Čísla hvězdicového osmistěnu

Čísla hvězdicového osmistěnu ( angl. stella octaedron numbers ) jsou složená čísla , která počítají počet kuliček, které mohou být umístěny uvnitř hvězdicového osmistěnu . Tato čísla jsou: 0, 1, 14 , 51 , 124 , 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (sekvence A007588 v OEIS ) a jsou obecně dána rovnicí [1] [2] . Generující funkce čísel stelovaného osmistěnu: [1] $n(2n^{2}-1)$ ${\frac {x(x^{2}+10x+1)}{(x-1)^{4}}}=x+14x^{2}+51x^{3}+124x^{ 4}+...$

Vzorce

Protože hvězdicový osmistěn může být reprezentován jako kombinace osmistěnu a osmi menších čtyřstěnů , vzorec pro čísla hvězdicových osmistěnů může být reprezentován jako [1] , kde je -té osmistěnné číslo a -té čtyřstěnné číslo . Protože [3] a [4] , dostáváme . $StOct_{n}=O_{n}+8T_{n-1}$ $Na}$ $n$ $T_{n}$ $n$ $O_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)$ $T_{n-1}={\frac {1}{6}}(n-1)n(n+1)$ $StOct_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)+{\frac {8}{6}}(n-1)n(n+1) ={\frac {1}{3}}(n(2n^{2}+1)+4(n-1)n(n+1))={\frac {1}{3}}(2n^ {3}+n+4n^{3}-4n)={\frac {1}{3}}(6n^{3}-3n)=n(2n^{2}-1)$

Rekurzivní vzorce [5] a [5] umožňují odvodit následující rovnosti pro čísla stelovaného osmistěnu: , [5] . ${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n^{2))$ $T_{n+1}=T_{n}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2))$ $StOct_{1}=1$ $StOct_{n+1}=StOct_{n}+6n^{2}+6n+1$

Lunggrenova rovnice

Jediná čísla stelovaného osmistěnu, která jsou zároveň čtverci , jsou [ 5] Jedinečnost netriviálního řešení vyplývá z jednoznačnosti řešení Lunggrenovy , Diofantovy rovnice [6] [7] . $StOct_{1}=1$ $StOct_{169}=3107^{2}=9653449$ $y^{2}=2x^{4}-1$

Poznámky

↑ 1 2 3 Eric W. Weisstein. Číslo Stella Octangula . MathWorld – webový zdroj Wolfram . Staženo: 6. července 2017.
↑ Conway, John & Guy, Richard (1996), The Book of Numbers , Springer, str. 51, ISBN 978-0-387-97993-9 , < https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA51 > .
↑ Eric W. Weisstein. Osmistěnné číslo (anglicky) . MathWorld – webový zdroj Wolfram . Staženo: 6. července 2017.
↑ Eric W. Weisstein. Tetraedral Number (anglicky) . MathWorld – webový zdroj Wolfram . Staženo: 6. července 2017.
↑ 1 2 3 4 Elena Deza, Michel Marie Deza. Obrázek Čísla. - Singapur: World Scientific, 2012. - S. 119-120. — 456 s. — ISBN 981-4355-48-8 .
↑ W. Ljunggren. Zur Theorie der Gleichung x^2 + 1 = Dy^4 // Avh. norsko. Vid. Akad. Oslo. - 1942. - S. 1-27.
↑ Richard K. Guy. Nevyřešené problémy v teorii čísel / KA Bencsath, PR Halmos. — 3. — Springer. - S. 234-235. — 454 s. — (Problémové knihy z matematiky). - ISBN 978-1-4419-1928-1 .

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare