Keplerův trojúhelník

Keplerův trojúhelník  je pravoúhlý trojúhelník , jehož délky stran tvoří geometrickou posloupnost . V tomto případě poměr délek stran Keplerova trojúhelníku souvisí se zlatým řezem

což lze zapsat jako : , nebo přibližně 1 : 1,272 : 1,618 [1] Čtverce stran tohoto trojúhelníku (viz obrázek) tvoří geometrickou posloupnost odpovídající zlatému řezu.

Trojúhelníky s tímto poměrem stran byly pojmenovány po německém matematikovi a astronomovi Johannesu Keplerovi (1571-1630), který jako první prokázal, že u takových trojúhelníků je poměr délky krátkého ramene k přeponě roven zlatému řezu [ 2] . Keplerův trojúhelník tedy kombinuje dva klíčové matematické pojmy - Pythagorovu větu a zlatý řez , o kterých Kepler poznamenal:

V geometrii jsou dva poklady: jedním je Pythagorova věta, druhým je dělení úsečky ve zlatém řezu. První můžeme přirovnat k mase zlata, druhé můžeme nazvat drahým kamenem. Johannes Kepler

Některé zdroje tvrdí, že poměr stran slavných pyramid v Gíze se blíží Keplerovu trojúhelníku [4] [5] .

Důsledek

Skutečnost, že trojúhelník se stranami a tvoří pravoúhlý trojúhelník, vyplývá přímo z přepisu čtvercové trojčlenky pro zlatý řez :

ve formě Pythagorovy věty :

Vztah k aritmetickému průměru, geometrickému průměru a harmonickému průměru

Pro kladná reálná čísla aab jsou jejich aritmetický průměr , geometrický průměr a harmonický průměr délky stran pravoúhlého trojúhelníku právě tehdy, když je trojúhelník Keplerova [6] .

Konstrukce Keplerova trojúhelníku

Keplerův trojúhelník lze sestrojit pomocí kompasu a pravítka pomocí konstrukce zlatého řezu takto:

1. Vytvořte jednoduchý čtverec
2. Nakreslete čáru od středu jedné strany čtverce k protějšímu rohu
3. Tuto čáru použijte jako poloměr oblouku, který definuje výšku obdélníku
4. Doplněk ke zlatému řezu
5. Použijte dlouhou stranu obdélníku zlatého řezu jako poloměr oblouku, který protíná opačnou stranu obdélníku a definuje délku přepony Keplerova trojúhelníku.

Sám Kepler postavil tento trojúhelník jinak. V dopise svému bývalému učiteli, profesoru Michaelu Möstlinovi, napsal: „Pokud je pravoúhlý trojúhelník sestrojen na přímce, která je rozdělena v extrémním a průměrném poměru tak, že pravý úhel bude v bodě dělení, pak menší strana se bude rovnat většímu segmentu dělených čar." [2] .

Matematická náhoda

Vezměme si Keplerov trojúhelník se stranami a uvažujme:

• kruh, který ho obklopuje, a
• čtverec se stranou rovnou střední straně trojúhelníku.

Potom se obvod čtverce ( ) a obvod ( ) shodují s přesností 0,1 %.

Toto je matematický zápas . Není možné, aby tyto čtverce a kruhy měly stejnou obvodovou délku, protože by pak mohl být vyřešen klasický neřešitelný problém kvadratury kruhu . Jinými slovy, since  je transcendentální číslo .

Poznámky

1. ↑ Roger Herz-Fischler. Tvar Velké pyramidy  (neopr.) . — Wilfrid Laurier University Press, 2000. - ISBN 0-88920-324-5 . Archivováno 7. prosince 2013 na Wayback Machine
2. ↑ 1 2 Livio, Mario. Zlatý řez: Příběh Phi, nejúžasnější  číslo na světě . — New York: Broadway Books, 2002. - str  . 149 . — ISBN 0-7679-0815-5 .
3. ↑ Karl Fink, Wooster Woodruff Beman a David Eugene Smith. Stručná historie matematiky: Autorizovaný překlad Dr. Geschichte der Elementar-Mathematik  Karla Finka . - 2nd ed.. - Chicago: Open Court Publishing Co, 1903. Archivováno 7. července 2014 na Wayback Machine
4. ↑ To nejlepší z Astraea: 17 článků o vědě, historii a  filozofii . - Astrea Web Radio, 2006. - ISBN 1-4259-7040-0 .
5. ↑ Umocnění kruhu, Paul Calter (odkaz není k dispozici) . Získáno 7. května 2014. Archivováno z originálu 2. září 2011. (neurčitý) 
6. ↑ Di Domenico, Angelo, „Zlatý řez – pravoúhlý trojúhelník – a aritmetické, geometrické a harmonické prostředky“, The Mathematical Gazette 89, 2005.