Zlomek (matematika)

$8~/~13$		${\frac {8}{13))$	čitatel
čitatel	jmenovatel		jmenovatel
Dva záznamy pro stejný zlomek

Zlomek v aritmetice je číslo sestávající z jedné nebo více stejných částí (podílů) jedné [1] .

V matematice se používá poněkud zobecněná definice, která rozlišuje dva typy zlomků.

Obyčejné zlomky tvaru , kde celé číslo , přirozené . Na rozdíl od aritmetické definice může mít takový zlomek znaménko mínus . ${\frac {m}{n))$ $m$ $n$
Zápis (ne nutně zlomkových) čísel v pozičních číselných soustavách . Nejznámější jsou desetinné zlomky , vhodné pro lidi, a binární zlomky , které se používají pro výpočty na počítačích [2] .

V matematickém zápisu se zlomek tvaru nebo čísla před (nad) pruhem nazývá čitatel a číslo za pruhem (pod pruhem) se nazývá jmenovatel . První funguje jako dividenda , druhá jako dělitel . $m/n$ ${\frac {m}{n}}$

V obecné algebře tvoří obyčejné zlomky obor racionálních čísel .

Druhy zlomků

Běžné zlomky

Obyčejný (nebo jednoduchý ) zlomek - zápis racionálního čísla ve tvaru nebo kde Vodorovné nebo lomítko označuje dělení, jehož výsledkem je podíl. Dělenec se nazývá čitatel zlomku a dělitel se nazývá jmenovatel . ${\frac {m}{n))$ $m/n,$ $n\neq 0.$

Zápis běžných zlomků

Existuje několik typů psaní obyčejných zlomků v tištěné podobě:

½,
1/2 nebo ( lomítko se nazývá "solidus" [3] ), $^{1}\!/_{2}$
mimo vzorec: , ${\frac {1}{2))$
vzorec s malými písmeny: . ${\tfrac {1}{2))$

Vlastní a nevlastní zlomky

Zlomek se nazývá správný, pokud je modul v čitateli menší než modul ve jmenovateli. Zlomek, jehož modul v čitateli je větší nebo stejný jako modul ve jmenovateli, se nazývá nesprávný zlomek a je racionálním číslem , modulo větším nebo rovným jedné.

Například zlomky , a jsou správné, zatímco , , a jsou nesprávné. Jakékoli nenulové celé číslo může být reprezentováno jako nesprávný zlomek se jmenovatelem . ${\frac {3}{5))$ ${\frac {7}{8))$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {8}{3))$ ${\frac {9}{5}}$ ${\frac {2}{1))$ ${\frac {1}{1))$ $jeden$

Smíšené frakce

Zlomek zapsaný jako nezáporné celé číslo a vlastní zlomek se nazývá smíšený zlomek a chápe se jako součet tohoto čísla a zlomku. Jakékoli racionální číslo může být zapsáno jako smíšený zlomek (se znaménkem mínus vpředu pro záporná čísla). Na rozdíl od smíšeného zlomku se zlomek obsahující pouze čitatel a jmenovatel nazývá jednoduchý zlomek .

Například . $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}{101}$

Složené zlomky

Vícepatrový nebo složený zlomek je výraz obsahující několik vodorovných (nebo méně často šikmých) čar:

{\frac {1}{2}}{\bigg {\frac {1}{3}}

nebo nebo .

{\frac {1/2}{1/3}}

{\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}

Obecně lze říci, že znak zlomku v takto zobecněném smyslu se používá nejen pro zlomky, ale také pro kompaktní zápis dělení, a to nejen celých čísel, ale také libovolných reálných a komplexních čísel, funkcí, polynomů a podobných operandů různých operací dělení. .

Desetinná čísla

Desetinný zlomek je poziční záznam zlomku, ve kterém není jmenovatel uveden výslovně, ale je chápán jako celé číslo, mocnina deseti (např. 100, 1000 atd.). Vypadá to takto (znak mimo aritmetické výrazy se obvykle vynechává): $+$

\pm a_{1}a_{2}\tečky a_{n}{,}b_{1}b_{2}\tečky

Část záznamu, která je před desetinnou čárkou , je v případě nezáporného zlomku celočíselná část čísla (zlomek) a část za desetinnou čárkou je zlomková část . Jakýkoli běžný zlomek lze převést na desetinné číslo , které má v tomto případě buď konečný počet desetinných míst, nebo jde o periodický zlomek .

Příklad: Desetinné číslo ve formátu zlomku je . $3{,}1415926$ ${\frac {31415926}{10000000}}$

Desetinná čísla s nekonečným počtem číslic napravo od desetinné čárky představují nekonečnou řadu. Například 1/3 = 0,333… je nekonečná řada 3/10 + 3/100 + 3/1000 +…

Desetinná čísla mohou být také vyjádřena v exponenciálním zápisu se zápornými exponenty, jako je 6,023 × 10 −7 , což znamená 0,0000006023 (vynásobení nebo ekvivalentně, dělení posune desetinnou čárku o 7 míst doleva). $10^{{-7}}$ $10^{7},$

Dalším druhem zlomku je procento ( latinsky Pro Centum - "sto"), reprezentované symbolem % , ve kterém je implikovaný jmenovatel vždy 100. 51 % tedy znamená 51/100. S procenty většími než 100 nebo menšími než nula se zachází stejným způsobem, například 311 % se rovná 311/100 a -27 % se rovná -27/100.

Podobný koncept ppm nebo částí na tisíc implikuje jmenovatel 1000 . Běžné označení pro části na milion je ( anglicky parts per million - ppm), například 75 ppm znamená, že poměr je 75 / 1000000.

Mezinárodní soustava jednotek

Mezinárodní označení	ruština	soustava SI
ppm	ppm ; _ 1:10 6	mikro (MK)
ppb	miliarda −1 ; 1:10 9	nano (n)
ppt	bilion −1 ; 1:10 12	piko (p)
ppquad	kvadrilion −1 ; 1:10 15	femto (f)

Obecně lze říci, že pro poziční zápis čísla můžete použít nejen desítkovou číselnou soustavu, ale i další (včetně specifických, např. fibonacciho ).

Hodnota zlomku a základní vlastnost zlomku

Zlomek je pouze vyjádřením čísla. Stejnému číslu mohou odpovídat různé zlomky, obyčejné i desetinné.

Pokud vynásobíte čitatel a jmenovatel zlomku stejnou hodnotou:

{\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}

pak hodnota zlomku zůstane stejná, i když se zlomky liší. Například:

{\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}

Naopak, jestliže čitatel a jmenovatel daného zlomku mají společného dělitele , pak jím lze vydělit obě části; tato operace se nazývá redukce zlomků . Příklad:

{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}

- zde byl čitatel a jmenovatel zlomku redukován společným dělitelem .

čtyři

Neredukovatelný zlomek je zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou coprime , to znamená, že nemají žádné společné dělitele, kromě $\pm 1.$

U desetinného zlomku je zápis téměř vždy jednoznačný, kromě případů, kdy zápis končí nekonečnou posloupností buď pouze nul (které lze vynechat), nebo pouze devítek. Například:

0,\!999...=1

- dvě různé položky zlomku odpovídají jednomu číslu ;

2,\!13999...=2,\!14

Operace se zlomky

Tato část se zabývá operacemi s obyčejnými zlomky. Operace s desetinnými místy naleznete v části Desetinná .

Redukce na společného jmenovatele

Pro srovnání, sčítání a odčítání zlomků je třeba je převést ( redukovat ) do tvaru se stejným jmenovatelem. Nechť jsou dány dva zlomky: a . Postup: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$

Najděte nejmenší společný násobek jmenovatelů: . $M=[b,d]$
Vynásobte čitatele a jmenovatele prvního zlomku číslem . $m/b$
Vynásobte čitatele a jmenovatele druhého zlomku číslem . $m/d$

Poté jsou jmenovatelé obou zlomků stejní (rovní se ). Místo nejmenšího společného násobku lze v jednoduchých případech brát jako jakýkoli jiný společný násobek například součin jmenovatelů. Příklad naleznete v části Srovnání níže . $M$ $M$

Srovnání

Chcete-li porovnat dva běžné zlomky, měli byste je zredukovat na společného jmenovatele a porovnat čitatele výsledných zlomků. Zlomek s větším čitatelem bude větší.

Příklad. Porovnejte a . . Zlomky přivedeme na jmenovatele . ${\frac {3}{4))$ ${\frac {4}{5))$ $\mathrm {HOK} (4,5)=20$ $dvacet$

{\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}

Tudíž, ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Sčítání a odčítání

Chcete-li sečíst dva společné zlomky, musíte je přivést ke společnému jmenovateli. Poté sečtěte čitatele a jmenovatele ponechte beze změny:

Příklad 1 : + = + =

\quad {\frac {1}{2))

{\frac {1}{3))

{\frac {3}{6))

{\frac {2}{6))

{\frac {5}{6))

LCM jmenovatelů (zde a ) se rovná . Zlomek přivedeme na jmenovatele , k tomu je třeba čitatel a jmenovatel vynásobit . Ukázalo se . Zlomek přivedeme na stejného jmenovatele, proto je třeba čitatel a jmenovatel vynásobit . Ukázalo se . Chcete-li získat rozdíl zlomků, je také třeba je zredukovat na společného jmenovatele a poté odečíst čitatele, přičemž jmenovatel zůstane nezměněn: $2$ $3$ $6$ ${\frac {1}{2))$ $6$ $3$
${\frac {3}{6))$ ${\frac {1}{3))$ $2$ ${\frac {2}{6))$

{\frac {1}{2))

— = — =

{\frac {1}{4))

{\frac {2}{4))

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

LCM jmenovatelů (zde a ) se rovná . Zlomek přivedeme na jmenovatele , k tomu potřebujeme vynásobit čitatele a jmenovatele . dostáváme . $2$ $čtyři$ $čtyři$ ${\frac {1}{2))$ $čtyři$ $2$ ${\frac {2}{4))$

Příklad 2 :

\quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\ cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}

Násobení a dělení

Chcete-li vynásobit dva běžné zlomky, musíte vynásobit jejich čitatele a jmenovatele:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

Konkrétně, chcete-li vynásobit zlomek přirozeným číslem, musíte vynásobit čitatele číslem a ponechat jmenovatele stejný:

{\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2

Obecně platí, že čitatel a jmenovatel výsledného zlomku nemusí být coprime a může být nutné zlomek snížit, například:

{\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.

Definujme převrácenou hodnotu zlomku jako zlomek (zde ). Pak podle definice násobení je součin zlomku a jeho převrácené hodnoty 1: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {b}{a}}$ $a,b\neq 0$

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1

Chcete-li vydělit jeden společný zlomek druhým, musíte vynásobit první zlomek převrácenou hodnotou druhého:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\ frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.

Například:

{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3 {2}}.

Umocňování a extrakce kořenů

Chcete-li získat zlomek na mocninu, musíte zvýšit jeho čitatel a jmenovatel na stejnou mocninu:

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.

Příklad:

\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{ 27}}

Chcete-li extrahovat kořen ze zlomku, musíte extrahovat odpovídající kořen z čitatele a jmenovatele:

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}} },b\neq 0.

Příklad:

{\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}} }={\frac {4}{5}}.

Převod mezi různými formáty záznamu

Chcete-li zlomek převést na desetinné číslo, vydělte čitatele jmenovatelem. Výsledek může mít konečný počet desetinných míst, ale může to být také nekonečný periodický zlomek . Příklady:

{\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5

{\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)

- v závorce se obvykle píše nekonečně se opakující tečka.

Chcete-li převést desetinné místo s konečným počtem desetinných míst na společný zlomek, musíte jeho zlomkovou část vyjádřit jako přirozené číslo dělené příslušnou mocninou 10. Poté se k výsledku přidá část celého čísla se znaménkem, čímž vznikne smíšený zlomek. Příklad:

71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}

Nekonečný desetinný zlomek, obecně řečeno, nemůže být přesně reprezentován jako obyčejný. Výjimkou jsou periodické desetinné zlomky , u kterých je takové znázornění vždy možné [4] .

Příklad (viz také Převod opakujícího se desetinného čísla na společný zlomek ). Převedeme periodický zlomek na obyčejný zlomek. Označte , pak odkud: nebo: V důsledku toho dostaneme: $1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).$ $x=0{,}(142857)$ $1000000\cdot x=142857+x,$ $999999x=142857,$ $x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7)).={ \frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.$

Historie a etymologie termínu

Ruský výraz zlomek , stejně jako jeho protějšky v jiných jazycích, pochází z lat. fractura , což je zase překlad arabského výrazu se stejným významem: zlomit, rozdrtit . Základ teorie obyčejných zlomků položili řečtí a indičtí matematici. Přes Araby se termín, přeložený do latiny, dostal do Evropy, zmiňuje ho již Fibonacci (1202). Slova čitatel a jmenovatel zavedl řecký matematik Maxim Planud .

Zlomky byly počítány ve starověkém Egyptě . Matematické zdroje o egyptských zlomcích se dochovaly dodnes : Rinda Mathematical Papyrus (kolem 1650 př. n. l.) [5] , Egyptský matematický kožený svitek (XVII. století př. n. l.) [6] , Moskevský matematický papyrus (kolem 1850 př. n. l.), dřevěná tabulka z Akhmim (kolem roku 1950 př. n. l.) [7] .

V Číně se běžné zlomky nacházejí v díle „ Matematika v devíti knihách “ (X-II století před naším letopočtem), editovaném v II století před naším letopočtem. E. finanční úředník Zhang Cang. S desetinnými zlomky se poprvé setkáváme v Číně zhruba od 3. století našeho letopočtu. E. při počítání na počítací tabuli ( suanpan ). V písemných pramenech byly nějakou dobu desetinné zlomky zobrazovány v tradičním (nepozičním) formátu, postupně však tradiční nahradila poziční soustava [8] . Perský matematik a astronom Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) v pojednání „Klíč aritmetiky“ (1427) se prohlásil za vynálezce desetinných zlomků, ačkoli byly nalezeny ve spisech Al-Uklidisiho. , který žil o pět století dříve [9] .

Evropští matematici zpočátku operovali pouze s obyčejnými zlomky a v astronomii se šestinásobnou . Moderní označení obyčejných zlomků pochází ze starověké Indie - nejprve si ho vypůjčili Arabové a poté, ve století XII - XVI , Evropané. Zpočátku zlomky nepoužívaly zlomkovou čárku: čísla se psala tímto způsobem: Použití zlomkové čárky se stalo konstantní teprve asi před 300 lety. V Evropě byl prvním vědcem, který používal a šířil indický systém počítání (známý jako „arabské číslice“), včetně způsobu psaní zlomků, italský obchodník, cestovatel, syn městského úředníka – Fibonacci (Leonardo z Pisy) [ 10] . Plnohodnotná teorie obyčejných zlomků a akcí s nimi se vyvinula v 16. století ( Tartaglia , Clavius ). ${\tfrac {1}{4)),2{\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$

V Evropě zavedl první desetinné zlomky Immanuel Bonfils kolem roku 1350, ale rozšířily se až po vydání díla Simona Stevina Desátý (1585). Stevin psal desetinná místa složitým způsobem: například číslo 42,53 bylo zapsáno jako nebo 42 ⓪ 5 ① 3 ② , kde 0 v kruhu nebo nad čarou znamenala celou část, 1 znamenala desetiny, 2 znamenala setiny a tak dále. K oddělení celé části se od 17. století používala virgule [10] . ${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3} }$

V Rusku se zlomky nazývaly akcie . V prvních ruských učebnicích matematiky - v 17. století - se zlomky nazývaly lomená čísla [10] . Termín zlomek , jako obdoba latinského fractura , se používá v Magnitského aritmetice (1703) pro obyčejné i desetinné zlomky.

Zobecnění

Soukromý prsten
Racionální funkce je zlomek složený z polynomů .

Viz také

Poznámky

↑ Encyklopedie matematiky, 1982 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematická příručka pro inženýry a studenty vysokých škol . - ed. 13. — M. : Nauka, 1985. — S. 130. — 544 s.
↑ Příručka ParaType .
↑ Tsypkin, 1983 .
↑ Rhindův matematický papyrus .
↑ Clagett, 1999 .
↑ Simpson, 1961 .
↑ Martzloff, 1997 .
↑ Berggren, 2007 .
↑ 1 2 3 Vilenkin, Žochov, Česnokov, Schwarzburd, 1997 .

Literatura

V Rusku:

Aritmetický zlomek // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - Moskva: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 2. - S. 389-390.
Matematika: Proc. pro 5 buněk. prům. škola / ed. N. Ya. Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 4. vyd. - Čeboksary: Chuv. rezervovat. nakladatelství, 1997. - S. 202-203, 230.
Tsypkin A.G. Příručka matematiky pro střední školy. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1983. - S. 51. - 480 s.

V angličtině:

Berggren, J. Lennart. Matematika ve středověkém islámu // Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu : Zdrojová kniha . - Princeton University Press , 2007. - S. 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
Jean-Claude Martzloff. Historie čínské matematiky. Springer (anglicky) . - 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
William K. Simpson Další fragment z "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - leden ( roč. 20 , č. 1 ). - S. 25-30 .
Clagett, Marshalle. Memoirs of the American Philosophical Society 232 // Starověká egyptská věda: Zdrojová kniha. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - V. 3. - S. 17-18, 25, 37-38, 255-257.

Odkazy

Rhindův matematický papyrus . britské muzeum. Datum přístupu: 13. ledna 2019.
Zlomkový pruh (Fraction bar, Solidus) . Příručka ParaType . (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX532372 BNF : 12063899h GND : 4008387-1 J9U : 987007548245905171 LCCN : sh85051148 NDL : 00561041 NKC : ph135439

Zlomky čísla (části celku)
proměnná hodnota	Procento ( % ) str./min ( ‰ ) Deset tisícina ( ‱ ) Části na milion ( ppm, ppm ) Miliardový díl ( ppb, ppb ) bilionový zlomek ( ppt, bilion −1 )
pevnou hodnotu	1/4 (čtvrtletí) 1/3 (třetí) 1/2 (polovina) 1/1 (vše, celé)
viz také	předpony SI celá část Desetinný Zlomková část Desetinný oddělovač Zlomek Část Sdílet (hudbu) Sdílet (jednotka)