Modul zdarma

Volný modul  je modul F nad kruhem R (obvykle považovaný za asociativní s prvkem identity), pokud je buď nulový, nebo má základ , tj. neprázdný systém S prvků e 1 ,…e i … , který je lineárně nezávislý a generuje F . Samotný prstenec R , považovaný za levý modul nad sebou samým, má samozřejmě základnu skládající se z jediného prvku kruhu a každý modul s konečnou bází n prvků je izomorfní k přímému součtu Rn kruhů R považovaných za moduly. .

Je důležité si uvědomit, že v některých případech může mít volný modul dvě konečné báze sestávající z různého počtu prvků. Protože v tomto případě bude modul M isomorfní jak Rm, tak Rn , kde m ≠ n , pak je tento případ možný právě tehdy, když nad kruhem R existují matice A o velikosti m×n a B o velikosti n ×m , takové , že AB=I m a BA=I n , kde I m a I n  jsou jednotkové čtvercové matice. Je jasné, že v případě, kdy kruh R připouští homomorfismus na dělicí kruh (tak tomu bude např. v případě komutativních kruhů), je tato situace nemožná vzhledem k hodnostní vlastnosti matice. V tomto případě se počet prvků báze nazývá hodnost kruhu R a značí se hodností R nebo rk R . V případě vektorového prostoru je hodností prostoru jeho dimenze.

Pokud má modul nekonečný základ, pak jsou všechny takové základy ekvivalentní.

Protože jakákoli abelovská grupa je modulem v kruhu celých čísel Z , platí vše výše uvedené i pro volné abelovské grupy.

Obecná vlastnost

Vlastnost modulu být volný lze vyjádřit pomocí teorie kategorií . Lineární funkce mezi volnými moduly je jednoznačně určena svými hodnotami na bázi , naopak libovolnou funkci definovanou na bázi lze rozšířit na lineární funkci. Tyto vlastnosti báze lze formalizovat pomocí univerzální vlastnosti .

Každý modul nad prstencem R může být asociován s jeho podpůrnou množinou: existuje zapomnětlivý funktor F  : R-Mod → Set . Nechť A  je nějaký R -modul; i: X → F(A)  je nějaká funkce mezi množinami. Říkáme, že A  je volný modul s vektorovou bází i ( X ) tehdy a jen tehdy, když pro jakékoli zobrazení existuje jedinečné lineární zobrazení takové, že .

Zobecnění

Některé věty o volných modulech zůstávají pravdivé pro širší třídy kruhů. Projektivní modul  je přesně přímým sčítáním nějakého volného modulu, takže k prokázání tvrzení o projektivním modulu můžeme zvážit jeho vložení do volného modulu a použít základ. Ještě vzdálenějším zobecněním jsou ploché moduly , které lze reprezentovat jako přímá limita konečně generovaných volných modulů, a moduly bez torze .

Literatura