžných zobecnění teorie očekávaného užitku , která může nabídnout vysvětlení mnoha vzorců chování (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). Avšak zveličení váhy nepravděpodobných událostí zavedené v kumulativní prospektové teorii může obnovit Petrohradský paradox. Kumulativní prospektová teorie řeší paradox pouze pro případy, kdy je exponent funkce užitku menší než exponent vážené pravděpodobnostní funkce (Blavatsky, 2005 [5] ). Abychom tento paradox vyřešili, intuitivně by funkce užitku neměla být pouze konkávní, ale měla by být konkávní vzhledem k funkci vážené pravděpodobnosti.

Lze namítnout, že indikátor funkce užitku v prospektové teorii je získáván na základě dat nejvýše 400 USD (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). Zatímco při odhadu množství rostoucích do nekonečna vzniká Petrohradský paradox. To znamená, že použití vzorců Kahneman-Tversky je v tomto případě nesprávné.

Odmítnutí používat matematické očekávání jako metodu výpočtu

Různí autoři, včetně d'Alemberta a Johna Maynarda Keynese , odmítli přístup maximalizace očekávání jako správnou metodu výpočtu a dokonce i užitečnost očekávání v takových případech. Keynes zejména trval na tom, že relativní riziko alternativní události by mohlo být dostatečně vysoké, aby vyloučilo všechny možnosti výskytu této alternativní události, a to i v případě, kdy je matematické očekávání pozitivní události velmi velké.

Jinými slovy, pokud kasino nabídne hraní této hry za 25 dukátů, pak naprostá většina hráčů odmítne, protože je pravděpodobnější, že ve hře vyhrají částky nižší než 25 dukátů.

Odpověď pomocí pokusů

Matematicky správný přístup pomocí pokusů navrhl William Feller v roce 1937. Pokud nepoužijete striktní popis, pak je intuitivní vysvětlení následující. Metoda využívá techniku „hrajte tuto hru s velkým počtem lidí a poté spočítejte matematické očekávání vítězství ve zkouškách“. Podle této techniky, pokud se posloupnost očekávání výherních částek liší, pak to vyžaduje předpoklad nekonečného času na hraní, a pokud je počet her odehraných jednou osobou omezen na určitý počet, pak matematické očekávání konverguje k některá hodnota je mnohem menší než toto číslo.

Viz také

Poznámky

↑ Stručný životopis Bernoulliho
↑ Nové stránky petrohradského paradoxu
↑ de Montmort, Pierre Remond Essay d'analyse sur les jeux de hazard (francouzsky) . - Druhý. - Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , 1713. - ISBN 978-0-8218-3781-8 . . Anglický překlad: Pulskamp, Richard J Korespondence Nicolase Bernoulliho týkající se St. Petersburg Game ( PDF (88 kB) ). Získáno 22. července 2010. Archivováno z originálu 9. září 2008. (neurčitý)
↑ 1 2 Tversky, A.; Kahneman, D. Pokroky v prospektové teorii: Kumulativní reprezentace nejistoty // Journal of Risk and Uncertainty : deník. - 1992. - Sv. 5 , č. 4 . - str. 297-323 . - doi : 10.1007/bf00122574 .
↑ Blavatskyy, P. Zpět na St. Petrohradský paradox? // Management Science. - 2005. - T. 51 , č. 4 . - S. 677-678 . - doi : 10.1287/mnsc.1040.0352 .

Literatura

Kudryavtsev A. A. Petrohradský paradox a jeho význam pro ekonomickou teorii // Bulletin Petrohradské univerzity . - 2013. - Vydání. 3 . - S. 41-55 .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)

Ekonomické paradoxy
Alle antimonopolní Informační paradox šipky Bertrand Braesa Vyhození soutěž Demografické a ekonomické Downes-Thomson Easterlin Edgeworth Ellsberg evropský Gibson Zboží Giffen Ikar Jevons Leontief Lucas Mandeville Mayfield Metzler prokletí zdroje Výkon prosperita Skitowski Servis Petrohrad Šetrnost Zaměstnanost Tulloch Hodnoty