Kleeův mnohostěn je konstrukce, která umožňuje získat z daného mnohostěnu nový. Pojmenován po americkém matematikovi Victoru Klee [1]
Nechť P je konvexní mnohostěn v prostoru libovolné dimenze. Poté je Kleeův polytop PK polytopu P vytvořen přidáním ke každé ploše P malého jehlanu se základnou v této ploše [2] [3] .
Triakistetraedr je mnohostěn Kleeova čtyřstěnu , triakisoktaedr je mnohostěn Kleeova osmistěnu a triakisikosaedr je mnohostěn Kleeova dvacetistěnu . Ve všech těchto případech je Kleeův mnohostěn vytvořen přidáním trojúhelníkového jehlanu ke každé ploše původního mnohostěnu. Conway pro tuto operaci použil předponu kis zavedenou Keplerem ( Conway's kis operator ), kterou lze vidět ve jménech Kleeových mnohostěnů.
Triakistetraedr je polyhedron Kleeova čtyřstěnu . |
Tetrakishedron je Kleeův krychlový mnohostěn . |
Triakisicosahedron je polyhedron Klee octaedron . |
Pentakis dvanáctistěn je polytop Klee dvanáctistěn . |
Triakisicosahedron je Kleeův polytop dvacetistěnu . |
Tetrakishedron je Kleeův mnohostěn krychle , vytvořený přidáním čtvercových jehlanů ke každé ploše, zatímco dvanáctistěnný pentakis je Kleeův mnohostěn dvanáctistěnu , vytvořený přidáním pětibokých jehlanů.
Hexakisoktaedr je Kleeův mnohostěn kosočtvercového dvanáctistěnu . |
Hexakisicosahedron je Kleeův |
Tripentakisicosidodecahedron je Kleeův mnohostěn ikosidodekaedru . |
Základní polytop pro Klee polytop nemusí být pravidelný . Například, hexakisoktaedr je Kleeův polytop kosočtvercového dvanáctistěnu , vytvořený nahrazením každé kosočtverečné plochy dodekaedru kosočtvercovým jehlanem, a hexakisikosaedr je Kleeův polytop kosočtvercového triakontahedru . Ve skutečnosti základní mnohostěn nemusí být fasetově přechodná pevná látka , jak je vidět v příkladu tripentakisicosidodekaedru výše.
Goldner-Harariho graf lze reprezentovat jako vrcholový a okrajový graf Kleeova mnohostěnu trojúhelníkové bipyramidy .
Malý hvězdicový pentakis dvanáctistěn je Kleeův mnohostěn malého hvězdicového dvanáctistěnu . |
Velký hvězdicový pentakis dvanáctistěn je Kleeův mnohostěn velkého hvězdicového dvanáctistěnu . |
Velký pentakis dvanáctistěn je Kleeův mnohostěn velkého dvanáctistěnu . |
Velký triakisicosahedron je Kleeův mnohostěn velkého dvacetistěnu . |
Jestliže P má dostatek vrcholů vzhledem ke své dimenzi, pak Kleeův polytop P je jednoznačný s ohledem na dimenzi — graf tvořený jeho hranami a vrcholy není grafem jiného polytopu v jiné dimenzi. Přesněji, je-li počet vrcholů d - rozměrného polytopu P alespoň d 2 /2 , pak P K je jednoznačná s ohledem na dimenzi [2] [5] .
Je-li jakákoli i - rozměrná faseta d - rozměrného polytopu P simplexem , a je -li i ≤ d − 2 , pak jakákoli ( i + 1) -rozměrná faseta P K je také simplexem. Konkrétně Kleeův polytop jakéhokoli 3D polytopu je simpliciální polytop , polytop, jehož plochy jsou všechny trojúhelníky.
Kleeův polytop lze použít ke generování polytopů, které neobsahují žádné hamiltonovské cykly – jakákoli cesta skrz jeden z vrcholů přidaných při konstrukci Kleeho polytopu musí vstoupit do vrcholu a vystoupit z něj přes jeho sousedy patřící k původnímu polytopu, a pokud existují nové vrcholy více než vrcholy původního mnohostěnu, pak nebude dostatek vrcholů, aby cesta existovala. Konkrétně graf Goldner-Harari , Kleeův polytop trojúhelníkové bipyramidy, má šest vrcholů přidaných při konstrukci Kleeova polytopu a pouze pět vrcholů v bipyramidě, ze které byl Kleeův polytop vytvořen, takže graf není hamiltonovský. Toto je nejjednodušší nehamiltonovský simpliciální polytop [6] [7] . Jestliže mnohostěn s n vrcholy vznikne opakovaným sestrojením Kleeova mnohostěnu vycházejícího z čtyřstěnu, pak jeho nejdelší dráha je O( n log 3 2 ) long . To znamená, že index krátkosti těchto grafů je roven log32 , přibližně 0,630930 . Stejná technika ukazuje, že v jakékoli vyšší dimenzi d existují jednoduché mnohostěny s indexem podobnosti log d 2 [8] . Plummer [9] použil konstrukci Kleeova polytopu k vytvoření nekonečné rodiny příkladů jednoduchých polytopů se sudým počtem vrcholů, které nemají dokonalé shody .
Kleeovy mnohostěny mají některé extrémní vlastnosti související s jejich vrcholovými stupni - pokud jakákoli hrana v rovinném grafu dopadá na alespoň sedm dalších hran, pak musí existovat vrchol stupně nejvýše pět, ale jeden z jeho sousedů bude mít stupeň 20 resp. více. Kleeův polytop ikosaedrického Kleeova polytopu poskytuje příklad, ve kterém je stupeň vrcholů vysokého stupně přesně 20 [10] .