Ascoli-Arzelova věta

Arzelův teorém je výrok, který je kritériem prekompaktnosti množiny v úplném metrickém prostoru ve speciálním případě, kdy uvažovaným prostorem je prostor spojitých funkcí na segmentu reálné čáry . Pojmenováno po autorovi, Cesare Arcela .

Arzelova-Ascoliho věta (nebo Ascoli-Artzela) je zobecněním Arzelovy věty pro případ, kdy jsou uvažovány rodiny zobrazení metrických kompaktních množin ( zobecněná Arzelova věta ).

Aplikace Arzelovy věty souvisí se speciálními vlastnostmi uvažovaných rodin, a to: s rovnoměrnou ohraničeností a ekvikontinuitou .

Úvod

V matematické analýze (a později ve funkcionální analýze ) jsou uvažovány všechny možné rodiny spojitých funkcí dané na speciálních množinách ( metrická kompakta ) a zkoumá se otázka "úplnosti" takových rodin. Zejména vyvstává otázka o existenci limity , například pro posloupnost spojitých numerických funkcí , daných na intervalu , a také o vlastnostech této limity. Podle Cauchyho kritéria je jednotná limita spojitých funkcí také spojitou funkcí, tedy prostor je úplný . Podstatné zde je, že doménou definice funkcí je kompaktní podmnožina reálné čáry (segmentu) a funkce nabývají hodnot v kompletním metrickém prostoru. Podobný výsledek dostaneme, vezmeme-li třídu spojitých zobrazení libovolné metrické kompaktní množiny do úplného metrického prostoru. $[a,b]$ $Kabina]$

Úplnost třídy umožňuje aproximovat jakoukoli spojitou funkci posloupností aproximací, z nichž každá je funkcí v určitém smyslu „jednodušší“ než ta původní. To dokazuje Weierstrassova věta : každou spojitou funkci na intervalu lze libovolně přesně aproximovat polynomy. $Kabina]$

Arzelův teorém odkazuje na případ, kdy se uvažuje o určité rodině spojitých funkcí , kde je metrická kompaktní množina a je úplným metrickým prostorem, a zkoumá se otázka, zda je možné z této rodiny vyčlenit konvergentní podposloupnost . . Protože je prostor úplný, existence limitního bodu v podstatě znamená, že rodina je předkompaktní v . Proto lze větu formulovat v obecné podobě, konkrétně mluvíme o předkompaktnosti. $F\podmnožina C(K,Y)$ $K$ $Y$ $C(K,Y)$ $F$ $C(K,Y)$

Arzelův teorém je tedy kritériem pro předkompaktnost rodiny spojitých funkcí definovaných na kompaktní množině a působících na úplný metrický prostor.

Stávající kritérium předkompaktnosti množiny v úplném prostoru vyžaduje kontrolu , zda je daná množina zcela ohraničena . V praxi je toto kritérium neúčinné. Proto se zdá účelné nějakým způsobem využít vlastnosti funkcí obsažených v rodině, abychom získali kritérium předkompaktnosti vhodné pro praktickou aplikaci.

V průběhu výzkumu se ukázalo, že takové vlastnosti jsou vlastnostmi stejnoměrné ohraničenosti a ekvikontinuity uvažované rodiny.

Zmínku o ekvidistantní kontinuitě uvedli současně Giulio Ascoli (1883-1884) [1] a Cesare Arcela (1882-1883) [2] . Slabou formu věty dokázal Ascoli v letech 1883–1884 [1] , který stanovil dostatečné podmínky pro kompaktnost, a Arcela v roce 1895 [3] , který dal nezbytnou podmínku a podal první jasnou interpretaci výsledku. Další zobecnění věty dokázal Fréchet (1906) [4] pro prostory, ve kterých má pojem limita smysl, jako je metrický prostor nebo Hausdorffův prostor Dunford, Schwartz (1958) [5] . Moderní formulace teorému umožňují, aby doména a rozsah byly metrické prostory. Nejobecnější formulace věty dává nezbytnou a postačující podmínku pro to, aby rodina funkcí od kompaktního Hausdorffova prostoru po Uniformní prostor byla kompaktní v Bourbakiho topologii uniformní konvergence (1998, § 2.5) [6] .

Definice

Uvažujme prostor spojitých funkcí definovaných na intervalu , spolu s metrikou jednotné konvergence. Toto je úplný metrický prostor. Je známo že: $Kabina]$ $[a,b]$

Aby byla nějaká podmnožina úplného metrického prostoru předkompaktní, je nutné a postačující, aby byla zcela ohraničená.

V případě prostoru však lze použít efektivnější kritérium předkompaktnosti, ale k tomu je třeba zavést následující dva pojmy. $Kabina]$

Předpokládejme, že se jedná o nějakou rodinu spojitých funkcí definovaných na segmentu . $F$ $[a,b]$

Jednotná ohraničenost

Rodina se nazývá jednotně ohraničená , pokud existuje konstanta společná pro všechny prvky rodiny , která omezuje všechny funkce rodiny: $F$ $K$

\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K

Rovnoběžnost

Rodina se nazývá ekvikontinuální , pokud pro jakýkoli existuje taková, že pro jakýkoli prvek a pro jakékoli body a takové, že platí přísná nerovnost . $F$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in F$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Formulace

Teorém.

Funkční rodina je předkompaktní v úplném metrickém prostoru tehdy a pouze tehdy, když tato rodina je $F$ $Kabina]$

jednotně ohraničené
stejně kontinuální.

Důkaz

Ve skutečnosti je nutné ukázat, že obě tyto vlastnosti rodiny funkcí jsou ekvivalentní úplné ohraničenosti této rodiny.

Nutnost

Tak ať je rodina zcela svázaná . $F$

Opravíme a zkonstruujeme konečnou -síť ve tvaru: . $\varepsilon >0$ $(\varepsilon /3)$ $\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$

Protože každá funkce tohoto systému je spojitá, a tedy omezená, pak pro každou takovou funkci existuje vlastní konstanta taková, že pro libovolnou . $K_{i}$ ${\displaystyle |\varphi _{i}(x)|<K_{i))$ $x\in[a,b]$

Protože existuje konečná množina takových funkcí, můžeme vzít . $K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$

Nyní, když vezmeme libovolnou funkci , pak pro tuto funkci existuje prvek -network takový, že pro any . Je zřejmé, že v tomto případě bude funkce omezena na konstantu . $f\in F$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$ $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ $x\in[a,b]$ $F$ $K$

To ukazuje, že rodina je jednotně ohraničená . $F$

Opět platí, že díky spojitosti každého prvku sítě se tento prvek také ukazuje jako jednotně spojitý, a proto lze zvolit takové , že pro libovolné body takové, že . $(\varepsilon /3)$ $(\varepsilon /3)$ $\delta _{i}$ $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ $x_{1},x_{2}\v [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$

Nechte _ $\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$

Budeme-li nyní uvažovat libovolnou funkci , pak pro danou funkci bude existovat přísná nerovnost pro všechny body taková, že . $f\in F$ $\varepsilon >0$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $x_{1},x_{2}\v [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$

Opravdu, , kde je vhodný prvek sítě . $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}( x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$

To ukazuje, že rodina je stejnoběžná . $F$

Jinými slovy, úplná ohraničenost implikuje stejnoměrnou ohraničenost a ekvikontinuitu.

Dostatečnost

Nyní je nutné dokázat, že stejnoměrná ohraničenost a ekvikontinuita rodiny implikuje existenci konečné sítě pro jakoukoli konečnou . $F$ $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

opravujeme . $\varepsilon >0$

Nechť je konstanta, která se objevuje v definici jednotné ohraničenosti. $K$

Vyberme takovou , která se objeví v definici jednotné spojitosti a odpovídá hodnotě . $\delta>0$ $\varepsilon /5$

Uvažujme obdélník a rozdělme ho svislými a vodorovnými čarami na obdélníkové buňky menší než vodorovné a svislé. Nechť , , , jsou uzly této mřížky (podél osy x ). $[a,b]\krát [-K,K]$ $\delta$ $\varepsilon /5$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\tečky$ $x_{N}$

Uvažujeme-li nyní libovolnou funkci , pak pro každý uzel mřížky musí existovat takový mřížkový bod , který . Pokud nyní vezmeme v úvahu funkci přerušované čáry , která v uzlech nabývá odpovídajících hodnot odchylujících se od funkce nejvýše o , pak se vzhledem k tomu, že funkce samotná se na každém segmentu odchyluje nejvýše o , odchyluje přerušovaná čára o maximálně na každém takovém segmentu . $f\in F$ $x_{i}$ $(x_{i},y_{j})$ $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ $\varphi$ $\varepsilon /5$ $\varepsilon /5$ $3\varepsilon /5$

Protože každý bod segmentu je na jednom z těchto segmentů, řekněme, ukazuje se, že odchylka funkce od takto vytvořené přerušované čáry nepřesahuje : $X$ $[a,b]$ $[x_{k},x_{k}+1]$ $\varepsilon$

|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\ varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon

Je tedy ukázáno, že konečný (!) systém přerušovaných funkcí uvedeného typu je -net pro daný . $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Aplikace

Arzelův teorém nachází své uplatnění v teorii diferenciálních rovnic .

V Peanově větě (o existenci řešení Cauchyho problému ) je sestaven systém funkcí, který se v teorii diferenciálních rovnic nazývá Eulerovy lomené čáry . Tento systém se ukazuje jako rovnoměrně ohraničená a ekvikontinuální rodina funkcí, ze které lze podle Arzelovy věty vyčlenit rovnoměrně konvergentní posloupnost funkcí, jejichž limita bude kýženým řešením Cauchyho problému.

Viz také

Lemma z Artsely
Montelova věta o kompaktní rodině funkcí je důsledkem Arzelovy věty.

Literatura

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. třetí, revidovaný. — M .: Nauka , 1972 . — 496 s.

Poznámky

↑ 1 2 Ascoli, G. (1883-1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Paměť della Cl. sci. Fis. Rohož. Nat. 18(3): 521-586.
↑ Arzelà, Cesare (1882-1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142-159.
↑ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. sci. Ist. Bologna Cl. sci. Fis. Rohož. 5(5):55-74.
↑ Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rend. Circ. Rohož. Palermo 22:1-74, doi:10.1007/BF03018603.
↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineární operátory, svazek 1, Wiley-Interscience.
↑ Bourbaki, Nicolas (1998), Obecná topologie. Kapitoly 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4 .