Postava (teorie čísel)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. prosince 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Znak (nebo číselný znak nebo Dirichletův znak ) je určitá aritmetická funkce , která vzniká ze zcela multiplikativních znaků na invertibilních prvcích . Dirichletovy znaky se používají k definování Dirichletových L -funkcí , což jsou meromorfní funkce s mnoha zajímavými analytickými vlastnostmi. Pokud je znakem Dirichlet, jeho řada L -Dirichlet je definována rovností $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ $\chi$

{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))))

kde s je komplexní číslo s reálnou částí > 1. Analytickým pokračováním lze tuto funkci rozšířit na meromorfní funkci na celé komplexní rovině . Dirichletovy L -funkce jsou zobecněním Riemannovy zeta funkce a objevují se prominentně ve zobecněných Riemannových hypotézách .

Dirichletovy postavy jsou pojmenovány po Peteru Gustavu Lejeune Dirichletovi .

Axiomatická definice

Dirichletův znak je jakákoli funkce na množině celých čísel s komplexními hodnotami, která má následující vlastnosti [1] : $\chi$ $\mathbb {Z}$

Existuje kladné celé číslo k takové, že pro libovolné n . $\chi (n)=\chi (n+k)$
Jestliže n a k nejsou relativně prvočísla , pak ; pokud jsou coprime, . $\chi (n)=0$ $\chi (n)\neq 0$
$\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ pro libovolná celá čísla ma n .

Z této definice lze odvodit některé další vlastnosti. Podle majetku 3) . Protože gcd (1, k ) = 1, vlastnost 2) říká, že , tak $\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)$ $\chi (1)\neq 0$

$\chi(1)=1$ .

Vlastnosti 3) a 4) ukazují, že jakýkoli Dirichletův znak je plně multiplikativní znak . $\chi$

Vlastnost 1) říká, že znak je periodická funkce s periodou k . Říkáme, že jde o znak modulo k . To se rovná tomu, že to říkáte $\chi$

pokud , tak . $a\equiv b{\pmod {k))$ $\chi (a)=\chi (b)$

Jestliže gcd( a , k ) = 1, Eulerova věta říká, že (kde je Eulerova funkce ). Tedy podle vlastností 5) a 4), , a podle vlastnosti 3) . Tudíž, $a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k))$ $\varphi(k)$ $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1$ ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)))$

Pro všechny coprime k k je komplexní kořen jednoty , $\chi(a)$ $\varphi(k)$

tedy pro nějaké celé číslo . ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)))$ $0\leqslant r<\varphi (k)$

Jediný znak s obdobím 1 se nazývá triviální znak . Všimněte si, že jakýkoli znak zmizí na 0, kromě triviálního, který je 1 pro všechna celá čísla.

Znak, který má hodnotu 1 na všech číslech shodným s prvním, se nazývá principál : $k$ $\chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{gcd}}(n,\;k)=1;\\0, &{\text{gcd}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.$ [2] .
- Ve skupině postav modulo hraje roli jednotky. $k$

Postava se nazývá skutečná , pokud přijímá pouze skutečné hodnoty. Postava, která není skutečná, se nazývá komplexní [3]

Znaménko znaku závisí na jeho hodnotě v bodě −1. Říká se, že liché , kdyby , a i když . $\chi$ $\chi$ $\chi (-1)=-1$ $\chi (-1)=1$

Konstrukce pomocí tříd zbytků

Dirichletové znaky lze považovat z hlediska skupiny znaků skupiny invertibilních prvků kruhu za rozšířené znaky tříd zbytků [4] . $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Třídy reziduí

Dané celé číslo k , jeden může definovat třídu zbytku celého čísla n jako soubor všech celých čísel shodných s n modulo k : To znamená , že třída zbytku je coset n v prstenu podílu . ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.$ $\hat{n}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Množina invertibilních prvků modulo k tvoří abelovskou grupu řádu , kde násobení v grupě je dáno rovností a opět znamená Eulerovu funkci . Jednotkou v této skupině je třída zbytků a inverzní prvek pro je třída zbytků , kde , to je . Například pro k = 6 je množina invertibilních prvků , protože 0, 2, 3 a 4 nejsou coprime k 6. $\varphi(k)$ ${\widehat {mn}}={\hat {m}}{\hat {n}}$ $\varphi$ ${\klobouček {1}}$ ${\hat {m))$ $\hat{n}$ ${\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}$ $mn\equiv 1{\pmod {k))$ $\{{\klobouček {1)),{\klobouček {5}}\}$

Skupina znaků se skládá ze znaků zbytkových tříd . Povaha zbytkové třídy on je primitivní , pokud pro k neexistuje žádný správný dělitel d , takže je faktorizován jako [5] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$

Postavy Dirichleta

Definice Dirichletova znaku modulo k zajišťuje, že je omezen na znak skupiny invertibilních prvků modulo k [6] : skupina homomorfismů od do nenulových komplexních čísel $\chi$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}

s hodnotami, které jsou nutně kořeny jednoty, protože invertibilní prvky modulo k tvoří konečnou skupinu. V opačném směru, s danou homomorfní grupou na grupě invertibilních prvků modulo k , můžeme pozvednout na plně multiplikativní funkci na celých číslech coprime k k a pak tuto funkci rozšířit na všechna celá čísla přiřazením hodnoty 0 na všech celých číslech, která mají netriviální dělitele společné s k . Výsledná funkce pak bude Dirichletův znak [7] . $\chi$

Hlavní znak modulo k má vlastnosti [7] ${\displaystyle \chi _{1))$

\chi _{1}(n)=1

pro gcd( n , k ) = 1 a

\chi _{1}(n)=0

pro gcd( n , k ) > 1.

Přidruženým znakem multiplikativní skupiny je hlavní znak, který má vždy hodnotu 1 [8] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

Když k je 1, hlavní znak modulo k je 1 na všech celých číslech. Pro k větší než 1 hlavní znaky modulo k mizí u celých čísel, která mají nenulové společné faktory s k , a rovnají se 1 u ostatních celých čísel.

Existují Dirichletovy znaky modulo n [7] . $\varphi (n)$

Příklady

Pro jakýkoli lichý modul je Jacobiho symbol znakový modulo . $k$ $\left({\frac {n}{k))\right)$ $k$
Mocninný zbytek o stupni větším než 2 je nereálný znak.

Některé tabulky znaků

Níže uvedené tabulky pomáhají ilustrovat povahu Dirichletových postav. Představují znaky modulo 1 až 10. Postavy jsou hlavními postavami. ${\displaystyle \chi _{1))$

Modul 1

Existuje znakový modul 1: $\varphi(1)=1$

$\chi \setminus n$	0
$\chi _{1}(n)$	jeden

Toto je triviální postava.

Modul 2

Existuje znakový modul 2: $\varphi (2)=1$

$\chi \setminus n$	0	jeden
$\chi _{1}(n)$	0	jeden

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 1 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 2. $\chi$ $\chi (1)$

Modul 3

Existuje znakový modul 3: $\varphi (3)=2$

$\chi \setminus n$	jeden	2
$\chi _{1}(n)$	jeden	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	−1

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 2 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 3. $\chi$ $\chi (2)$

Modul 4

Existuje znakový modul 4: $\varphi (4)=2$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3
$\chi _{1}(n)$	jeden	0	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	0	−1

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 3 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 4. $\chi$ $\chi (3)$

Řada L -Dirichlet se rovná funkci Dirichlet lambda (úzce souvisí s funkcí Dirichlet eta ) $\chi _{1}(n)$

L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)

kde je Riemannova zeta funkce. Řada L pro je funkce beta Dirichlet $\zeta (s)$ $\chi _{2}(n)$

L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,

Modul 5

Existují znaky modulo 5. V tabulkách je i odmocnina z . $\varphi (5)=4$ $-jeden$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3	čtyři
$\chi _{1}(n)$	jeden	jeden	jeden	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	i	−i	−1
$\chi _{3}(n)$	jeden	−1	−1	jeden
$\chi _{4}(n)$	jeden	− i	i	−1

Všimněte si, že hodnota je zcela určena , protože 2 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 5. $\chi$ $\chi (2)$

Modul 6

Existují znaky modulo 6: $\varphi(6)=2$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3	čtyři	5
$\chi _{1}(n)$	jeden	0	0	0	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	0	0	0	−1

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 5 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 6. $\chi$ $\chi (5)$

Modul 7

Jsou zde znaky modulo 7. Tabulka níže $\varphi (7)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3	čtyři	5	6
$\chi _{1}(n)$	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	−1
$\chi _{3}(n)$	jeden	− $\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	jeden
$\chi _{4}(n)$	jeden	jeden	−1	jeden	−1	−1
$\chi _{5}(n)$	jeden	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	jeden
$\chi _{6}(n)$	jeden	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$\omega$	−1

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 3 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 7. $\chi$ $\chi (3)$

Modul 8

Jsou tam znaky modulo 8. $\varphi (8)=4$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7
$\chi _{1}(n)$	jeden	0	jeden	0	jeden	0	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	0	jeden	0	−1	0	−1
$\chi _{3}(n)$	jeden	0	−1	0	jeden	0	−1
$\chi _{4}(n)$	jeden	0	−1	0	−1	0	jeden

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotami a , protože 3 a 5 generují skupinu invertibilních prvků modulo 8. $\chi$ $\chi (3)$ $\chi (5)$

Modul 9

Jsou zde znaky modulo 9. Tabulka níže $\varphi (9)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm
$\chi _{1}(n)$	jeden	jeden	0	jeden	jeden	0	jeden	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	−1
$\chi _{3}(n)$	jeden	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	jeden
$\chi _{4}(n)$	jeden	−1	0	jeden	−1	0	jeden	−1
$\chi _{5}(n)$	jeden	$-\omega$	0	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	jeden
$\chi _{6}(n)$	jeden	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	−1

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 2 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 9. $\chi$ $\chi (2)$

Modul 10

Jsou tam znaky modulo 10. $\varphi (10)=4$

$\chi \setminus n$	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9
$\chi _{1}(n)$	jeden	0	jeden	0	0	0	jeden	0	jeden
$\chi _{2}(n)$	jeden	0	i	0	0	0	− i	0	−1
$\chi _{3}(n)$	jeden	0	−1	0	0	0	−1	0	jeden
$\chi _{4}(n)$	jeden	0	− i	0	0	0	i	0	−1

Všimněte si, že je to zcela určeno hodnotou , protože 3 generuje skupinu invertibilních prvků modulo 10. $\chi$ $\chi (3)$

Příklady

Je-li p liché prvočíslo , pak funkce

\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\

kde je Legendreův symbol , je primitivní Dirichletův znak modulo p [9] .

\left({\frac {n}{p}}\right)

Obecněji, je-li m kladné liché číslo, funkce

\chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\

kde je Jacobiho symbol , je Dirichletův znak modulo m [9] .

\left({\frac {n}{m}}\right)

Jedná se o kvadratické znaky - v obecném případě primitivní kvadratické znaky vznikají přesně z Kronecker-Jacobiho symbolu [10] .

Primitivní znaky a dirigent

Při přechodu od zbytků modulo N ke zbytkům modulo M se pro jakýkoli faktor M z N ztratí informace. Dirichletův znakový efekt dává opačný výsledek - pokud je znakový modulo M , indukuje znakový modulo N pro libovolný N násobek M. Znak je primitivní , pokud není indukován žádným znakem modulo less [3] . $\chi *$ $\chi *$

Jestliže je znak modulo n a d dělí n , říkáme, že modul d je indukovaný modul pro if for all a coprime až n a 1 mod d [11] : znak je primitivní, pokud neexistuje žádný menší indukovaný modul [12 ] . $\chi$ $\chi$ $\chi (a)=1$

Můžeme to formalizovat různými způsoby definováním znaků a stejně konzistentně , pokud pro nějaký modul N , takže N 1 a N 2 oba rozdělují N , máme pro všechny n coprime k N , to znamená, že existuje nějaký znak vygenerovaný jako , takže a . Toto je vztah ekvivalence na znacích. Znak s nejmenším modulem ve třídě ekvivalence je primitivní a tento nejmenší modul je vodič znaků ve třídě. ${\displaystyle \chi _{1}\mod N_{1))$ ${\displaystyle \chi _{2}\mod N_{2))$ $\chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)$ $\chi *$ ${\displaystyle \chi _{1))$ ${\displaystyle \chi _{2))$

Neprimitivnost znaků může vést k absenci Eulerových multiplikátorů v jejich L-funkcích .

Ortogonalita znaků

Ortogonalita znaků konečné grupy se přenáší i na Dirichletovy znaky [13] .

Pokud opravíme znak modulo n , pak $\chi$

\sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0

pokud není hlavní znak, jinak je součet . $\chi$ $\varphi (n)$

Podobně, pokud opravíme třídu zbytků a modulo n , pak součet přes všechny znaky dává

\sum _{\chi }\chi (a)=0

kromě případu a =1, kdy je součet . $\varphi (n)$

Dospěli jsme tedy k závěru, že jakákoli periodická funkce s periodou n nad třídou zbytků sdružených s n je lineární kombinací Dirichletových znaků [14] .

Historie

Dirichletovy znaky spolu s jejich -sériemi představil Dirichlet v roce 1831 jako součást důkazu Dirichletovy věty o nekonečnu počtu prvočísel v aritmetických posloupnostech. Studoval je pouze pro a hlavně při inklinaci k 1. Rozšíření těchto funkcí na celou komplexní rovinu dosáhl Riemann v roce 1859. $L$ $s\in \mathbb {R}$ $s$

Viz také

Postava Gekke
Součet znaků
Gaussův součet
Primitivní kořen modulo n
třída Selberg

Poznámky

↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , str. 117-8.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , str. 115.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , str. 123.
↑ Fröhlich a Taylor 1991 , s. 218.
↑ Fröhlich a Taylor 1991 , s. 215.
↑ Apoštol, 1976 , str. 139.
↑ 1 2 3 Apostol, 1976 , str. 138.
↑ Apoštol, 1976 , str. 134.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , str. 295.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , str. 296.
↑ Apoštol, 1976 , str. 166.
↑ Apoštol, 1976 , str. 168.
↑ Apoštol, 1976 , str. 140.
↑ Davenport, 1967 , s. 31–32.

Literatura

ApostolTM Úvod do analytické teorie čísel. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Pregraduální texty v matematice). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Apostol TM Některé vlastnosti zcela multiplikativních aritmetických funkcí // The American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78 , čís. 3 . — S. 266–271 . - doi : 10.2307/2317522 . — .
Harold Davenport. multiplikativní teorie čísel. - Chicago: Markham, 1967. - Svazek 1. - (Přednášky z pokročilé matematiky).
- Davenport G. Multiplikativní teorie čísel. - M .: "Nauka", 1971.
Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2. přepracovaná. — Springer-Verlag . - V. 59. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). viz kapitola 13.
- Hasse G. Přednášky o teorii čísel. - M .: Zahraniční literatura, 1953.
Mathar, RJ (2010), Tabulka Dirichletových L-sérií a primárních funkcí zeta modulo pro malé moduly, arΧiv : 1008.2547 [math.NT].
Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. multiplikativní teorie čísel. I. Klasická teorie. - Cambridge University Press , 2007. - V. 97. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). - ISBN 0-521-84903-9 .
- Montgomery G. Multiplikativní teorie čísel. - M .: "Mir", 1974.
Robert Spira. Výpočet Dirichletových L-funkcí // Matematika výpočtů. - 1969. - T. 23 , no. 107 . — S. 489–497 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X .
Fröhlich A., Taylor MJ Algebraická teorie čísel. - Cambridge University Press , 1991. - V. 27. - (Cambridgeská studia pokročilé matematiky). — ISBN 0-521-36664-X .

Literatura

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V., Shidlovsky A. B. Úvod do teorie čísel. - M .: Nakladatelství Moskevské univerzity, 1984.
Karatsuba A. A. Základy analytické teorie čísel. - 3. vyd. — M.: URSS, 2004.

Znaky v teorii čísel a v teorii grup
Kvadratické znaky	Symbol Legendre Jacobiho symbol Symbol Kronecker - Jacobi
Postavy zbytků moci	Povaha krychlového zbytku Povaha bikvadratického zbytku Symbol zbytku energie