Hilbertův sedmý problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. dubna 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Hilbertův sedmý problém je jedním z 23 problémů , které David Hilbert navrhl 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků . Problém souvisí s důkazem a studiem transcendence a iracionality některých čísel.

Prohlášení o problému

Níže je uveden výňatek z Hilbertovy zprávy [1] věnované sedmému problému.

Hermitovy aritmetické teorémy exponenciální funkce a jejich vývoj Lindemannem nepochybně zůstanou ohromující pro matematiky všech generací. Nyní ale nastává problém – jít dál po dlážděné cestě, jak už to udělal Hurwitz ve svých dvou zajímavých studiích „O aritmetických vlastnostech určitých transcendentálních funkcí“ [2] . Rád bych proto poukázal na třídu problémů, které by podle mého názoru měly být v tomto směru považovány za nejbližší. Když se dozvíme, že určité speciální transcendentální funkce , které hrají zásadní roli v analýze , nabývají algebraických hodnot pro určité algebraické hodnoty argumentu, pak se nám tato okolnost zdá obzvláště překvapivá a hodná dalšího studia. Vždy očekáváme, že transcendentální funkce nabývají, obecně řečeno, transcendentální hodnoty pro algebraické hodnoty argumentů, a přestože si dobře uvědomujeme, že existují i takové celé transcendentální funkce, které nabývají racionálních hodnot pro všechny algebraické hodnoty argumentu stále považujeme za velmi pravděpodobné, že taková funkce, jako je například exponenciální , která samozřejmě pro všechny racionální hodnoty argumentu nabývá algebraických hodnot, na druhou stranu bude vždy nabývat hodnot transcendentálních pro všechny algebraické iracionální hodnoty . Toto tvrzení může mít také geometrický tvar následovně. Jestliže v rovnoramenném trojúhelníku je poměr úhlu na základně k úhlu na vrcholu algebraické, ale ne racionální číslo, pak poměr základny ke straně je transcendentální číslo . Navzdory jednoduchosti tohoto tvrzení, stejně jako jeho podobnosti s problémy řešenými Hermitem a Lindemannem, se mi jeho důkaz zdá extrémně obtížný, stejně jako důkaz, že stupeň algebraického základu a algebraického iracionálního exponentu - jako je např. číslo nebo - vždy existuje buď transcendentální číslo, nebo alespoň iracionální. Můžeme si být jisti, že řešení tohoto a podobných problémů by nás mělo přivést k novým úhlům pohledu na podstatu speciálních iracionálních a transcendentálních čísel [3] . $e^{{i\pi z}}$ $z$ $z$ $\alpha ^{{\beta ))$ $\alpha$ $\beta$ $2^{{\sqrt {2}}}$ $e^{{\pi }}=i^{{-2i}}$

Řešení

Sám Hilbert považoval sedmý problém za velmi obtížný. Karl Siegel cituje Hilberta [4] , ve kterém připisuje čas na vyřešení sedmého problému mnohem dále než k prokázání Riemannovy hypotézy a Fermatova teorému .

Přesto dílčí řešení související s transcendencí poměru základny k boční straně rovnoramenného trojúhelníku získal A. O. Gelfond již v roce 1929 [5] , transcendenci čísla prokázal R. O. Kuzmin v roce 1930 [6 ] . V roce 1934 získal Gelfond konečné řešení problému [7] : dokázal, že číslo ve tvaru , kde je jiné algebraické číslo než a a je iracionální algebraické číslo, je vždy transcendentální [8] (číslo později dokonce obdrželo jméno Gelfondovy konstanty ). O něco později roztok získal také Theodor Schneider [9] . $2^{{{\sqrt 2}}}$ $\alpha ^{\beta },$ $\alpha$ $0$ $jeden,$ $\beta$ $e^{\pi }$

Poznámky

↑ Hilbert, David . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (německy) (nepřístupný odkaz) . — Text zprávy, kterou četl Hilbert 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Získáno 27. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 8. dubna 2012.
↑ Hurwitz, Adolf . Über arithmetische Eigenschaften gewisser transcendenten Functionen (německy) // Mathematische Annalen . - Berlín: Springer, 1883. - Bd. 22 , č. 2 . - S. 211-229 . (nedostupný odkaz)
↑ Překlad Hilbertovy zprávy z němčiny - M. G. Shestopal a A. V. Dorofeev , publikované v knize Hilbertovy problémy / Ed. P. S. Alexandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivováno 17. října 2011 na Wayback Machine
↑ Siegel C.L. Transcendentální čísla . - Princeton: Princeton University Press, 1949. - Sv. 16. - 102 s. - (Anály matematických studií). — ISBN 0-691-09575-2 . Archivováno 12. listopadu 2012 na Wayback Machine - S. 84.
↑ Gelfond A. Sur les nombres transcendants (francouzsky) // Comptes Rendus de l'Académie des sciences. - Paříž, 1929. - Sv. 189 . - S. 1224-1228 .
↑ Kuzmin R. O. O nové třídě transcendentálních čísel // Bulletin Akademie věd SSSR. série VII. Ústav fyzikálních a matematických věd. - 1930. - č. 6 . - S. 585-597 .
↑ Gelfond A. O. K sedmému problému Hilberta // Zprávy Akademie věd SSSR. - 1934. - T. 2 . - S. 1-6 .
↑ Rybnikov K. A. . Historie matematiky. 2. vyd. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1974. - 455 s. - S. 304.
↑ Schneider T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen (německy) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1934. - Bd. 172 . - S. 65-69 .

Literatura

Gelfond A.O. K sedmému problému Hilberta // Problémy Hilberta / ed. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivováno17. října 2011 naWayback Machine - str. 121-127.
Feldman N.I. Hilbertův sedmý problém. - M. : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1982. - 312 s.
Bolibrukh A.A. Hilbertův sedmý problém: Iracionální čísla // Hilbertovy problémy (o 100 let později) . - M. : MTSNMO , 1999. - 24 s. - ( Knihovna "Matematická výchova" , číslo 2). - 3000 výtisků.
Tikhomirov V. M. , Uspenskij V. V. Sovětská matematika 30. let (II): A. O. Gelfond a L. G. Shnirelman, část "Alexander Osipovič Gelfond a Hilbertův sedmý problém" // Matematické vzdělávání , řada č. 3. - 2000. - Iss 4 . - S. 33-48 .

Hilbertovy problémy
jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 ( 24 )