Matematický zápas

Matematická náhoda je situace, kdy dva výrazy dávají téměř stejné hodnoty, ačkoliv tuto shodu nelze teoreticky nijak vysvětlit. Například ke kulatému číslu 1000 existuje afinita vyjádřená jako mocnina 2 a jako mocnina 10: . Určité matematické párování se používá v inženýrství , když je jeden výraz použit jako aproximace jiného. $2^{10}=1024\cca 1000=10^{3}$

Úvod

Matematická náhoda je často spojována s celými čísly a překvapivé („náhodné“) příklady odrážejí skutečnost, že reálná čísla , která se vyskytují v některých kontextech, se podle některých standardů ukazují jako „blízká“ aproximace malých celých čísel neboli mocniny deseti. nebo obecněji racionální číslo s malým jmenovatelem . Jiný druh matematické shody, jako jsou celá čísla, která současně splňují několik zdánlivě nesouvisejících kritérií, nebo shody související s měrnými jednotkami. Ve třídě čistě matematických náhod mají některé jednoduché výsledky hluboký matematický základ, zatímco jiné se objevují „z čista jasna“.

Vzhledem k spočítatelnému počtu způsobů, jak vytvořit matematické výrazy pomocí konečného počtu symbolů, může být shoda počtu použitých symbolů a přesnost aproximace nejzřejmějším způsobem, jak získat matematickou shodu. Neexistuje však žádný standard a silný zákon malých čísel je druh argumentu, ke kterému se člověk uchyluje, když neexistuje žádné formální matematické porozumění. K rozhodnutí o významu matematické náhody, ať už jde o výjimečnou událost nebo důležitou matematickou skutečnost (například Ramanujanova konstanta níže) o konstantě, která se objevila v tisku před několika lety jako vědecký aprílový žertík [1] ). Stručně řečeno, tyto náhody jsou považovány za jejich zvědavost nebo pro povzbuzení milovníků matematiky na základní úrovni.

Některé příklady

Racionální aproximace

Někdy se jednoduché racionální aproximace výjimečně blíží zajímavým iracionálním hodnotám. Skutečnost lze vysvětlit z hlediska reprezentace iracionálních hodnot jako pokračujících zlomků , ale proč k těmto neuvěřitelným náhodám dochází, zůstává často nejasné.

Často se používá racionální přiblížení (pokračovacími zlomky) k poměru logaritmů různých čísel, což dává (přibližnou) shodu mocnin těchto čísel [2] .

Některé zápasy s číslem : $\pi$

první konvergent čísla , [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, známé již od dob Archiméda [3] , a dává přesnost asi 0,04 %. Třetí konvergentní, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929… nalezené Zu Chongzhi [4] je správné na šest desetinných míst [3] . Tato vysoká přesnost je způsobena skutečností, že další člen pokračování zlomku má neobvykle velkou hodnotu: = [3; 7, 15, 1, 292, …] [5] ; $\pi$ $\pi$
náhoda, na které se podílí i zlatý řez φ, je dána vzorcem . Tento vztah souvisí s Keplerovým trojúhelníkem ; někteří výzkumníci věří, že tato shoda okolností se nalézá v pyramidách v Gíze , ale je extrémně nepravděpodobné, že je to úmyslné [6] ; $\pi$ $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3,1446\tečky$
existuje sekvence šesti devítek , která začíná na 762. pozici desítkové reprezentace čísla . Pro náhodně zvolené normální číslo je pravděpodobnost libovolné zvolené sekvence šesti číslic (například 658020) v desítkovém zápisu vzácná, pouze 0,08 %. Existuje domněnka, která je normálním číslem, ale nebyla prokázána; $\pi$ $\pi$
${\frac {5}{6}}\pi \approx \varphi ^{2}$ ; opravit na 0,002 %.

Shody $E$ čísel :

posloupnost číslic "1828" se opakuje dvakrát blízko začátku desítkové reprezentace čísla = 2,7 1828 1828…. [7] ; $E$
mezi prvními 500 tisíci znaky čísla je posloupnost čísel "99 999 999" [8] . $E$

Hojně se používá i náhoda , správná s přesností 2,4 %. Racionální přiblížení , nebo se shoduje s přesností 0,3 %. Tato shoda se používá v technických výpočtech k aproximaci dvojnásobku výkonu jako 3 decibely (skutečná hodnota je 3,0103 dB - bod polovičního výkonu ), nebo k převodu kibibajtů na kilobajty [9] [10] . Stejnou shodu lze přepsat jako (odstraňte společný faktor , aby relativní chyba zůstala stejná, 2,4 %), což odpovídá racionální aproximaci , nebo (rovněž v rámci 0,3 %). Tato shoda se používá například k nastavení časů závěrky ve fotoaparátech jako aproximace mocnin dvou (128, 256, 512) v sekvenci časů závěrky 125, 250, 500 atd. [2] . $2^{10}=1024\cca 1000=10^{3}$ $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\cca 3{,}3219\cca {\frac {10}{3}}$ $2\cca 10^{3/10}$ $128=2^{7}\cca 5^{3}=125$ $2^3$ $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2))\cca 2,3219\cca {\frac {7}{3))$ $2\approx 5^{3/7}$

Koincidence s hudebními intervaly

Náhoda , obvykle používaná v hudbě při ladění 7 půltónů stejné temperamentové stupnice na čistou pětinu přirozené stupnice : , která se shoduje s přesností 0,1 %. Dokonalá kvinta je základem pythagorejského systému a je nejběžnějším systémem v hudbě. Z výsledné aproximace vyplývá, že kružnice kvint končí sedm oktáv nad začátkem [2] . $2^{19}\cca 3^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}\cca 1,5849\tečky \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\cca 3/2;$ ${\displaystyle {(3/2)}^{12}\cca 2^{7))$

Výsledkem zápasu je racionální verze pražců 12-TET, jak poznamenal Johann Kirnberger . ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\ldots \approx {\frac {4}{3}}$

Náhoda vede k racionální verzi středotónového temperamentu 1/4 čárky . ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4,00000559\ldots \approx 4$

Shoda vede k velmi malému intervalu (asi milicent ). ${\sqrt[{9}]{0,6}}{\sqrt[{28}]{4,9}}=0,99999999754\ldots \approx 1$ $2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}$

Porovnání s mocninou 2 má za následek tři velké tercie tvořící oktávu, . Tato a další podobná aproximace v hudbě se nazývají zemřít . ${(5/4)}^{3}\cca {2/1}$

Číselné výrazy

Výrazy s mocninami : $\pi$

$\pi ^{2}\cca 10$ s přesností asi 1,3 % [11] To lze chápat z hlediska vzorce funkce zeta [12] , tato shoda byla použita při vývoji logických pravidel , kdy stupnice začíná na a ne na ; $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$
$\pi ^{2}\cca 227/23$ s přesností na 0,0004 % [11] ;
$\pi ^{3}\cca 31$ s přesností na 0,02 %;
${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\cca 2$ s přesností na 0,004 %;
$\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ nebo [13] na 8 desetinných míst [14] ; $22\pi ^{4}\cca 2143$

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22))}=3,1415926525\dots

;

{\sqrt[{5}]{306}}=3,14155\dots

;

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18))}=3,1415924\tečky

;

{\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7))}=3,14159\dots

;

Některá věrohodná spojení jsou provedena s vysokou mírou přesnosti, ale přesto zůstávají náhody. Příkladem je:

\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n))\right) \mathrm {d} x\cca {\frac {\pi }{8}}

Obě strany tohoto výrazu se liší pouze na 42. desetinném místě [15] .

Výrazy s mocninami a : $\pi$ $E$

${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\přibližně e^{6))$ , s přesností 0,000 005 % [13] ;
${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi ))))$ velmi blízko 5, asi 0,008% přesnost;
${3}^{\frac {\pi +e}{4}}$ velmi blízko 5, přesnost asi 0,000 538 % [16] ;
$e^{\pi }-\pi \approx 19.99909998$ velmi blízko 20 [17] , tato shoda je ekvivalentní [13] ; $(\pi +20)^{i}=-0,9999999992\ldots -i\cdot 0,000039\ldots \approx -1$
$\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9,9998\ldots \approx 10$ [13] .

Výrazy s , a 163: $\pi$ $E$

${163}\cdot (\pi -e)\cca 69$ s přesností 0,0005 %] [13] ;
${\frac {163}{\ln 163}}\cca 2^{5}$ s přesností 0,000004 %] [13] ;
Ramanujanova konstanta :, přesnost, objevená v roce 1859 Charlesem Hermitem [18] , není nevysvětlitelná náhodná matematická náhoda, protože je důsledkem skutečnosti, že 163 je Hegnerovo číslo . $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ $2,9\cdot 10^{-28}\%$

Výraz s logaritmy:

$\ln 2\cca \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ (přesnost 0,00024 %).

Při diskuzi o narozeninovém paradoxu se objeví číslo , které je „vtipné“ rovné až 4 číslicím [19] . $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ $\ln(2)$

Numerické náhody ve fyzickém světě

Šest týdnů

Počet sekund za šest týdnů neboli 42 dní je přesně 10! ( faktoriál ) sekund (od , a ). Mnozí si této shody všimli, zejména číslo 42 je významné v románu Stopařův průvodce po galaxii od Douglase Adamse . $24=4!$ $42=6\cdot 7$ $60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

Rychlost světla

Rychlost světla (podle definice) je přesně 299 792 458 m/s, velmi blízko 300 000 000 m/s. Je to čistě náhoda, protože metr byl původně definován jako 1/10 000 000 vzdálenosti mezi zemským pólem a rovníkem na úrovni moře, obvod Země byl asi 2/15 světelné sekundy [20] .

Gravitační zrychlení

Není konstantní, ale závisí na zeměpisné šířce a délce , číselná hodnota zrychlení volného pádu na povrchu leží mezi 9,74 a 9,87, což je docela blízko 10. To znamená, že v důsledku druhého Newtonova zákona je hmotnost kilogramu hmotnosti na zemském povrchu Země odpovídá přibližně 10 newtonům aplikovaným na objekt síly [21] .

Tato shoda vlastně souvisí se zmíněnou shodou čtverce s 10. Jednou z raných definic metru je délka kyvadla, jehož perioda kmitání je dvě sekundy. Protože perioda plné oscilace je přibližně dána vzorcem níže, po algebraických výpočtech dostaneme, že gravitační konstanta je rovna čtverci [22] $\pi$ $\pi$

{\displaystyle T\cca 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))))

Když bylo zjištěno, že obvod Země je velmi blízko 40 000 000 metrů, definice metru byla změněna, aby odrážela tuto skutečnost, protože se jednalo o objektivnější standard (gravitační konstanta na zemském povrchu není konstantní). To vedlo ke zvětšení délky měřidla o něco méně než 1 %, což spadalo do mezí experimentálních chyb měření.

Další shodou okolností je, že hodnota g , která je přibližně 9,8 m/s 2 , se rovná 1,03 světelným rokům /rok 2 , což se blíží 1. Tato shoda je způsobena skutečností, že g se blíží 10 v jednotkách SI . (m /s 2 ), jak je uvedeno výše, spolu se skutečností, že počet sekund v roce se blíží číselné hodnotě c /10, kde c je rychlost světla v m/s.

Rydbergova konstanta

Rydbergova konstanta krát rychlost světla a vyjádřená jako frekvence se blíží Hz: [20] ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}$

{\underline {3,2898}}41960364(17)\times 10^{15}

Hz [23] .

=R_{\infty }c

{\underline {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}

Konstanta jemné struktury

Konstanta jemné struktury je blízká a byla vyslovena hypotéza, že je přesně rovna . $\alpha$ ${\frac {1}{137}}$ ${\frac {1}{137}}$

\alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}

Ačkoli tato shoda není tak přísná jako některé z výše uvedených, je pozoruhodné, že jde o bezrozměrnou konstantu , takže tato shoda nesouvisí s použitou jednotkou. $\alpha$

Viz také

Poznámky

↑ Gardner, 2001 , str. 674–694.
↑ 1 2 3 Schroeder, 2008 , str. 26–28.
↑ 1 2 Beckmann, 1971 , str. 101, 170.
↑ Mikami, 1913 , str. 135.
↑ Weisstein, 2003 , s. 2232.
↑ Herz-Fischler, 2000 , s. 67.
↑ V roce 1828 se narodil Lev Tolstoj, což vám umožňuje zapamatovat si číslo e s přesností na 10 znaků.
↑ Číslo e až 1 milion číslic . NASA. Datum přístupu: 14. února 2017. Archivováno z originálu 2. července 2017. (neurčitý)
↑ Beucher, 2008 , s. 195.
↑ Ayob, 2008 , str. 278.
↑ 1 2 Frank Rubin, The Contest Center – Pi Archivováno 8. října 2017 na Wayback Machine .
↑ Proč je tak blízko 10? $\pi ^{2}$ Archivováno 9. srpna 2017 na Wayback Machine (Proč tak blízko 10?), Noam Elkies $\pi ^{2}$
↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ podle Ramanujan : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, pp. 350-372. Ramanujan tvrdí, že tato „kuriózní aproximace“ byla „získána empiricky“ a nemá žádnou souvislost s teorií vyvinutou v článku. $\pi$
↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Získáno 25. února 2017. Archivováno z originálu 20. července 2011. (neurčitý)
↑ Joseph Clarke, 2015)
↑ Conway, Sloane, Pluh, 1988
↑ Barrow, 2002 .
↑ Arratia, Goldstein, Gordon, 1990 , str. 403–434.
↑ 1 2 Michon, Gérard P. Numerické shody v umělých číslech . Matematické zázraky . Získáno 29. dubna 2011. Archivováno z originálu 22. října 2017. (neurčitý)
↑ Leduc, 2003 , str. 25.
↑ Co má Pí společného s gravitací? . Drátové (8. března 2013). Získáno 15. října 2015. Archivováno z originálu 10. listopadu 2017. (neurčitý)
↑ NIST .

Literatura

Martin Gardner. Šest senzačních objevů // The Colossal Book of Mathematics . - New York: W. W. Norton & Company, 2001. - str . 674-694 . - ISBN 0-393-02023-1 .
Yoshio Mikami. Rozvoj matematiky v Číně a Japonsku. - BG Teubner, 1913. - S. 135.
Petr Beckmann. Historie Pi. - Macmillan, 1971. - S. 101, 170. - ISBN 978-0-312-38185-1 .
Roger Herz-Fischler. Tvar Velké pyramidy. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - S. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Ottmar Beucher. Matlab a Simulink. - Pearson Education, 2008. - S. 195. - ISBN 978-3-8273-7340-3 .
K. Ayob. Digitální filtry v hardwaru: Praktický průvodce pro firmwarové inženýry. - Trafford Publishing, 2008. - S. 278. - ISBN 978-1-4251-4246-9 .
Manfred Robert Schroeder. Teorie čísel ve vědě a komunikaci. — 2. - Springer, 2008. - S. 26–28. - ISBN 978-3-540-85297-1 .
John D Barrow. Konstanty přírody . - Londýn: Jonathan Cape, 2002. - ISBN 0-224-06135-6 .
Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon. Poissonova aproximace a Chen-Steinova metoda // Statistická věda . - 1990. - V. 5 , čís. 4 . — S. 403–434 . - doi : 10.1214/ss/1177012015 . — .
Charles Smith. Naše dědictví ve Velké pyramidě. - Kessinger Publishing, 2004. - S. 39. - ISBN 1-4179-7429-X .
Steven A. Leduc. Craking the AP Physics B&C Exam, vydání 2004–2005. - Princeton Review Publishing, 2003. - S. 25. - ISBN 0-375-76387-2 .
Rydbergovy konstanty časy c v Hz . Základní fyzikální konstanty . NIST. Staženo: 25. července 2011. (neurčitý)
Randall Munroe. Co když?. - 2014. - ISBN 9781848549562 .
Roger Herz-Fischler. Tvar Velké pyramidy. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - S. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Eric W. Weisstein. CRC stručná encyklopedie matematiky. - CRC Press, 2003. - S. 2232. - ISBN 978-1-58488-347-0 .

Odkazy

V. Levšin. Master of Dispersed Sciences. - Moskva: Dětská literatura, 1970. - S. 256.
Hardy, G. H. - Apology matematika . — New York: Cambridge University Press, 1993, ( ISBN 0-521-42706-1 )
Weisstein, Eric W. Almost Integer (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Různé matematické náhody v sekci "Science & Math" na futilitycloset.com
Press, WH, Zdánlivě pozoruhodné matematické náhody lze snadno generovat