Matematická formulace obecné teorie relativity

Tento článek pojednává o matematickém základu obecné teorie relativity .

Výchozí pozice

Naše intuitivní vnímání nám říká, že časoprostor je pravidelný a spojitý, to znamená, že nemá žádné „díry“. Matematicky tyto vlastnosti znamenají, že časoprostor bude modelován hladkou 4-rozměrnou diferencovatelnou varietou , tedy 4-rozměrným prostorem, pro který okolí každého bodu lokálně připomíná čtyřrozměrný euklidovský prostor . Hladkost zde znamená dostatečnou diferencovatelnost, přičemž bez udání její míry. $M_4$

Protože navíc, zákony speciální teorie relativity jsou spokojeny s dobrou přesností , může být taková varieta vybavena Lorentzovou metrikou , tedy nedegenerovaným metrickým tenzorem s podpisem (nebo ekvivalentně ). Význam toho je odhalen v další části. $\{-,+,+,+\}$ $\{+,-,-,-\}$

Geometrie časoprostoru

Pozn.: Tento článek se řídí klasickými znakovými konvencemi Misnera, Thorna a Wheelera [1]

Tento článek také přebírá Einsteinovu konvenci pro sčítání přes opakované indexy.

Metrický tenzor

Diferencovatelná varieta [2] M, vybavená Lorentzovým metrickým tenzorem g , je tedy Lorentzova varieta , která představuje speciální případ pseudoriemannovské variety (definice „Lorentziánů“ bude upřesněna dále v textu; viz. Lorentzova metrická část níže ).

Vezměme nějaký souřadnicový systém v blízkosti bodu a nechť je lokální bází v prostoru tečny k varietě v bodě . Tangentní vektor pak bude zapsán jako lineární kombinace základních vektorů: $x^{\mu}$ $P$ ${\mathbf e}_{\mu} (x)$ $T_xM$ $M$ $x\v M$ $\mathbf w \in T_xM$

\mathbf{w} \ = \w^{\mu} \\mathbf{e}_{\mu}.

V tomto případě se veličiny nazývají kontravariantní složky vektoru w . Metrický tenzor je pak symetrický bilineární tvar : $\w^{\mu}$ $\mathbf g$

\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},

kde označuje duál s ohledem na základ v kotangentním prostoru , tj. lineární formy na , takže: $dx^{\mu}$ ${\mathbf e}_{\mu} (x)$ $T_x^*M$ $T_{x}M$

dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.

Dále budeme předpokládat, že složky metrického tenzoru se v časoprostoru plynule mění [3] . $g_{\mu\nu} (x)$

Metrický tenzor tak může být reprezentován skutečnou symetrickou maticí 4x4 :

g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.

Obecně platí, že jakákoli skutečná matice 4x4 má a priori 4 x 4 = 16 nezávislých prvků. Podmínka symetrie snižuje toto číslo na 10: ve skutečnosti existují 4 diagonální prvky, ke kterým musíme přidat (16 - 4) / 2 = 6 mimodiagonálních prvků. Tenzor má tedy pouze 10 nezávislých komponent. $g_{\mu \nu }$

Bodový produkt

Metrický tenzor definuje pro každý bod variety pseudoskalární součin („pseudo-“ v tom smyslu, že neexistuje žádná kladná určitost související kvadratické formy (druhé mocniny vektoru; viz Lorentzova metrika) v pseudoeuklidovském prostor tečný k rozdělovači v bodě . Jestliže a jsou dva vektory , jejich bodový součin se zapíše jako: $x \v M$ $M^{}$ $X$ $T_{x}M$ $\mathbf u$ ${\mathbf v}$ $T_{x}M$

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu } \ v^{\nu}

Konkrétně, vezmeme-li dva základní vektory, získáme složky:

g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \ cdot {\mathbf e}_{\nu}

Poznámka: pokud veličiny označují kontravariantní složky vektoru w , můžeme také definovat jeho kovariantní složky jako: $w^{\mu}$

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.

Elementární vzdálenost - interval

Uvažujme elementární vektor posunutí mezi bodem a nekonečně blízkým bodem: . Invariantní infinitezimální norma tohoto vektoru bude reálné číslo označené jako , nazývané druhá mocnina intervalu a rovné: $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ $P^{}$ $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$ $ds^2$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \\epsilon^{\nu}

Označíme-li složky elementárního vektoru posunutí „fyzickým způsobem“ , nekonečně malý čtverec délky (intervalu) se formálně zapíše jako: $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$

ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}

Pozor : v tomto vzorci, stejně jako v dalším, je reálné číslo, které je fyzikálně interpretováno jako "nekonečně malá změna" souřadnice , nikoli jako diferenciální tvar! $dx^{\mu}$ $x^{{\mu ))$

Lorentzova metrika

Upřesněme nyní výraz „lorentzovský“ (přesněji lokálně lorentzovský), což znamená, že metrický tenzor má signaturu (1,3) a lokálně se v prvním řádu shoduje s lorentzovskou metrikou speciální teorie relativity . Princip ekvivalence říká, že je možné lokálně „vymazat“ gravitační pole volbou lokálně inerciálního souřadnicového systému. Z matematického hlediska je taková volba přeformulováním známé věty o možnosti redukovat kvadratický tvar na hlavní osy.

V takovém lokálně inerciálním souřadnicovém systému lze invariant v bodě zapsat jako: $X^{\alpha}$ $ds^2$ $P$

ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta } \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta } \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,

kde je Minkowského časoprostorová metrika a v malém sousedství tohoto bodu $\eta_{\alpha\beta}$

ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta }) \ dX^{\alpha } \ d X^{\beta },

kde má minimum druhého řádu malosti v odchylkách souřadnic od bodu , to je . Přijetím konvence znamení Misner, Thorne a Wheeler máme [1] : $\delta_{\alpha\beta}$ $P$ $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\částečné \delta_{\alpha\beta)){\částečné X^\alpha}\vpravo|_{P}= 0$

\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )

Níže jsou použity následující konvenční konvence:

Řecké indexy se pohybují od 0 do 3. Odpovídají veličinám v časoprostoru.
Latinské indexy se pohybují od 1 do 3. Odpovídají prostorovým složkám veličin v časoprostoru.

Například 4-polohový vektor by byl zapsán v lokálně inerciálním souřadnicovém systému jako:

X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matice} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matice} X^ {0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matice} \vpravo).

Pozor : ve skutečnosti konečné, nikoli nekonečně malé, souřadnicové přírůstky netvoří vektor. Jejich vektor vzniká pouze v homogenním prostoru nulové křivosti a triviální topologie.

Lorentzův charakter variety tedy zajišťuje, že tečny k v každém bodě pseudoeuklidovského prostoru budou mít pseudoskalární součin ("pseudo-" v tom smyslu, že neexistuje žádná kladná určitost související kvadratické formy (kvadratický vektor) ) se třemi přísně kladnými vlastními čísly (odpovídajícími prostoru) a jedním přísně záporným vlastním číslem (odpovídajícím času). Zejména základní interval „správného času“, oddělující dvě po sobě následující události, je vždy: $M^{}$ $M^{}$

d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.

Obecné pojmy afinního spojení a kovariantní derivace

Obecně je afinní spojení operátor , který spojuje vektorové pole z tečné tužky s polem endomorfismů této tužky. Jestliže je vektor tečny v bodě , obvykle se označuje $\nabla$ $\mathbf V$ $TM$ $\nabla \mathbf V$ ${\mathbf w} \in T_xM$ $x \v M$

\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).

Říká se, že je to " kovariantní derivace " vektoru ve směru . Předpokládejme navíc, že to splňuje dodatečnou podmínku: pro libovolnou funkci f máme $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ $\mathbf V$ ${\mathbf w}$ $\nabla \mathbf V$

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

Kovariantní derivát splňuje následující dvě vlastnosti linearity:

linearita ve w , to znamená, ať jsou pole vektorů w a u a reálná čísla a a b jakákoliv , máme:

\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.

linearita ve V , to znamená, ať jsou pole vektorů X a Y a reálná čísla a a b jakákoliv , máme:

\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.

Jakmile je kovariantní derivace definována pro vektorová pole, lze ji rozšířit na tenzorová pole pomocí Leibnizova pravidla : jestliže a jsou jakékoli dva tenzory, pak podle definice: ${\mathbf T}$ $\mathbf S$

\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\ mathbf w} \mathbf S)

Kovariantní derivace tenzorového pole podél vektoru w je opět tenzorové pole stejného typu.

Konektivita spojená s metrikou

Lze prokázat, že spojení spojené s metrikou, spojení Levi-Civita [1] , je jediné spojení, které kromě předchozích podmínek navíc zajišťuje, že pro jakákoli pole vektorů X, Y, Z z TM

$\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g( \mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ ( metricita - tenzor nemetriky je roven nule).

$\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$ , kde je Lieův komutátor X a Y (bez torze — torzní tenzor je roven nule). $[\mathbf X,\mathbf Y]$

Popis v souřadnicích

Kovariantní derivát vektoru je vektor, a proto jej lze vyjádřit jako lineární kombinaci všech základních vektorů:

\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_ \rho,

kde jsou složky vektoru kovariantní derivace ve směru (tato složka závisí na zvoleném vektoru w ). $\Gamma^\rho$ $\mathbf e_\rho$

K popisu kovariantní derivace stačí popsat ji pro každý ze základních vektorů podél směru . Definujme tedy Christoffelovy symboly (nebo jednoduše Christoffelovy symboly) v závislosti na 3 indexech [4] $\mathbf e_\nu$ $\mathbf e_\mu$ $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$

\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu)) {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\ rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho

Spojení Levi-Civita je plně charakterizováno svými Christoffelovými symboly. Podle obecného vzorce

\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V

pro vektor V :

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.

Když to víme, dostaneme: $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\ nu \ \mathbf e_\nu

První člen tohoto vzorce popisuje "deformaci" souřadnicového systému s ohledem na kovariantní derivaci a druhý - změny souřadnic vektoru V . Při sčítání nad němými indexy můžeme tento vztah přepsat do tvaru

\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \ vpravo] \ \mathbf e_\nu

Z toho získáme důležitý vzorec pro složky:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_ {\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho }

Pomocí Leibnizova vzorce lze demonstrovat stejným způsobem, že:

\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho } \ V_{ \rho}.

Aby bylo možné tyto komponenty vypočítat explicitně, musí být výrazy pro symboly Christoffel definovány z metriky. Lze je snadno získat sepsáním následujících podmínek:

\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.

Výpočet tohoto kovariančního derivátu vede k

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),

kde jsou složky „inverzního“ metrického tenzoru definované rovnicemi $g^{\mu \nu}\$

g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho

Symboly Christoffel jsou "symetrické" [5] s ohledem na indexy: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Poznámka: někdy jsou také definovány následující symboly:

\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \\partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)

přijato jako:

\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}

Riemannův tenzor křivosti

Riemannův tenzor křivosti R je tenzor 4. valence definovaný pro jakákoli vektorová pole X, Y, Z z M jako

\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \ , (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .

Jeho složky jsou explicitně vyjádřeny z metrických koeficientů:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \ sigma } \vpravo) \ +

+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {} _{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.

Symetrie tohoto tenzoru:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.

Splňuje také následující vztah:

R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.

Ricciho tenzor křivosti

Ricciho tenzor je tenzor valence 2 definovaný konvolucí Riemannova tenzoru křivosti

R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma } \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .

Jeho součásti výslovně prostřednictvím symbolů Christoffel:

R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho } \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho } {} _{\mu \rho } \ + \ \Gamma^{\rho } {}_{\mu \nu } \Gamma^{\sigma } {}_{\rho \sigma } \ - \ \Gamma^{\ sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .

Tento tenzor je symetrický: . $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$

Skalární zakřivení

Skalární zakřivení je invariant definovaný konvolucí Ricciho tenzoru s metrickým

R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.

Einsteinovy rovnice

Rovnice gravitačního pole, které se nazývají Einsteinovy rovnice , jsou zapsány jako

R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},

nebo tak

G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4))}\ T_{\mu \nu },

kde je kosmologická konstanta , je rychlost světla ve vakuu, je gravitační konstanta , která se také objevuje v Newtonově zákonu univerzální gravitace, je Einsteinův tenzor a je tenzor energie-hybnosti . $\lambda$ $C$ $G$ $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R$ $T_{\mu\nu}$

Symetrický tenzor má pouze 10 nezávislých složek, rovnice Einsteinova tenzoru v daném souřadnicovém systému je ekvivalentní systému 10 skalárních rovnic. Tento systém 10 sdružených nelineárních parciálních diferenciálních rovnic je ve většině případů velmi obtížné se naučit. $g_{\mu\nu}$

Tenzor energie-hybnosti

Tenzor energie-hybnosti lze zapsat jako skutečnou symetrickou matici 4x4:

T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_ {12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix}\right).

Obsahuje následující fyzikální veličiny:

T 00 - objemová hustota energie . Musí to být pozitivní .
T 10 , T 20 , T 30 jsou hustoty složek hybnosti .
T 01 , T 02 , T 03 jsou složky toku energie .
3 x 3 submatice čistě prostorových komponent:

T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31 } & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)

je matrice impulsních toků . V mechanice tekutin odpovídají diagonální složky tlaku a ostatní složky tangenciálním silám (napětím nebo ve staré terminologii napětí) způsobeným viskozitou .

Pro kapalinu v klidu se tenzor hybnosti energie redukuje na diagonální matici , kde je hustota hmoty a hydrostatický tlak. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $p$

Poznámky

↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitace , Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0 . nebo C. MIZNER, C. THORNE, J. WHEELER. GRAVITACE. svazek I-III. M. Mir, 1977.
↑ V následujícím nepíšeme všude index 4, který udává rozměr rozdělovače "M".
↑ Přesněji řečeno, musí být alespoň třídy C².
↑ Upozornění, Christoffelovy symboly nejsou tenzory.
↑ Slovo „symetrický“ je v uvozovkách, protože tyto indexy z důvodu svého původu nejsou tenzorové.