Teorie operátora

Teorie operátorů je odvětví funkční analýzy , které studuje vlastnosti spojitých lineárních zobrazení mezi normovanými prostory . Obecně řečeno, operátor je analogem nejběžnější funkce nebo matice v konečněrozměrném prostoru. Operátor ale může jednat i v nekonečně-dimenzionálních prostorech.

Mapování z vektorového prostoru do vektorového prostoru se nazývá lineární operátor if pro libovolné a in a jakékoli skaláry a . Často psáno místo . O lineárním operátoru z normovaného prostoru do normovaného prostoru se říká, že je ohraničený, pokud existuje kladné reálné číslo takové, že pro všechny v . Nejmenší konstanta , která splňuje tuto podmínku, se nazývá norma operátoru a značí se . Je snadné vidět, že lineární operátor mezi normovanými prostory je omezený právě tehdy, když je spojitý . Termín "operátor" ve funkční analýze obvykle znamená ohraničený lineární operátor . $T$ $X$ $Y$ $T(\alpha x+\beta y)=\alfa T(x)+\beta T(y)$ $X$ $y$ $X$ $\alpha$ $\beta$ $Tx$ $T(x)$ $X$ $Y$ $M$ $\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ $X$ $X$ $M$ $T$ $\lVert T\rVert$

Množina všech (ohraničených lineárních) operátorů z normovaného prostoru do normovaného prostoru je označena . V případě, kdy píší místo . Jestliže je Hilbertova mezera , pak se obvykle píše místo . Na , jeden může zavést strukturu vektorového prostoru přes a , kde , , a je libovolný skalár. Se zavedenou operátorskou normou se mění v normovaný prostor . $X$ $Y$ $L(X,\;Y)$ $X=Y$ $L(X)$ $L(X,\;X)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$ $L(X,\;Y)$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,\;S\in L(X,\;Y)$ $x,\;y\v X$ $\alpha$ $L(X,\;Y)$

Zejména a pro jakýkoli a libovolný skalární . Prostor je Banach právě tehdy, když je Banach . $\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ $\lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ $T,\;S\in L(X,\;Y)$ $\alpha$ $L(X,\;Y)$ $Y$

Dovolit a být normované prostory a . Složení a je označováno a nazýváno součinem operátorů a . Ve stejnou dobu a . Jestliže je Banachův prostor , pak je vybaven součinem Banachova algebra . $X,\;Y$ $Z$ $S\in L(X,\;Y)$ $T\in L(Y,\;Z)$ $S$ $T$ $TS$ $S$ $T$ $TS\in L(X,\;Z)$ $\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$ $X$ $L(X)$

V teorii operátorů existuje několik hlavních částí:

Spektrální teorie studuje spektrum operátora .
Třídy operátorů. Zejména jsou studovány kompaktní operátory , Fredholmovy operátory , izomorfismy , izometrie , striktně singulární operátory atd. Rovněž jsou studovány neomezené operátory a částečně definované operátory, zejména uzavřené operátory .
Operátoři na speciálních normovaných prostorech.
- Na Hilbertových prostorech studují samoadjungované , normální , unitární , pozitivní operátory atd.
- Na funkčních prostorech: diferenciální , pseudo -diferenciální , integrální a pseudointegrální operátory ; operátory násobení , substituce , substituce s váhou atd.
- Na Banachových mřížkách : kladné operátory , běžné operátory atd.
Množiny operátorů (tedy podmnožiny ): algebry operátorů , pologrupy operátorů atd. $L(X)$
Teorie invariantních podprostorů .

Literatura

Sadovničij V. A. Teorie operátorů. - M .: Moskevské nakladatelství. un-ta, 1979.
Dunford N., Schwartz J. Lineární operátory. Obecná teorie. — M.: IL, 1962. — 896 s.
Dunford N., Schwartz J. Lineární operátory. Spektrální teorie. — M.: Mir. 1966. - 1064 s.