Super dokonalé číslo

Superdokonalé číslo  je přirozené číslo n takové, že:

kde σ je součet dělitelů čísla n [1] . Superperfektní čísla jsou zobecněním dokonalých čísel . Termín byl vytvořen D. Suryanarayana v roce 1969 [2] .

Superdokonalá čísla tvoří posloupnost: 2 , 4 , 16 , 64 , 4096 , 65536, 262144 , ... (posloupnost A019279 v OEIS ).

Všechna sudá superdokonalá čísla mají tvar , kde  je Mersennovo prvočíslo .

Není známo, zda existují lichá superdokonalá čísla. V roce 2000 Hunsaker a Pomerance dokázali, že neexistují žádná lichá superdokonalá čísla menší než [3] .

Zobecnění

Dokonalá a superdokonalá čísla jsou nejjednoduššími příklady široké třídy m -superdokonalých čísel, které splňují:

pro m = 1 resp. 2 [2] .

m -superdokonalá čísla jsou zase speciálním případem ( m , k )-dokonalých čísel, která splňují [4] :

.

V tomto zápisu jsou dokonalá čísla (1,2) – dokonalá čísla, multiperfektní čísla jsou (1, k ) – dokonalá čísla, superdokonalá čísla jsou (2,2) – superdokonalá čísla a m – superdokonalá čísla jsou ( m ,2 ) -dokonalá čísla.

Příklady tříd ( m , k )-perfektních čísel:

m k ( m , k )-dokonalá čísla OEIS
2 3 8, 21, 512 A019281
2 čtyři 15, 1023, 29127 A019282
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283
2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284
2 osm 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 6704322, 26817322, 190886622, 190886622, 190886622, 190886622, 190886622, 190886622, 19088866704322, 26817322, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 26817328, 2686660. A019285
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286
2 deset 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287
2 jedenáct 4404480, 57669920, 238608384 A019288
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289
3 žádný 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, … A019292
čtyři žádný 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, … A019293


Poznámky

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Superperfect Number  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
  2. ↑ 1 2 Guy, Richard K. (2004). Neřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. B9. ISBN 978-0-387-20860-2 . Zbl 1058.11001.
  3. ↑ A019279
  4. ↑ Cohen, GL a te Riele, JJ "Opakování funkce součtu dělitelů." Experim. Matematika. 5, 93-100, 1996.

Literatura